収束級数

数学において、級数とは無限の数列の項の和である。より正確には、無限数列は、次のように表される 級数Sを定義する。${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$

${\displaystyle S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}$

n番目の部分和 S _{n は}、数列の最初のn項の和です。つまり、

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}$

ある級数が収束する（または収束する）のは、その部分和の列が極限に近づく場合に限られます。つまり、添え字 で指定された順序で次々に加算していくと、与えられた数にどんどん近づいていく部分和が得られます。より正確には、級数が収束するのは、任意の小さな正の数 に対して、すべての に対して となる（十分に大きい）整数が存在する場合に限られます。 ${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3},\dots )}$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$

${\displaystyle \left|S_{n}-\ell \right|<\varepsilon .}$

級数が収束する場合、（必ず一意となる）数は級数の和と呼ばれます。 ${\displaystyle \ell}$

同じ表記

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$

は級数に使用され、級数が収束する場合はその和に使用されます。この規則は加算に使用される規則に似ています。a + b はaとb を加算する演算と、この加算の結果 ( aとbの和と呼ばれる)を表します。

収束しない級数は発散する、または発散すると言われます。

• 正の整数の逆数は発散級数（調和級数）を生成します。

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty .}$

• 正の整数の逆数の符号を交互にすると、収束級数（交代調和級数）が生成されます。

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)}$

• 素数の逆数は発散する数列を生成します(したがって、素数の集合は「大きい」です。素数の逆数の和の発散を参照してください)。

  ${\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty .}$

• 三角数の逆数は収束する級数を生成します。

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =2.}$

• 階乗の逆数は収束する級数を生成します（eを参照）。

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots =e.}$

• 平方数の逆数は収束する級数を生成する（バーゼル問題）。

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.}$

• 2 の累乗の逆数は収束する級数を生成します (したがって、2 の累乗の集合は「小さい」です)。

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.}$

• 任意の n>1 の累乗の逆数は収束する級数を生成します。

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^{2}}+{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}+{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n-1}.}$

• 2 の累乗の逆数の符号を交互に入れ替えると、収束する級数も生成されます。

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots ={2 \over 3}.}$

• n>1 の任意の累乗の逆数の符号を交互にすると、収束する級数が生成されます。

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^{2}}-{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}-{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n+1}.}$

• フィボナッチ数の逆数は収束する級数を生成します（ψ を参照）。

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =\psi .}$

級数が収束するか発散するかを判断する方法はいくつかあります。

比較テスト。シーケンスの項を別のシーケンスの項と比較します。すべてのn、、およびが場合、収束も収束します。${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$${\displaystyle 0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

しかし、すべてのn、、が発散する場合、${\displaystyle 0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

比検定。すべてのnに対して、がゼロではないと ${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.}$

r < 1の場合、級数は絶対収束します。r > 1 の場合、級数は発散します。r = 1 の場合、比テストは決定的ではなく、級数は収束するか発散する可能性があります 。

ルートテストまたはn乗ルートテスト。問題の数列の項が非負であると仮定します。r を次のように定義します。

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

ここで、「lim sup」は上限を表します（∞の場合もあります。上限が存在する場合は同じ値になります）。

r < 1の場合、級数は収束します。r > 1 の場合、級数は発散します。r = 1 の場合、根のテストは決定的ではなく、級数は収束するか発散する可能性があります 。

比率テストとルート テストはどちらも等比級数との比較に基づいているため、同様の状況で機能します。実際、比率テストが機能する場合 (つまり、極限が存在し、1 に等しくない場合)、ルート テストも機能します。ただし、逆は当てはまりません。したがって、ルート テストはより一般的に適用できますが、実際問題として、よく見られる種類の級数では極限を計算するのが難しいことがよくあります。

積分テスト。級数を積分と比較することで収束または発散を判定できます。を正の単調減少関数とします。 ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}$

すると級数は収束します。しかし積分が発散すると級数も発散します。

極限比較テスト。 であり、極限が存在し、ゼロでない場合、が収束する場合に限り、 が収束します。 ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$

交代級数テスト。ライプニッツ基準としても知られる交代級数テストは、形式 の交代級数について、が単調に減少し、無限大で 0 の極限を持つ場合、級数は収束することを述べています。 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}}$${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$

コーシー凝縮テスト。 が正の単調減少列である場合、 が 場合に限り、 が収束します。 ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}}$

ディリクレ検定

アベルのテスト

級数が収束する場合、その級数は絶対収束します。絶対収束する級数はすべて収束しますが、その逆は成り立ちません。指数関数のマクローリン級数は、変数の すべての複素数値に対して絶対収束します。${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

級数が収束するが、級数が発散する場合、その級数は条件付き収束します。対数関数のマクローリン級数は、 x = 1に対して条件付き収束します。 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \ln(1+x)}$

リーマン級数定理は、級数が条件付きで収束する場合、級数が任意の値に収束するか、発散するように級数の項を並べ替えることが可能であると述べています。アグニューの定理は、すべての級数に対して収束を維持する並べ替えを特徴付けます。

関数の列をとします。この級数がfに一様収束するとは、次のように定義される部分和の 列が${\displaystyle \left\{f_{1},\ f_{2},\ f_{3},\dots \right\}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$${\displaystyle \{s_{n}\}}$

${\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)}$

fに一様収束します。

無限級数関数の比較テストに類似したものとして、ワイエルシュトラスの M テストがあります。

コーシー収束基準は、級数が

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

は、部分和の列がコーシー列である場合にのみ収束する。これは、任意のに対して、すべての に対してとなる正の整数が存在することを意味する。${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq m\geq N}$

${\displaystyle \left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon .}$

これは次のものと同等である

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\left(\sup _{n>m}\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|\right)=0.}$

• 通常の収束
• 数学シリーズの一覧

• 「シリーズ」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• Weisstein, Eric (2005). リーマン級数定理. 2005年5月16日閲覧。