Technique in integral evaluation
微積分学 において 、 置換積分は u 置換 、 逆連鎖律 、 変数変換 とも呼ばれ 、 [1] 積分 と 積分不定法 を評価する方法である。これは 微分 における 連鎖律 に対応するもので 、連鎖律を「逆」に使用するものと考えることができる。
単一変数の置換
はじめに（不定積分） 結果を 厳密に述べる前に、 不定積分を 使用した簡単なケースを考えてみましょう 。
計算 [2]
∫
(
2
x
3
+
1
)
7
(
x
2
)
d
x
.
{\textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx.}
設定する これは、または微分形式として を意味します 。 ここ で 、
は 積分の 任意の定数です 。
u
=
2
x
3
+
1.
{\displaystyle u=2x^{3}+1.}
d
u
d
x
=
6
x
2
,
{\textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2},}
d
u
=
6
x
2
d
x
.
{\textstyle du=6x^{2}\,dx.}
∫
(
2
x
3
+
1
)
7
(
x
2
)
d
x
=
1
6
∫
(
2
x
3
+
1
)
7
⏟
u
7
(
6
x
2
)
d
x
⏟
d
u
=
1
6
∫
u
7
d
u
=
1
6
(
1
8
u
8
)
+
C
=
1
48
(
2
x
3
+
1
)
8
+
C
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx&={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}\\&={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du\\&={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C\\&={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C,\end{aligned}}}
C
{\displaystyle C}
この手順は頻繁に使用されますが、すべての積分がこの手順を使用できる形式であるわけではありません。いずれにしても、結果は微分して元の積分対象と比較することによって検証する必要があります。
定積分の場合、積分の限界も調整する必要がありますが、手順はほぼ同じです。
d
d
x
[
1
48
(
2
x
3
+
1
)
8
+
C
]
=
1
6
(
2
x
3
+
1
)
7
(
6
x
2
)
=
(
2
x
3
+
1
)
7
(
x
2
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).}
定積分に関する記述 を連続導関数を持つ 微分可能関数 と し 、 区間 と する 。 が 連続関数 であると仮定する と、次の式が成り立つ。 [3]
g
:
[
a
,
b
]
→
I
{\displaystyle g:[a,b]\to I}
I
⊂
R
{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }
f
:
I
→
R
{\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }
∫
a
b
f
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
d
x
=
∫
g
(
a
)
g
(
b
)
f
(
u
)
d
u
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\,dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du.}
ライプニッツ記法では、この置換により次の式 が得られます。
無限小値
を発見的に処理すると、上記の置換式を示唆する 式が得られます
。(この式は、 微分形式
に関する記述として解釈することで、厳密な基礎に置くことができます。) 置換による積分法は、積分と微分に関する ライプニッツ記法 の部分的な正当化と見なすことができます 。
u
=
g
(
x
)
{\displaystyle u=g(x)}
d
u
d
x
=
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {du}{dx}}=g'(x).}
d
u
=
g
′
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle du=g'(x)\,dx,}
この公式は、ある積分を、計算しやすい別の積分に変換するために使用されます。したがって、この公式は、与えられた積分を簡略化するために、左から右へ、または右から左へ読むことができます。前者の場合、 u 置換 または w 置換と呼ばれることもあります。この場合、新しい変数は、 合成 関数内にある元の変数の関数に 内部関数の導関数を乗じたものとして定義されます。後者の方法は、 三角置換でよく使用され、元の変数を新しい変数の 三角関数 に置き換え 、元の 微分を 三角関数の微分に置き換えます。
証拠 置換積分は、次のように 微積分の基本定理 から導くことができます。および を、 上で連続であり 、 閉区間 上で積分可能である という上記の仮定を満たす 2 つの関数 とします。 この場合、関数 は 上でも積分可能です 。したがって、積分
と は
実際に存在し、残っているのはこれらが等しいことを示すことです。
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
f
{\displaystyle f}
I
{\displaystyle I}
g
′
{\displaystyle g'}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
f
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
{\displaystyle f(g(x))\cdot g'(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
∫
a
b
f
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx}
∫
g
(
a
)
g
(
b
)
f
(
u
)
d
u
{\displaystyle \int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du}
