連分数

連分数は、分母に別の単純分数または連分数を含む和を持つ分数として表される数式です。この反復が単純分数で終了するかどうかに応じて、連分数は有限または無限になります。

数学の分野によって、連分数の用語や表記法は異なります。数論では、連分数という用語の標準的な無条件の使用は、すべての分子が 1 である特殊なケースを指し、記事「単純連分数」で扱われます。この記事では、分子と分母が定数または関数の列である場合を扱います。数論の観点からは、これらは一般化連分数と呼ばれます。ただし、複素解析や数値解析の観点からは、これらは単なる標準であり、この記事では単に「連分数」と呼びます。 ${\displaystyle \{a_{i}\},\{b_{i}\}}$

連分数とは、次の形式の表現である。

${\displaystyle x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}$

ここで、a _n ( n > 0 ) は部分分子、b _nは部分分母、そして先頭の項b ₀は連分数の 整数部と呼ばれます。

連分数の連続収束式は、基本的な漸化式を適用することによって形成されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\frac {A_{0}}{B_{0}}}=b_{0},\\[4px]x_{1}&={\frac {A_{1}}{B_{1}}}={\frac {b_{1}b_{0}+a_{1}}{b_{1}}},\\[4px]x_{2}&={\frac {A_{2}}{B_{2}}}={\frac {b_{2}(b_{1}b_{0}+a_{1})+a_{2}b_{0}}{b_{2}b_{1}+a_{2}}},\ \dots \end{aligned}}}$

ここで、A _nは分子、B _{n は}分母であり、n番目の収束の継続式 [1] [2] と呼ばれる。これらは3^項再帰関係^[3]によって与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&=b_{n}A_{n-1}+a_{n}A_{n-2},\\B_{n}&=b_{n}B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}\qquad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}$

初期値付き

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{-1}&=1,&A_{0}&=b_{0},\\B_{-1}&=0,&B_{0}&=1.\end{aligned}}}$

収束する数列{ x _n }が極限に近づく場合、連分数は収束し、一定の値を持ちます。収束する数列が極限に近づかない場合は、連分数は発散します。振動によって発散する (たとえば、奇数と偶数の収束が 2 つの異なる極限に近づく) か、または無限個のゼロ分母B _{n を}生成する可能性があります。

連分数の物語はユークリッドの互除法^[4]から始まります。これは2つの自然数mとnの最大公約数を求める手順です。このアルゴリズムは、新しい余りを抽出し、その新しい余りで繰り返し割るという考え方を導入しました。

16世紀半ばにボンベッリ（1579）が連分数を使って二次方程式の根を近似する手法を考案するまでに、ほぼ2000年が経過した。ここで開発のペースは加速した。わずか24年後の1613年、ピエトロ・カタルディは一般化連分数の最初の正式な表記法を導入した。^[5]カタルディは連分数を次のように表した 。

${\displaystyle {a_{0}\cdot }\,\&\,{\frac {n_{1}}{d_{1}\cdot }}\,\&\,{\frac {n_{2}}{d_{2}\cdot }}\,\&\,{\frac {n_{3}}{d_{3}}}}$

ドットは次の分数が入る場所を示し、各& は現代のプラス記号を表します。

17世紀後半、ジョン・ウォリスは「連分数」という用語を数学文献に導入しました。^[6]数学的分析のための新しい技術（ニュートンとライプニッツの 微積分）が登場したばかりで、ウォリスの同時代人の世代がこの新しい用語を使用しました。

1748年にオイラーは、特定の種類の連分数が、ある非常に一般的な無限級数と同等であることを示す定理を発表しました。^[7] オイラーの連分数公式は、今でも連分数の収束に関する多くの現代の証明の基礎となっています。

1761年、ヨハン・ハインリヒ・ランベルトはtan xの連分数を用いてπが無理数であることを初めて証明した。^[8]

${\displaystyle \tan(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {-x^{2}}{3+{\cfrac {-x^{2}}{5+{\cfrac {-x^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}}$

連分数は整数論の問題にも応用でき、特にディオファントス方程式の研究に有用である。18世紀後半、ラグランジュは連分数を使ってペル方程式の一般解を構築し、千年以上も数学者を魅了してきた疑問に答えた。^{[9]ラグランジュの発見は、あらゆる非平方整数の}平方根の標準的な連分数展開は周期的であり、周期の長さがp > 1であれば、長さp − 1の回文文字列が含まれることを意味している。

