弾性率

弾性率とは、物体や物質に応力が加えられた際に、弾性変形（つまり、非永久的な変形）に対する抵抗を表す量である。

物体の弾性率は、弾性変形領域における応力-ひずみ曲線の傾きとして定義されます。 ^{[ 1 ] より}硬い材料ほど弾性率は高くなります。弾性率は次の形式で表されます。

${\displaystyle \delta \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\text{stress}}{\text{strain}}}}$

ここで、応力とは変形を引き起こす力を力が加えられる面積で割った値であり、ひずみとは変形によって生じたあるパラメータの変化をそのパラメータの元の値で割った値である。

ひずみは無次元量であるため、${\displaystyle \delta }$応力の単位と同じになります。^{[ 2 ]}

弾性定数は、加えられた応力に対する材料の剛性を定量化する特定のパラメータであり、材料の弾性特性を定義する上で基本となります。これらの定数は、異方性材料において線形方程式によって応力とひずみを関連付けるテンソル表記の剛性行列の要素を形成します。一般的にC _ijklと表記され、ここでi、j、k、lは座標方向です。これらの定数は、さまざまな荷重の下で材料がどのように変形するかを理解する上で不可欠です。^{[ 3 ]}

応力とひずみの測定方法（測定方向を含む）を規定することで、様々な種類の弾性係数を定義することが可能になります。主な弾性係数は以下の4種類です。

1. ヤング率（ E）は、引張弾性と圧縮弾性、つまり物体がその軸に沿って反対方向の力が加えられたときにその軸に沿って変形する傾向を表します。これは、引張応力と引張ひずみの比として定義されます。これは、単に弾性率と呼ばれることもよくあります。
2. せん断弾性率または剛性率（Gまたは${\displaystyle \mu \,}$ラメ第2パラメータ）は、反対方向の力が作用した際に物体がせん断する傾向（体積一定での形状変形）を表し、せん断応力÷せん断ひずみとして定義されます。せん断弾性率は粘度の導出の一部です。
3. 体積弾性率（K）は、体積弾性、つまり物体が全方向に均一に荷重を受けたときに全方向に変形する傾向を表します。体積応力を体積ひずみで割った値として定義され、圧縮率の逆数です。体積弾性率は、ヤング率を3次元に拡張したものです。
4. 曲げ弾性率（ E _{flex ）は、物体に}モーメントが作用したときに物体がたわむ傾向を表します。

他の2つの弾性係数は、ラメの第1パラメータλとP波弾性係数Mであり、これらは参考文献の下に示されている弾性係数比較表で使用されています。均質で等方性（あらゆる方向で類似）の材料（固体）は、その（線形）弾性特性が2つの弾性係数によって完全に記述され、任意のペアを選択できます。弾性係数のペアが与えられた場合、他のすべての弾性係数は、ページ末尾の表にある式に従って計算できます。

静止状態の流体は、せん断応力を支えられないという点で特殊であり、せん断弾性率は常にゼロです。これは、このグループのヤング率も常にゼロであることを意味します。流体が固体表面に対して相対的に移動すると、表面に隣接するせん断応力が発生し、粘性という現象が生じます。

一部の文献では、弾性係数は弾性定数と呼ばれ、その逆数は弾性係数と呼ばれます。

密度汎関数理論（DFT）は、材料の機械的応力に対する反応の様々な特徴を表す弾性率の様々な形式を決定するための信頼性の高い手法を提供します。VASP 、Quantum ESPRESSO、ABINITなどのDFTソフトウェアを活用してください。全体として、k点メッシュの密度、平面波カットオフエネルギー、シミュレーションセルのサイズなどの計算パラメータに結果が依存しないことを確認するためのテストを実施してください。

1. ヤング率( E ) - 特定の軸に沿って格子定数に小さな増分変化を加え、DFT を使用して対応する応力応答を計算します。ヤング率は、E = σ / ϵとして計算されます。ここで、 σは応力、ϵはひずみです。^{[ 4 ]}
   1. 初期構造：材料の緩和された構造から始めます。変形を適用する前に、すべての原子は最小エネルギー状態（つまり、原子に力が全くかからない最小エネルギー状態）にある必要があります。^{[ 5 ]}
   2. 漸増一軸歪み：結晶格子に特定の軸に沿って、小さな漸増歪みを加えます。この歪みは通常一軸歪みであり、他の寸法を一定または周期的に保ちながら、格子を一方向に伸縮させます。
   3. 応力の計算：各歪み構造について、DFT計算を実行して結果として得られる応力テンソルを計算します。これには、コーン・シャム方程式を解いて、歪み条件下での基底状態の電子密度とエネルギーを求めることが含まれます。
   4. 応力-ひずみ曲線：計算された応力と加えられたひずみをプロットして、応力-ひずみ曲線を作成します。この曲線の初期の直線部分の傾きがヤング率を示します。数学的には、ヤング率Eは、 E = σ / ϵの式で計算されます。ここで、σは応力、ϵはひずみです。
2. せん断弾性率（G）
   1. 初期構造：材料の緩和された構造から始めます。変形を適用する前に、すべての原子は残留力が存在しない最小エネルギー状態（つまり、原子にかかる力がゼロの最小エネルギー状態）にある必要があります。
   2. せん断ひずみの適用：材料に小さなせん断ひずみの増分を適用します。せん断ひずみは通常、ひずみテンソルの非対角成分であり、結晶セルの形状に影響を与えますが、体積には影響を与えません。^{[ 6 ]}
   3. 応力計算：せん断ひずみを加えた各構成について、DFT計算を実行して結果として得られる応力テンソルを決定します。
   4. せん断応力対せん断ひずみ曲線：各増分について、計算されたせん断応力を印加されたせん断ひずみに対してプロットします。応力-ひずみ曲線の線形領域の傾きは、せん断弾性率G = τ / γを示します。ここで、 τはせん断応力、γは印加されたせん断ひずみです。
3. 体積弾性率（K）
   1. 初期構造：まず、材料の緩やかな構造から始めます。材料が完全に最適化されていることが重要であり、体積の変化はすべて加えられた圧力のみによるものであることを保証する必要があります。
   2. 体積変化：結晶セルの体積を、圧縮または膨張させることで段階的に変化させます。これは通常、格子定数を均一にスケーリングすることによって行われます。
   3. 圧力の計算：体積が変化した各項目について、DFT計算を実行して、その体積を維持するために必要な圧力を決定します。DFTでは、内部圧力を直接測定できる応力テンソルを計算することができます。
   4. 圧力-体積曲線：印加圧力とそれに伴う体積変化をプロットします。体積弾性率は、線形弾性領域におけるこの曲線の傾きから計算できます。体積弾性率はK =− VdV / dPと定義され、ここでVは元の体積、dPは圧力の変化、dVは体積の変化です。^{[ 7 ]}

• ハルツイカー、C. JW ウェルマン (2001)。工学力学。 2巻。スプリンガー。ISBN 978-1-4020-4123-5。

• De Jong, M.; Chen, Wei (2015). "無機結晶化合物の完全な弾性特性のチャート化" . Scientific Data . 2 : 150009. Bibcode : 2013NatSD...2E0009D . doi : 10.1038/sdata.2015.9 . PMC 4432655 . PMID 25984348 .