は連続なので 、 原始微分 が存在します。次に 合成関数 が定義されます。 は 微分可能なので、 連鎖律 と原始微分の定義を組み合わせると次のようになります。
f
{\displaystyle f}
F
{\displaystyle F}
F
∘
g
{\displaystyle F\circ g}
g
{\displaystyle g}
(
F
∘
g
)
′
(
x
)
=
F
′
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle (F\circ g)'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x).}
微積分の基本定理 を 2 回適用すると 、次の式が得られます。
これは置換規則です。
∫
a
b
f
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
(
F
∘
g
)
′
(
x
)
d
x
=
(
F
∘
g
)
(
b
)
−
(
F
∘
g
)
(
a
)
=
F
(
g
(
b
)
)
−
F
(
g
(
a
)
)
=
∫
g
(
a
)
g
(
b
)
f
(
u
)
d
u
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx&=\int _{a}^{b}(F\circ g)'(x)\ dx\\&=(F\circ g)(b)-(F\circ g)(a)\\&=F(g(b))-F(g(a))\\&=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du,\end{aligned}}}
例: 不定積分 置換は、原始導関数を 決定するために使用できます 。 と の関係を選択し 、 と の対応する関係を微分によって決定し、置換を実行します。 置換された関数の原始導関数が決定されれば、 と の間の元の置換 は元に戻されます。
x
{\displaystyle x}
u
,
{\displaystyle u,}
d
x
{\displaystyle dx}
d
u
{\displaystyle du}
x
{\displaystyle x}
u
{\displaystyle u}
例1 積分を考えます。
意味を 得るために
代入を行うと、次のようになります 。したがって、
ここでは 積分の 任意の定数です 。
∫
x
cos
(
x
2
+
1
)
d
x
.
{\displaystyle \int x\cos(x^{2}+1)\ dx.}
u
=
x
2
+
1
{\textstyle u=x^{2}+1}
d
u
=
2
x
d
x
,
{\displaystyle du=2x\ dx,}
x
d
x
=
1
2
d
u
.
{\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}
∫
x
cos
(
x
2
+
1
)
d
x
=
1
2
∫
2
x
cos
(
x
2
+
1
)
d
x
=
1
2
∫
cos
u
d
u
=
1
2
sin
u
+
C
=
1
2
sin
(
x
2
+
1
)
+
C
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin u+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}}
C
{\displaystyle C}
例 2: 正接と余接の不定積分 正接関数は、 正弦 と余弦を使って表すことで、置換法を使って積分することができます 。
tan
x
=
sin
x
cos
x
{\displaystyle \tan x={\tfrac {\sin x}{\cos x}}}
置換を使用する と 、
u
=
cos
x
{\displaystyle u=\cos x}
d
u
=
−
sin
x
d
x
{\displaystyle du=-\sin x\,dx}
∫
tan
x
d
x
=
∫
sin
x
cos
x
d
x
=
∫
−
d
u
u
=
−
ln
|
u
|
+
C
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
=
ln
|
sec
x
|
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\&=\int -{\frac {du}{u}}\\&=-\ln \left|u\right|+C\\&=-\ln \left|\cos x\right|+C\\&=\ln \left|\sec x\right|+C.\end{aligned}}}
余接関数も 同様 に と表し 、 を代入して積分することができます 。
cot
x
=
cos
x
sin
x
{\displaystyle \cot x={\tfrac {\cos x}{\sin x}}}
u
=
sin
x
,
d
u
=
cos
x
d
x
{\displaystyle u=\sin {x},du=\cos {x}\,dx}
∫
cot
x
d
x
=
∫
cos
x
sin
x
d
x
=
∫
d
u
u
=
ln
|
u
|
+
C
=
ln
|
sin
x
|
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \cot x\,dx&=\int {\frac {\cos x}{\sin x}}\,dx\\&=\int {\frac {du}{u}}\\&=\ln \left|u\right|+C\\&=\ln \left|\sin x\right|+C.\end{aligned}}}
例: 定積分 置換によって定積分を評価する場合、まず不定積分を完全に計算してから境界条件を適用することができます。その場合、境界項を変換する必要はありません。あるいは、まず不定積分 (上記参照) を完全に評価してから境界条件を適用することもできます。これは、複数の置換が使用される場合に特に便利です。
例1 積分について考えます。
意味を 得るために
代入を行います 。したがって、
下限値は に置き換えられ 、上限値はに置き換えられたので、 に 戻す変換は 不要でした。
∫
0
2
x
x
2
+
1
d
x
.
{\displaystyle \int _{0}^{2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}dx.}
u
=
x
2
+
1
{\textstyle u=x^{2}+1}
d
u
=
2
x
d
x
,
{\displaystyle du=2x\ dx,}
x
d
x
=
1
2
d
u
.