1813年にガウスは複素数値の超幾何関数から、現在ではガウスの連分数と呼ばれるものを導き出しました。^{[10]これを使うと、複素平面上のほぼすべての場所で急速に収束する連分数として、多くの基本関数やいくつかのより高度な関数（}ベッセル関数など）を表現することができます。

序文で紹介されている長い連分数式は、慣れていない読者でも簡単に解釈できます。しかし、スペースを多く占め、印刷が難しい場合があります。そのため、数学者はいくつかの代替表記法を考案しました。一般化された連分数を表現する便利な方法の 1 つは、ネストされた各分数を同じ行に設定し、分母にぶら下がっているプラ​​ス記号でネストを示します。

${\displaystyle x=b_{0}+{\frac {a_{1}}{b_{1}+}}\,{\frac {a_{2}}{b_{2}+}}\,{\frac {a_{3}}{b_{3}+\cdots }}}$

プラス記号は、分母と垂直に揃うようにタイプセットされますが、分数線の下には揃わないことがあります。

${\displaystyle x=b_{0}+{\frac {a_{1}}{b_{1}}}{{} \atop +}{\frac {a_{2}}{b_{2}}}{{} \atop +}{\frac {a_{3}}{b_{3}}}{{} \atop \!{}+\cdots }}$

プリングシャイムは一般化された連分数を次のように書きました。

${\displaystyle x=b_{0}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {a_{1}}{\,b_{1}\,}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {a_{2}}{\,b_{2}\,}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {a_{3}}{\,b_{3}\,}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+\cdots }$

カール・フリードリヒ・ガウスは、この表記法を考案したときに、より馴染みのある無限積 Π を思い起こさせました。

${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}.\,}$

ここで、「K 」は「連分数」を意味するドイツ語のKettenbruchを表します。これはおそらく連分数を表現する最も簡潔で便利な方法ですが、英語の植字工の間では広く使用されていません。

ここでは、連分数の解析理論のさらなる発展において根本的に重要ないくつかの基本的な結果を示します。

部分分子a _{n + 1}の1つがゼロの場合、無限連分数は

${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

は実際にはn 個の分数項を持つ有限連分数であり、したがってa ₁からa _nおよびb _0からb _{n + 1}への有理関数です。このようなオブジェクトは、数学的分析で採用される観点からはあまり興味深くないため、通常はすべてのa _i ≠ 0と仮定されます。部分分母b _iにこの制限を課す必要はありません。

連分数の n次収束が

${\displaystyle x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

単純な分数として表されるx _n = ⁠ア_​/Bn_​⁠行列式の公式を使うことができます

連続する収束関数x _nとx _{n − 1}の分子と分母を互いに関連付けます。この証明は帰納法で簡単に行えます。

{ c _i } = { c ₁ , c ₂ , c ₃ , ...}が任意の非ゼロ複素数の無限列である 場合、帰納法によって次のことを証明できます。

${\displaystyle b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}=b_{0}+{\cfrac {c_{1}a_{1}}{c_{1}b_{1}+{\cfrac {c_{1}c_{2}a_{2}}{c_{2}b_{2}+{\cfrac {c_{2}c_{3}a_{3}}{c_{3}b_{3}+{\cfrac {c_{3}c_{4}a_{4}}{c_{4}b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}$

ここで、等式は同値性として理解され、つまり、左側の連分数の連続する収束が右側の分数の収束とまったく同じであることを意味します。

同値変換は完全に一般的なものですが、2 つの特定のケースについては特に言及する価値があります。まず、a _iのいずれも0 でない場合、各部分分子を 1 にするようにシーケンス{ c _i }を選択できます。

${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {1}{c_{i}b_{i}}}\,}$

ここでc ₁ = ⁠1/1_つ⁠ , c ₂ = ⁠1_つ/2_つ⁠、 c ₃ = ⁠2_つ/1 3_​​⁠、そして一般にc _{n + 1} = ⁠1/1 _{n + 1} c _n⁠ .

次に、部分分母b _iのいずれもゼロでない場合は、同様の手順を使用して別のシーケンス{ d _i }を選択し、各部分分母を1にします。

${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {d_{i}a_{i}}{1}}\,}$

ここでd ₁ = ⁠1/1 ₁⁠それ以外の場合はd _{n + 1} = ⁠1/bnbn _{+ 1}です_​⁠ .

