コーシー主値

数学において、コーシー主値は、オーギュスタン＝ルイ・コーシーにちなんで名付けられ、そうでなければ定義されない特定の不定積分に値を割り当てる方法である。この方法では、積分区間を非特異領域に制限することにより、積分区間上の 特異点が回避される。

積分関数fの特異点の種類に応じて、コーシー主値は次の規則に従って定義されます。

$${\displaystyle \lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\,\left[\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x~+~\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right]}$$ かつであり、ここでb は難しい点であり、その点における関数fの挙動は、任意の に対して となり、任意の に対してと なるようなものである ( ± および ∓ の表記の正確な使用法については、プラスまたはマイナスを参照)。 ${\displaystyle a<b<c}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty \quad }$$${\displaystyle a<b}$$${\displaystyle \int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty \quad }$$${\displaystyle b<c.}$

無限遠における特異点（）${\displaystyle \infty}$

$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\,\int _{-a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x}$$ どこで そして$${\displaystyle \int _{-\infty }^{0}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty }$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty .}$$

場合によっては、有限数bと無限大の両方における特異点を同時に扱う必要があります。これは通常、形式の極限によって行われます。 積分が 2 つの独立した有限極限に分割される場合、 関数 は通常の意味で積分可能です。主値を求める手順の結果は通常の積分と同じであり、定義と一致しなくなるため、技術的には「主値」ではありません。コーシー主値は、コンター C 上に極がある複素数値関数のコンター積分によって定義することもできます。極の周りの半径 εの円板の内側の部分が削除された同じコンターを と定義します。関数がε がどれだけ小さくなっても にわたって積分可能であるとすれば、コーシー主値は極限です。^[1]ルベーグ積分可能関数、つまり絶対値で積分可能な関数 の場合、これらの定義は積分の標準定義と一致する。関数が有理型である場合、ソホーツキー・プレメリ定理は、C上の積分の主値と、わずかに上下にずれた積分の平均値を関連付けるので、留数定理をそれらの積分に適用できます。主値積分はヒルベルト変換の議論において中心的な役割を果たします。^[2]$${\displaystyle \lim _{\;\eta \to 0^{+}}\,\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}}\,\left[\,\int _{b-{\frac {1}{\eta }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,~+~\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\eta }}}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right].}$$$${\displaystyle \lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\left|\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty }$$$${\displaystyle \lim _{\;\eta \to 0^{+}}\;\left|\,\int _{b+\eta }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty ,}$$${\displaystyle f(z):z=x+i\,y\;,}$${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} \;,}$${\displaystyle C(\varepsilon )}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle C(\varepsilon )}$ $${\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \int _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{ C(\varepsilon )}f(z)\,\mathrm {d} z.}$$${\displaystyle f(z)}$

をバンプ関数の集合、つまり実数直線上にコンパクトな台を持つ滑らかな関数の空間とします。すると、 コーシー主値を介して として定義される マップは超関数 になります。マップ自体は主値と呼ばれることもあります(したがってpvと表記されます)。この超関数は、たとえば、符号関数のフーリエ変換やヘヴィサイドのステップ関数に現れます。 ${\displaystyle {C_{c}^{\infty}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }$$$${\displaystyle \left[\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\right](u)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\mathbb {R} \setminus [-\varepsilon ,\varepsilon ]}{\frac {u(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\varepsilon }^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad {\text{for }}u\in {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}$$

シュワルツ関数 の極限の存在を証明するには 、まず がとして 上で連続であることに注目し 、したがって は連続であり、ロピタルの規則が適用されるので となります。 $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\varepsilon }^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}$$ ${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle {\frac {u(x)-u(-x)}{x}}}$${\displaystyle [0,\infty ),}$$${\displaystyle \lim _{\,x\searrow 0\,}\;{\Bigl [}u(x)-u(-x){\Bigr ]}~=~0~}$$$${\displaystyle \lim _{x\searrow 0}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}~=~\lim _{\,x\searrow 0\,}\,{\frac {u'(x)+u'(-x)}{1}}~=~2u'(0)~,}$$${\displaystyle u'(x)}$

したがって、が存在し、平均値定理を適用すると次のようになります。 ${\displaystyle \int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}$${\displaystyle u(x)-u(-x),}$

${\displaystyle \left|\,\int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right|\;\leq \;\int _{0}^{1}{\frac {{\bigl |}u(x)-u(-x){\bigr |}}{x}}\,\mathrm {d} x\;\leq \;\int _{0}^{1}\,{\frac {\,2x\,}{x}}\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}\,\mathrm {d} x\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}~.}$

さらに:

${\displaystyle \left|\,\int _{1}^{\infty }{\frac {\;u(x)-u(-x)\;}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right|\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~\cdot \;\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\,x^{2}\,}}\;=\;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~,}$

この写像はシュワルツ関数 の通常の半ノルムによって制限されることに注意してください 。したがって、この写像は明らかに線形であるため、シュワルツ空間上の連続関数、つまり緩和分布を定義します。 $${\displaystyle \operatorname {p.v.} \;\left({\frac {1}{\,x\,}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }$$ ${\displaystyle u}$

証明には、0 の近傍で連続的に微分可能であり、無限大に向かって有界であることだけが必要であることに注意してください。したがって、主値は、コンパクトなサポートで積分可能であり、0 で微分可能である など、さらに弱い仮定に基づいて定義されます。${\displaystyle u}$${\displaystyle x\,u}$${\displaystyle u}$

主値は関数の逆分布であり、この特性を持つほぼ唯一の分布です。 ここで、は定数であり、ディラック分布です。 ${\displaystyle x}$$${\displaystyle xf=1\quad \Leftrightarrow \quad \exists K:\;\;f=\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)+K\delta ,}$$${\displaystyle K}$${\displaystyle \delta }$

より広い意味では、主値は、ユークリッド空間 上の特異積分 核の広いクラスに対して定義できます。が原点に孤立した特異点を持ち、それ以外は「良い」関数である場合、主値分布は、コンパクトに支えられた滑らかな関数 によって定義されます。 このような極限は明確に定義されない場合があり、明確に定義されていても、必ずしも分布を定義するとは限りません。ただし、 が、原点を中心とする任意の球面上の積分がゼロになる 次数の連続同次関数である場合は、明確に定義されます。たとえば、リース変換がこれに該当します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle [\operatorname {p.\!v.} (K)](f)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\varepsilon }(0)}f(x)K(x)\,\mathrm {d} x.}$$${\displaystyle K}$${\displaystyle -n}$

次の 2 つの制限の値を考えてみましょう。 $${\displaystyle \lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=0,}$$

これは、それ以外では定義が曖昧な表現のコーシー主値である。 $${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}},{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.}$$

また： $${\displaystyle \lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-2a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=\ln 2.}$$

同様に、 $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=0,}$$

これは、他の点では定義が曖昧な表現の主な価値です が、 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.}$$$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=-\ln 4.}$$

関数のコーシー主値については、著者によって異なる表記法が用いられている。PV やVP なども同様である。${\displaystyle f}$$${\displaystyle PV\int f(x)\,\mathrm {d} x,}$$ $${\displaystyle \mathrm {p.v.} \int f(x)\,\mathrm {d} x,}$$ $${\displaystyle \int _{L}^{*}f(z)\,\mathrm {d} z,}$$ $${\displaystyle -\!\!\!\!\!\!\int f(x)\,\mathrm {d} x,}$$${\displaystyle P,}$${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle P_{v},}$ ${\displaystyle (CPV),}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$

• アダマール有限部分積分
• ヒルベルト変換
• ソホーツキー・プレメリ定理