{\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}
∫
x
=
0
x
=
2
x
x
2
+
1
d
x
=
1
2
∫
u
=
1
u
=
5
d
u
u
=
1
2
(
2
5
−
2
1
)
=
5
−
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\ dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}{\frac {du}{\sqrt {u}}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(2{\sqrt {5}}-2{\sqrt {1}}\right)\\[6pt]&={\sqrt {5}}-1.\end{aligned}}}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
u
=
1
,
{\displaystyle u=1,}
x
=
2
{\displaystyle x=2}
2
2
+
1
=
5
,
{\displaystyle 2^{2}+1=5,}
x
{\displaystyle x}
積分には
上記の手順のバリエーションが必要です。 の置換 は、次のようになる ため便利です 。
∫
0
1
1
−
x
2
d
x
,
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx,}
x
=
sin
u
{\displaystyle x=\sin u}
d
x
=
cos
u
d
u
{\displaystyle dx=\cos u\,du}
1
−
sin
2
u
=
cos
u
.
{\textstyle {\sqrt {1-\sin ^{2}u}}=\cos u.}
∫
0
1
1
−
x
2
d
x
=
∫
0
π
/
2
1
−
sin
2
u
cos
u
d
u
=
∫
0
π
/
2
cos
2
u
d
u
=
[
u
2
+
sin
(
2
u
)
4
]
0
π
/
2
=
π
4
+
0
=
π
4
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\ dx&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\sin ^{2}u}}\cos u\ du\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}u\ du\\[6pt]&=\left[{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}+0\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}}
結果の積分は、部分積分 または 2倍角の公式 を使用して計算でき 、 その後にもう1つの代入が行われます。積分される関数は半径1の円の右上の1/4であることにも注意してください。したがって、右上の1/4を0から1まで積分することは、単位円の1/4の面積、つまり
2
cos
2
u
=
1
+
cos
(
2
u
)
,
{\textstyle 2\cos ^{2}u=1+\cos(2u),}
π
4
.
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}.}
複数の変数の代入 複数の変数の関数を 積分するときにも置換を使用することができます 。
ここで、置換関数 ( v 1 ,..., v n ) = φ ( u 1 , ..., u n )は 単射 かつ連続的に微分可能である必要があり 、微分は次のように変換されます。
ここで、 det( Dφ )( u 1 , ..., u n ) は、点 ( u 1 , ..., u n )における φ の 偏微分 の ヤコビ行列 の 行列式 を表します。この式は、行列の行列式の 絶対値が 、その列または行が張る
平行四辺形 の体積に等しい という事実を表しています。
d
v
1
⋯
d
v
n
=
|
det
(
D
φ
)
(
u
1
,
…
,
u
n
)
|
d
u
1
⋯
d
u
n
,
{\displaystyle dv_{1}\cdots dv_{n}=\left|\det(D\varphi )(u_{1},\ldots ,u_{n})\right|\,du_{1}\cdots du_{n},}
より正確には、 変数変換の 式は次の定理で述べられます。
定理 — U を R n の開集合とし 、 φ : U → R n を 、 U の任意の x に対してヤコビアン はゼロでない、連続偏導関数を持つ 単射微分可能関数とします。すると、 φ ( U ) に台が含まれる 、任意の実数値でコンパクトに台付けされた連続関数 f に対して、次の式が成り立ちます。
∫
φ
(
U
)
f
(
v
)
d
v
=
∫
U
f
(
φ
(
u
)
)
|
det
(
D
φ
)
(
u
)
|
d
u
.