同値変換のこれら 2 つの特殊なケースは、一般的な収束問題を分析するときに非常に役立ちます。

冒頭で述べたように、連分数は

${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

は、収束する数列{ x _n } が有限の極限に向かう場合、収束します。この収束の概念は非常に自然ですが、制限が厳しすぎる場合もあります。そのため、連分数の一般収束の概念を導入すると便利です。大まかに言えば、これは、収束を計算するために、分数の部分を0 ではなくw _nに置き換えることです。このようにして得られた収束は、修正収束と呼ばれます。修正収束の列がから十分に異なるすべての に対して収束するような列が存在する場合、連分数は一般に収束するといいます。この列は、連分数の例外的な列と呼ばれます。厳密な定義については、Lorentzen & Waadeland (1992) の第 2 章を参照してください。 ${\displaystyle \operatorname {K} _{i=n}^{\infty }{\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}}$${\displaystyle \{w_{n}^{*}\}}$${\displaystyle \{w_{n}\}}$${\displaystyle \{w_{n}^{*}\}}$${\displaystyle \{w_{n}^{*}\}}$

連分数には絶対収束という概念もあり、これは級数の絶対収束という概念に基づいています。連分数が絶対 収束するとは、級数が

${\displaystyle f=\sum _{n}\left(f_{n}-f_{n-1}\right),}$

ここで、は連分数の収束であり、絶対収束します。^[11] Śleszyński-Pringsheimの定理は絶対収束のための十分条件を提供します。 ${\displaystyle f_{n}=\operatorname {K} _{i=1}^{n}{\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}}$

最後に、1つ以上の複素変数の連分数が開近傍Ωで一様収束するとは、その収束関数がΩ上で一様収束する場合である。つまり、すべてのε > 0に対して、すべてのn > Mに対して、すべてのに対して、となるMが存在する場合である。 ${\displaystyle z\in \Omega }$

${\displaystyle |f(z)-f_{n}(z)|<\varepsilon .}$

連分数を偶数部分と奇数部分に分ける必要がある場合があります。たとえば、連分数が 2 つの異なる極限点pとqの間で振動により発散する場合、数列{ x ₀、x ₂、x ₄、...}はこれらのうちの 1 つに収束し、{ x ₁、x ₃、x ₅、...} は他の 1 つに収束する必要があります。このような状況では、元の連分数を 2 つの異なる連分数として表現し、一方がpに収束し、他方がqに収束すると便利な場合があります。

連分数の偶数部と奇数部の式は、分数がすでにすべての分母が1になるように変換されている場合に最も簡潔に記述できます。具体的には、

${\displaystyle x={\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{1}}\,}$

が連分数の場合、偶数部分x _evenと奇数部分x _oddは次のように表される。

${\displaystyle x_{\text{even}}={\cfrac {a_{1}}{1+a_{2}-{\cfrac {a_{2}a_{3}}{1+a_{3}+a_{4}-{\cfrac {a_{4}a_{5}}{1+a_{5}+a_{6}-{\cfrac {a_{6}a_{7}}{1+a_{7}+a_{8}-\ddots }}}}}}}}\,}$

そして

${\displaystyle x_{\text{odd}}=a_{1}-{\cfrac {a_{1}a_{2}}{1+a_{2}+a_{3}-{\cfrac {a_{3}a_{4}}{1+a_{4}+a_{5}-{\cfrac {a_{5}a_{6}}{1+a_{6}+a_{7}-{\cfrac {a_{7}a_{8}}{1+a_{8}+a_{9}-\ddots }}}}}}}}\,}$

より正確には、連分数xの連続収束関数が{ x ₁ , x ₂ , x ₃ , ...}である場合、_上で書いたx偶数の連続収束関数は{ x ₂ , x ₄ , x ₆ , ...}であり、 x_奇数の連続収束関数は{ x ₁ , x ₃ , x ₅ , ...}である。^[12]

a ₁、a ₂、...およびb ₁、b ₂、...が、十分に大きいkに対してa _k ≤ b _kを満たす正の整数である場合、

${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

無理数限界に収束する。^[13]

分数の連続する収束関数の部分分子と分母は、基本的な漸化式によって関連付けられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{-1}&=1&B_{-1}&=0\\A_{0}&=b_{0}&B_{0}&=1\\A_{n+1}&=b_{n+1}A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}&B_{n+1}&=b_{n+1}B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}\,\end{aligned}}}$

連分数の連続収束は次のように表される。

${\displaystyle x_{n}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}.\,}$

これらの再帰関係は、ジョン・ウォリス（1616-1703）とレオンハルト・オイラー（1707-1783）によるものです。^[14] これらの再帰関係は、ピエトロ・アントニオ・カタルディ（1548-1626）によって得られた関係の単なる異なる表記法です。

例として、黄金比φを表す標準形の正規連分数を考えてみましょう。

${\displaystyle x=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots \,}}}}}}}}}$