{\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int _{U}f(\varphi (\mathbf {u} ))\,\,\left|\!\det(D\varphi )(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u} .}
定理の条件は、さまざまな方法で弱めることができる。まず、 φが連続的に微分可能であるという要件は、 φ が単に微分可能であり、連続的な逆関数を持つと いうより弱い仮定に置き換えることができる。 [4]これは、 逆関数定理によって φが 連続的に微分可能で ある場合に成立することが保証される。あるいは、 det( Dφ )≠0 という要件は、 サードの定理を 適用することで排除することができる 。 [5]
ルベーグ可測関数の場合、定理は次の形式で述べることができる： [6]
定理 — U を R n の可測部分集合とし 、 φ : U → R n を 単射関数 と し、 U のすべての xに対して R n , n に φ ′( x ) が存在し、 y → x のときに φ ( y ) = φ ( x ) + φ′ ( x )( y − x ) + o (‖ y − x ‖)が 成り立つ とします ( ここで o は 小さな o 表記 )。すると φ ( U ) は可測であり、 φ ( U ) 上で定義されている任意 の実数値関数 fに対して 、
どちらかの積分が存在する場合 (正しく無限である可能性も含む)、もう一方も存在し、それらの値は同じであるという意味です
。
∫
φ
(
U
)
f
(
v
)
d
v
=
∫
U
f
(
φ
(
u
)
)
|
det
φ
′
(
u
)
|
d
u
{\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(v)\,dv=\int _{U}f(\varphi (u))\,\,\left|\!\det \varphi '(u)\right|\,du}
測度論 におけるもう一つの非常に一般的なバージョン は次の通りである: [7]
定理 — X を 有限の ラドン測度 μを備えた 局所コンパクト ハウスドルフ空間 とし 、 Y を σ 有限のラドン測度 ρ を備えた σ コンパクト ハウスドルフ空間とする 。 φ : X → Y を 絶対 連続 関数 と する （ 後者 は μ ( E ) = 0 のときはいつでも ρ ( φ ( E )) = 0 となることを意味する ） 。 すると 、 X 上 に 実 数値 ボレル 可 測 関数 w が存在し 、 任意の ルベーグ可積分 関数 f : Y → R に対して 、関数 ( f ∘ φ ) ⋅ w はX 上でルベーグ可積分であり 、
さらに、 Y 上の
何らかのボレル可測関数 g に対して次のように
書くことができる
。
∫
Y
f
(
y
)
d
ρ
(
y
)
=
∫
X
(
f
∘
φ
)
(
x
)
w
(
x
)
d
μ
(
x
)
.
{\displaystyle \int _{Y}f(y)\,d\rho (y)=\int _{X}(f\circ \varphi )(x)\,w(x)\,d\mu (x).}
w
(
x
)
=
(
g
∘
φ
)
(
x
)
{\displaystyle w(x)=(g\circ \varphi )(x)}
幾何学的測度論 では 、置換積分は リプシッツ関数 で使用されます。双リプシッツ関数は、リプシッツ関数 φ : U → R n が単射であり、その逆関数 φ −1 : φ ( U ) → U もリプシッツであるものです。 ラーデマッハの定理 により、双リプシッツ写像は ほとんどどこでも微分可能です。特に、双リプシッツ写像 det Dφ のヤコビ行列式は、 ほとんどどこでも明確に定義されます。次の結果が成り立ちます。
定理 — U を R n の開集合とし 、 φ : U → R n を 双リプシッツ写像とします。 f : φ ( U ) → R を 測定可能とします。すると
、どちらかの積分が存在する（または正しく無限である）場合、もう一方の積分も存在するという意味で、それらは同じ値を持ちます。
∫
φ
(
U
)
f
(
x
)
d
x
=
∫
U
(
f
∘
φ
)
(
x
)
|
det
D
φ
(
x
)
|
d
x
{\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(x)\,dx=\int _{U}(f\circ \varphi )(x)\,\,\left|\!\det D\varphi (x)\right|\,dx}
上記の定理は、 1769年に オイラーが 二重積分 の概念を考案したときに初めて提案されました。1773年に ラグランジュ によって三重積分に一般化され 、 ルジャンドル 、 ラプラス 、 ガウス によって使用され、 1836年に ミハイル・オストログラツキーによって初めて n 変数に一般化されまし たが、驚くほど長い間、完全に厳密な形式的証明が困難であり、125年後、 エリー・カルタン が1890年代半ばに一連の論文で初めて満足のいく解決をしました。 [8] [9]
確率への応用 置換法は、確率における次の重要な質問に答えるために使用できます。 確率密度 p X を持つランダム変数 X と 、単射 (1 対 1) ϕ に対して Y = ϕ ( X ) となる 別のランダム変数 Yが与えられた場合 、 Y の確率密度はいくらでしょうか 。
この質問に答えるには、まず少し違う質問に答えるのが一番簡単です。Y が 特定のサブセット S内の値を取る確率 は どれくらいでしょうか。この確率を P ( Y ∈ S ) と記します。 もちろん、 Y が 確率密度 p Y を 持つ場合、答えは次のようになります。
しかし、これはあまり役に立ちません 。p Y は
わからないからです。私たちが探しているのはそれです。変数 X の問題を考えることで、先に進むことができます 。Xが S 内の値を取る ときはいつでも、 Y は S 内 の値 を取るので、 次のようになります。
P
(
Y
∈
S
)
=
∫
S
p
Y
(
y
)
d
y
,
{\displaystyle P(Y\in S)=\int _{S}p_{Y}(y)\,dy,}
ϕ
−
1
(
S
)
,
{\textstyle \phi ^{-1}(S),}
P
(
Y
∈
S
)
=
P
(
X
∈
ϕ
−
1
(
S
)
)
=
∫
ϕ
−
1
(
S
)
p
X
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle P(Y\in S)=P(X\in \phi ^{-1}(S))=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx.}
変数 xを y に変更すると 次のようになります。
これを最初の方程式と組み合わせると
次のようになります。
P
(
Y
∈
S
)
=
∫
ϕ
−
1
(
S
)
p
X
(
x
)
d
x
=
∫
S
p
X
(
ϕ
−
1
(
y
)
)
|
d
ϕ
−
1
d
y
|
d
y
.