基本的な漸化式を適用すると、連続する分子A _nは{1、2、3、5、8、13、...}であり、連続する分母B _nは{1、1、2、3、5、8、...}であり、これらはフィボナッチ数列であることがわかります。この例では、すべての部分分子が 1 に等しいため、行列式の公式により、連続する収束値間の差の絶対値は非常に急速にゼロに近づくことが保証されます。

線形分数変換（LFT）は、次のような形式の 複素関数である。

${\displaystyle w=f(z)={\frac {a+bz}{c+dz}},\,}$

ここで、zは複素変数、a、b、c、dはc + dz ≠ 0となる任意の複素定数です。 w = f ( z )が定数となるケースを排除するために、ad ≠ bcという追加の制限が通常課されます。 線形分数変換はメビウス変換とも呼ばれ、多くの魅力的な特性を持っています。これらのうち 4 つは、連分数の解析理論を展開する上で非常に重要です。

• d ≠ 0の場合、LFT には 1 つまたは 2 つの固定点があります。これは、次の式を考えるとわかります。

${\displaystyle f(z)=z\Rightarrow dz^{2}+cz=a+bz\,}$

これは明らかにzの2 次方程式です。この方程式の根はf ( z )の不動点です。判別式( c − b ) ² + 4 adがゼロの場合、LFT は 1 つの点を固定します。それ以外の場合は 2 つの固定点を持ちます。

• ad ≠ bcの場合、LFTは拡張複素平面のそれ自身への可逆な 等角写像である。言い換えれば、このLFTは逆関数を持つ。

${\displaystyle z=g(w)={\frac {-a+cw}{b-dw}}\,}$

拡張複素平面上のすべての点zに対してf ( g ( z )) = g ( f ( z )) = zが成り立ち、 fとg は両方とも、極めて小さなスケールで角度と形状を保存します。z = g ( w )の形から、gもLFT であることがわかります。

• ad ≠ bcとなる 2 つの異なる LFT の合成は、それ自体がad ≠ bcとなる LFT です。言い換えれば、ad ≠ bcとなるすべてのLFT の集合は、関数の合成に対して閉じています。このようなすべての LFT の集合は、関数の「群演算」合成とともに、拡張複素平面の自己同型群として知られています。
• b = 0の場合、LFT は次のように簡約されます。

${\displaystyle w=f(z)={\frac {a}{c+dz}},\,}$

これは、zの非常に単純な有理型関数であり、1 つの単純な極( − ⁠c/d⁠）と等しい剰余は⁠1つの/d⁠ . (ローラン級数も参照。)

単純な線形分数変換のシーケンスを考える

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{0}(z)&=b_{0}+z,\\[4px]\tau _{1}(z)&={\frac {a_{1}}{b_{1}+z}},\\[4px]\tau _{2}(z)&={\frac {a_{2}}{b_{2}+z}},\\[4px]\tau _{3}(z)&={\frac {a_{3}}{b_{3}+z}},\\&\;\vdots \end{aligned}}}$

ここでは、各単純なLFTを表すためにτを使用し、関数の合成には従来の円記号を採用しています。また、n + 1個の変換τ _iの合成を表すために新しい記号Tn_を導入します。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {1}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}(z)=\tau _{0}{\big (}\tau _{1}(z){\big )},\\{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {2}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}(z)=\tau _{0}{\Big (}\tau _{1}{\big (}\tau _{2}(z){\big )}{\Big )},\,\end{aligned}}}$

などなど。最初の式を2番目の式に直接代入すると、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {1}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}(z)&=&\quad b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+z}}\\[4px]{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {2}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}(z)&=&\quad b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+z}}}}\,\end{aligned}}}$

そして、一般的には、

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}\circ \cdots \circ \tau _{n}(z)=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

ここで有限連分数Kの最後の部分分母はb _n + zであると理解されます。また、b _n + 0 = b _nなので、反復 LFT T _nにおける点z = 0の像は、実際にn 個の部分分子を持つ有限連分数の値です。

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(0)={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(\infty )=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}.\,}$

有限連分数を反復線形関数変換 Τn ( z )による点の像として定義すると、_無限連分数の直感的に魅力的な幾何学的解釈につながります。

関係

${\displaystyle x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(0)={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(\infty )\,}$

Τ _n ( z )とΤ _{n + 1} ( z )を基本的な漸化式で 書き直すと理解できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {(b_{n}+z)A_{n-1}+a_{n}A_{n-2}}{(b_{n}+z)B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}};\\[6px]{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {(b_{n+1}+z)A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}}{(b_{n+1}+z)B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {zA_{n}+A_{n+1}}{zB_{n}+B_{n+1}}}.\,\end{aligned}}}$

これらの式の最初の式では、比率は⁠ア_​/Bn_​⁠ zがゼロに近づくにつれてに近づく。2 番目では、比率は ⁠ に近づく。ア_​/Bn_​⁠ z が無限大に近づくにつれて、これが最初の幾何学的解釈につながります。連分数が収束する場合、連続する収束関数⁠ア_​/Bn_​⁠ は、最終的には任意に接近します。線形分数変換Τ _n ( z )は連続マッピングなので、 Τ _n (0) = ⁠の任意に小さい近傍にマッピングされるz = 0の近傍が存在する必要がありますア_​/Bn_​同様に、無限遠点の近傍が存在し、それがΤ _n (∞) = ⁠の任意の小さな近傍に写像される必要がある。_{1 n} − _{1 の}/Bn _{− 1の}⁠。したがって、連分数が収束する場合、変換Τ _n ( z ) は、nが大きくなる 非常に小さいzと非常に大きいz の両方を連分数の値であるxの任意に小さい近傍に

zの中間値については、連続する収束が近づいていくため、

${\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}\approx {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {A_{n-1}}{A_{n}}}\approx {\frac {B_{n-1}}{B_{n}}}=k\,}$

ここでkは_便宜上導入された定数である。しかし、Τn ( z )の式を代入する と、

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}\left({\frac {z{\frac {A_{n-1}}{A_{n}}}+1}{z{\frac {B_{n-1}}{B_{n}}}+1}}\right)\approx {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\left({\frac {zk+1}{zk+1}}\right)={\frac {A_{n}}{B_{n}}}\,}$

そのため、 zの中間値（z ≈ − k ^{−1の場合を除く）でさえ、} nがどんどん大きくなるにつれて、連分数の値であるxの任意の小さな近傍にマッピングされます。直感的には、収束する連分数が拡張された複素平面全体を1つの点にマッピングするかのようです。^[15]

シーケンス{ T _n } は拡張複素平面の自己同型群内にあることに注意してください。これは、各T _{n が}ab ≠ cdとなる線型分数変換であるためです。また、その自己同型群のすべてのメンバーは、拡張複素平面をそれ自体に写像します。つまり、どのT _nも平面を単一の点に写像することはできません。ただし、極限ではシーケンス{ T _n } は無限連分数を定義し、それが収束する場合、複素平面内の単一の点を表します。

無限連分数が収束すると、対応する LFT のシーケンス{ Τ _n }は、連分数の値であるxの方向に平面を「集中」させます。プロセスの各段階で、平面のより大きな領域がxの近傍にマッピングされ、残った平面のより小さな領域は、その近傍の外側のすべてをカバーするようにさらに薄く引き伸ばされます。^[16]

発散する連分数の場合、次の 3 つのケースを区別できます。

1. 2 つのシーケンス{ T _{2 n − 1} }と{ T _{2 n} }は、それ自体が 2 つの異なる値x _oddとx _{even を}持つ 2 つの収束する連分数を定義する可能性があります。この場合、シーケンス{ T _n }によって定義された連分数は、2 つの異なる極限点間の振動によって発散します。実際、このアイデアは一般化できます。つまり、3 つ、4 つ、または任意の数の極限点間を振動するシーケンス{ T _n }を構築できます。この場合の興味深い例は、シーケンス{ T _n }が拡張された複素平面上の自己同型群内の有限順序のサブグループを構成するときに発生します。
2. 数列{ Τ _n }は、無限個のゼロ分母B _{i を}生成すると同時に、有限収束のサブシーケンスを生成する。これらの有限収束は、繰り返されたり、認識可能な振動パターンに陥ったりしない可能性がある。または、有限の限界に収束したり、複数の有限の限界間で振動したりすることもある。有限収束がどのように動作するかに関係なく、数列{ Τ _n }によって定義される連分数は、この場合、無限遠点との振動によって発散する。^[17]
3. シーケンス{ T _n }は、有限個のゼロ分母B _iしか生成できません。一方、有限収束の部分シーケンスは、繰り返されることも有限の限界に近づくこともないパターンで、平面の周りを激しく踊ります。

ケース1と3の興味深い例は、単純な連分数を調べることによって構築できます。

${\displaystyle x=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+\ddots }}}}}}}}\,}$

ここで、zはz < − ⁠を満たす任意の実数である。1/4⁠ . ^[18]