{\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy.}
∫
S
p
Y
(
y
)
d
y
=
∫
S
p
X
(
ϕ
−
1
(
y
)
)
|
d
ϕ
−
1
d
y
|
d
y
,
{\displaystyle \int _{S}p_{Y}(y)\,dy=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy,}
p
Y
(
y
)
=
p
X
(
ϕ
−
1
(
y
)
)
|
d
ϕ
−
1
d
y
|
.
{\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|.}
X と Y が 複数の相関のない変数 (つまり、および ) に依存する 場合、 は上で説明した複数の変数に代入することによって見つけることができます。結果は次のとおりです。
p
X
=
p
X
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\textstyle p_{X}=p_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})}
y
=
ϕ
(
x
)
{\displaystyle y=\phi (x)}
p
Y
{\displaystyle p_{Y}}
p
Y
(
y
)
=
p
X
(
ϕ
−
1
(
y
)
)
|
det
D
ϕ
−
1
(
y
)
|
.
{\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|\det D\phi ^{-1}(y)\right|.}
参照
数学ポータル
注記
^ スウォコウスキー 1983、257 ページ ^ スウォコウスキー 1983、258 ページ ^ ブリッグス＆コクラン 2011、361ページ ^ ルディン 1987、定理 7.26 ^ スピヴァック 1965年、72ページ ^ Fremlin 2010、定理 263D ^ Hewitt & Stromberg 1965、定理20.3 ^ カッツ 1982 ^ フェルゾラ 1994
参考文献
ブリッグス、ウィリアム; コクラン、ライル (2011)、 微積分学/初期超越論 (単変数版)、アディソン・ウェズリー、 ISBN 978-0-321-66414-3 Ferzola, Anthony P. (1994)、「オイラーと微分」、 The College Mathematics Journal 、 25 (2): 102–111、 doi :10.2307/2687130、 JSTOR 2687130、2012-11-07 にオリジナルからアーカイブ、 2008-12-24 に 取得 Fremlin, DH (2010)、 測度論、第2巻 、Torres Fremlin、 ISBN 978-0-9538129-7-4 。 ヒューイット、エドウィン 、ストロンバーグ、カール（1965）、 実解析と抽象解析 、シュプリンガー・フェアラーク、 ISBN 978-0-387-04559-7 。 Katz, V. (1982)、「多重積分における変数の変更: オイラーからカルタンへ」、 Mathematics Magazine 、 55 (1): 3–11、 doi :10.2307/2689856、 JSTOR 2689856 ルディン、ウォルター （1987）、 実解析と複素解析 、マグロウヒル、 ISBN 978-0-07-054234-1 。 スウォコウスキー、アール W. (1983)、 解析幾何学による微積分 （別版）、プリンドル、ウェーバー、シュミット、 ISBN 0-87150-341-7 スピヴァック、マイケル （1965）、 多様体上の微積分 、ウェストビュー・プレス、 ISBN 978-0-8053-9021-6 。
外部リンク
ウィキブック 微積分には、 置換規則 に関するページがあります。
ウィキバーシティには、置換積分 に関する学習リソースがあります。
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c45e07a7ab66a961dc2e144487f5267ffa4e73)
![{\displaystyle g:[a,b]\to I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7edb4dca39b3152399e42494b082d066ede89501)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin u+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0cd93e621e0b2e6a794f8d0dbd8f6a62d2f528)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\ dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}{\frac {du}{\sqrt {u}}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(2{\sqrt {5}}-2{\sqrt {1}}\right)\\[6pt]&={\sqrt {5}}-1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c70d93fbec14d7a1a37eb30eefcc91547b51fcea)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\ dx&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\sin ^{2}u}}\cos u\ du\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}u\ du\\[6pt]&=\left[{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}+0\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb06c32930a1f32345e884664e3e8ad8f36c6be)