オイラーは次の等式を証明した：^[7]

${\displaystyle a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}={\frac {a_{0}}{1-}}{\frac {a_{1}}{1+a_{1}-}}{\frac {a_{2}}{1+a_{2}-}}\cdots {\frac {a_{n}}{1+a_{n}}}.\,}$

このことから、次のような多くの結果が導き出されます。

${\displaystyle {\frac {1}{u_{1}}}+{\frac {1}{u_{2}}}+{\frac {1}{u_{3}}}+\cdots +{\frac {1}{u_{n}}}={\frac {1}{u_{1}-}}{\frac {u_{1}^{2}}{u_{1}+u_{2}-}}{\frac {u_{2}^{2}}{u_{2}+u_{3}-}}\cdots {\frac {u_{n-1}^{2}}{u_{n-1}+u_{n}}},\,}$

そして

${\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}}+{\frac {x}{a_{0}a_{1}}}+{\frac {x^{2}}{a_{0}a_{1}a_{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{a_{0}a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}}={\frac {1}{a_{0}-}}{\frac {a_{0}x}{a_{1}+x-}}{\frac {a_{1}x}{a_{2}+x-}}\cdots {\frac {a_{n-1}x}{a_{n}+x}}.\,}$

連分数と級数を結び付けるオイラーの公式は、基本的な不等式^{[リンクまたは説明が必要]}の動機であり、収束問題への基本的なアプローチの基礎でもあります。

ここでは、オイラーの恒等式を介して構築できる 2 つの連分数を示します。

${\displaystyle e^{x}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {1x}{2+x-{\cfrac {2x}{3+x-{\cfrac {3x}{4+x-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \log(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}}$

追加の一般化連分数は次のとおりです。

${\displaystyle \arctan {\cfrac {x}{y}}={\cfrac {xy}{1y^{2}+{\cfrac {(1xy)^{2}}{3y^{2}-1x^{2}+{\cfrac {(3xy)^{2}}{5y^{2}-3x^{2}+{\cfrac {(5xy)^{2}}{7y^{2}-5x^{2}+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {x}{1y+{\cfrac {(1x)^{2}}{3y+{\cfrac {(2x)^{2}}{5y+{\cfrac {(3x)^{2}}{7y+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+{\cfrac {x^{2}}{18y+\ddots }}}}}}}}}}\quad \Rightarrow \quad e^{2}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \log \left(1+{\frac {x}{y}}\right)={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}}$

この最後のアルゴリズムは、1970年代にアレクセイ・ニコラエヴィッチ・ホヴァンスキーが導き出したアルゴリズムに基づいています。^[19]

例: 2の自然対数(= [0; 1, 2, 3, 1, 5, ⁠2/3⁠、7、⁠1/2⁠、9、⁠2/5⁠ ,..., 2 k − 1, ⁠2/け⁠ ,...] ≈ 0.693147...): ^[20]

${\displaystyle \log 2=\log(1+1)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}$

ここにπの最もよく知られた一般連分数を 3 つ示します。最初の連分数は、上記の逆正接の式でx = y = 1に設定し、4 を掛けて導き出されます。πのライプニッツの公式:

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {4(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+-\cdots }$

収束が遅すぎるため、n 桁の小数点以下の正しい桁数を得るには約3 × 10 ⁿ項が必要です。Nilakantha Somayajiによって導出された級数:

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots }}}}}}=3-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(n+1)(2n+1)}}=3+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}-{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 7}}-+\cdots }$

ははるかに明白な表現ですが、それでも収束が非常に遅く、小数点が 5 桁の場合は約 50 項、小数点が 6 桁の場合は約 120 項が必要です。どちらもπに準線形収束します。一方、

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}=4-1+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{34}}+{\frac {16}{3145}}-{\frac {4}{4551}}+{\frac {1}{6601}}-{\frac {1}{38341}}+-\cdots }$

πに線形収束し、4つの項ごとに少なくとも3桁の精度が追加されます。これは、πの逆正弦式よりもわずかに速いペースです。

${\displaystyle \pi =6\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3\cdot {\binom {2n}{n}}}{16^{n}(2n+1)}}={\frac {3}{16^{0}\cdot 1}}+{\frac {6}{16^{1}\cdot 3}}+{\frac {18}{16^{2}\cdot 5}}+{\frac {60}{16^{3}\cdot 7}}+\cdots \!}$

5つの項ごとに少なくとも3桁の小数点を追加します。^[21]

• 注:この連分数の収束率 μ は3 − √ 8 ≈ 0.1715729に近づくため、⁠1/μ⁠ は3 + √ 8 ≈ 5.828427に近づき、その常用対数は0.7655... ≈ ⁠13/17⁠ > ⁠3/4⁠ . 同じ⁠1/μ⁠ = 3 + √ 8（白銀比の二乗）は、 2 = 1 + 1を使って計算した場合、 2 の自然対数と2 のn乗根（任意の整数n > 1に有効）の両方の展開された一般連分数でも観測されます。両方の式の展開された一般連分数では、収束率μ = (3 − √ 8 ) ² = 17 − √ 288 ≈ 0.02943725 であるため、 ⁠1/μ⁠ = (3 + √ 8 ) ² = 17 + √ 288 ≈ 33.97056、その常用対数は1.531... ≈ ⁠26/17⁠ > ⁠3/2⁠、したがって、2 つの項ごとに少なくとも 3 つの数字が追加されます。これは、折り畳み最大公約数が、折り畳まれていない最大公約数の各分数のペアを 1 つの分数に折り畳むため、収束速度が 2 倍になるためです。Manny Sardina の参考文献では、「折り畳み」連分数についてさらに説明しています。
• 注:逆正接の連分数の使用⁠ x/ええ⁠上で引用した最もよく知られているマチンのような公式と組み合わせると、依然として線形ではあるが、さらに急速に収束する式が得られます。

${\displaystyle \pi =16\tan ^{-1}{\cfrac {1}{5}}\,-\,4\tan ^{-1}{\cfrac {1}{239}}={\cfrac {16}{u+{\cfrac {1^{2}}{3u+{\cfrac {2^{2}}{5u+{\cfrac {3^{2}}{7u+\ddots }}}}}}}}\,-\,{\cfrac {4}{v+{\cfrac {1^{2}}{3v+{\cfrac {2^{2}}{5v+{\cfrac {3^{2}}{7v+\ddots }}}}}}}}.}$

ここでu = 5、v = 239です。

任意の正の数z ^mのn乗根は、 z = x ⁿ + yと書き直すことで表すことができ、次のようになります。

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}={\sqrt[{n}]{\left(x^{n}+y\right)^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {my}{nx^{n-m}+{\cfrac {(n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(n+m)y}{3nx^{n-m}+{\cfrac {(2n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(2n+m)y}{5nx^{n-m}+{\cfrac {(3n-m)y}{2x^{m}+\ddots }}}}}}}}}}}}}$

これは、分数のペアを1つの分数にまとめることで簡略化できます。

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {2x^{m}\cdot my}{n(2x^{n}+y)-my-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{3n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{5n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{7n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(4^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{9n(2x^{n}+y)-\ddots }}}}}}}}}}.}$

zの平方根は、 m = 1かつn = 2の特別なケースです。

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {3y}{6x+{\cfrac {3y}{2x+\ddots }}}}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2x^{2}+y)-y-{\cfrac {1\cdot 3y^{2}}{6(2x^{2}+y)-{\cfrac {3\cdot 5y^{2}}{10(2x^{2}+y)-\ddots }}}}}}}$

これは、次のことに注意することで簡略化できます。5/10⁠ = ⁠3/6⁠ = ⁠1/2⁠ :

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+\ddots }}}}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2x^{2}+y)-y-{\cfrac {y^{2}}{2(2x^{2}+y)-{\cfrac {y^{2}}{2(2x^{2}+y)-\ddots }}}}}}.}$

平方根は周期連分数で表すこともできますが、上記の形式の方が適切なxとyでより速く収束します。

2 の 3 乗根( 2 ^1/3または³ √ 2 ≈ 1.259921...) は、次の 2 つの方法で計算できます。

まず、 x = 1、y = 1、2 z − y = 3の「標準表記」:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {4}{9+{\cfrac {5}{2+{\cfrac {7}{15+{\cfrac {8}{2+{\cfrac {10}{21+{\cfrac {11}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 1}{9-1-{\cfrac {2\cdot 4}{27-{\cfrac {5\cdot 7}{45-{\cfrac {8\cdot 10}{63-{\cfrac {11\cdot 13}{81-\ddots }}}}}}}}}}.}$

次に、x = 5、y = 3、2 z − y = 253で急速に収束します。

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {0.5}{50+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {4}{150+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {7}{250+{\cfrac {8}{5+{\cfrac {10}{350+{\cfrac {11}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {2.5\cdot 1}{253-1-{\cfrac {2\cdot 4}{759-{\cfrac {5\cdot 7}{1265-{\cfrac {8\cdot 10}{1771-\ddots }}}}}}}}.}$

ポグソン比（100 ^1/5または⁵ √ 100 ≈ 2.511886...）、x = 5、y = 75、2 z − y = 6325の場合：

${\displaystyle {\sqrt[{5}]{100}}={\cfrac {5}{2}}+{\cfrac {3}{250+{\cfrac {12}{5+{\cfrac {18}{750+{\cfrac {27}{5+{\cfrac {33}{1250+{\cfrac {42}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {5}{2}}+{\cfrac {5\cdot 3}{1265-3-{\cfrac {12\cdot 18}{3795-{\cfrac {27\cdot 33}{6325-{\cfrac {42\cdot 48}{8855-\ddots }}}}}}}}.}$

2 の 12 乗根( 2 ^1/12または¹² √ 2 ≈ 1.059463...) は、「標準表記」を使用して次のように表されます。

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}=1+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {11}{2+{\cfrac {13}{36+{\cfrac {23}{2+{\cfrac {25}{60+{\cfrac {35}{2+{\cfrac {37}{84+{\cfrac {47}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 1}{36-1-{\cfrac {11\cdot 13}{108-{\cfrac {23\cdot 25}{180-{\cfrac {35\cdot 37}{252-{\cfrac {47\cdot 49}{324-\ddots }}}}}}}}}}.}$

平均律の完全五度（2 ^7/12または¹² √ 2 ⁷ ≈ 1.498307...）、m = 7の場合：

「標準表記」の場合:

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}=1+{\cfrac {7}{12+{\cfrac {5}{2+{\cfrac {19}{36+{\cfrac {17}{2+{\cfrac {31}{60+{\cfrac {29}{2+{\cfrac {43}{84+{\cfrac {41}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 7}{36-7-{\cfrac {5\cdot 19}{108-{\cfrac {17\cdot 31}{180-{\cfrac {29\cdot 43}{252-{\cfrac {41\cdot 55}{324-\ddots }}}}}}}}}}.}$

x = 3、y = −7153、2 z − y = 2 ¹⁹ + 3 ¹²で急速に収束します。

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\cfrac {1}{2}}{\sqrt[{12}]{3^{12}-7153}}={\cfrac {3}{2}}-{\cfrac {0.5\cdot 7153}{4\cdot 3^{12}-{\cfrac {11\cdot 7153}{6-{\cfrac {13\cdot 7153}{12\cdot 3^{12}-{\cfrac {23\cdot 7153}{6-{\cfrac {25\cdot 7153}{20\cdot 3^{12}-{\cfrac {35\cdot 7153}{6-{\cfrac {37\cdot 7153}{28\cdot 3^{12}-{\cfrac {47\cdot 7153}{6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\cfrac {3}{2}}-{\cfrac {3\cdot 7153}{12(2^{19}+3^{12})+7153-{\cfrac {11\cdot 13\cdot 7153^{2}}{36(2^{19}+3^{12})-{\cfrac {23\cdot 25\cdot 7153^{2}}{60(2^{19}+3^{12})-{\cfrac {35\cdot 37\cdot 7153^{2}}{84(2^{19}+3^{12})-\ddots }}}}}}}}.}$

この手法の詳細については、「(折り畳まれた)連分数を使用して根を抽出する一般的な方法」を参照してください。

一般化連分数のもう一つの意味は、高次元への一般化です。例えば、無理実数αの標準形の単純連分数と、2次元の格子点が直線y = αxの両側にある方法との間には密接な関係があります。この考え方を一般化すると、3次元以上の格子点に関連する何かについて尋ねることができます。この分野を研究する理由の1つは、数学的な一致の考え方を定量化することです。例えば、いくつかの実数の単項式の場合、対数形式を取り、それがどれだけ小さくなるかを検討します。もう1つの理由は、エルミートの問題に対する可能な解決策を見つけることです。

一般化された理論を構築しようとする試みは数多く行われてきました。この方向への注目すべき取り組みは、フェリックス・クライン（クライン多面体）、ジョルジュ・ポワトゥ、ジョージ・シェケレスによって行われました。

• ガウスの連分数
• パデテーブル
• 連分数を使った二次方程式を解く
• 収束問題
• 解析関数の無限合成
• レンツのアルゴリズム

• Steven R. Finch 著『Mathematical Constants』（Cambridge University Press、2003 年、ISBN 0-521-81805-2 ）の最初の 20 ページには、√ 2の一般化連分数と黄金比が記載されています。 
• OEISシーケンス A133593 (円周率の「正確な」連分数)