半周長

任意の三角形において、任意の頂点と、反対の外接円が三角形に接する点は、三角形の周長を 2 つの等しい長さに分割し、それぞれが半周長に等しい長さを持つ 2 つの経路を作成します。A 、B、B'、C' が図に示されているように、頂点と反対の外接円の接点 ( AA'、BB'、CC'、図では赤で示されている) を結ぶ線分は、分割線として知られています。

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=|AB|+|A'B|=|AB|+|AB'|=|AC|+|A'C|\\&=|AC|+|AC'|=|BC|+|B'C|=|BC|+|BC'|.\end{aligned}}}$

3つの分岐点は、三角形のナーゲル点で一致する。

三角形のクリーバーとは、三角形の周長を二等分し、その一端が3辺のうちの1辺の中点にある線分のことです。つまり、クリーバーは、スプリッターと同様に、三角形をそれぞれ半周長に等しい長さの2つの経路に分割します。これら3つのクリーバーは、スピーカ円の中心で交わります。スピーカ円は、三角形の中央の三角形の内接円であり、三角形の辺上のすべての点の重心です。

三角形の内心を通る線が周長を二等分するのは、その線が面積を二等分する場合に限る。

三角形の半周長は、その三角形の中央にある三角形の周長に等しい。

三角形の不等式によれば、三角形の最長辺の長さは半周長よりも短い。

任意の三角形の面積Aは、その内接円の半径と半周長の積で表されます。

${\displaystyle A=rs.}$

三角形の面積は、ヘロンの公式を用いて、その半周長と辺の長さa、b、cから計算することもできます。

${\displaystyle A={\sqrt {s\left(sa\right)\left(sb\right)\left(sc\right)}}.}$

三角形の外接半径 Rは、半周長と辺の長さから計算することもできます。

${\displaystyle R={\frac {abc}{4{\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}}.}$

この公式は正弦定理から導き出すことができる。

内半径は

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(sa)(sb)(sc)}{s}}}.}$

余接の法則は、三角形の頂点における半角の余接を、半周長、辺の長さ、および内接半径を用いて表す。

長さaの辺の対角の内部二等分線の長さは^{[ 1 ]}

${\displaystyle t_{a}={\frac {2{\sqrt {bcs(sa)}}}{b+c}}.}$

直角三角形では、斜辺上の外接円の半径は半周長に等しくなります。半周長は内接円の半径と外接円の半径の2倍の合計です。直角三角形の面積は${\displaystyle (sa)(sb)}$ここで、a、bは脚を表す。

辺の長さがa、b、c、dの四角形の半周長の公式は次のとおりです。

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

半周長を含む三角形の面積公式の1つは、内接円を持ち、ピトーの定理によれば対辺の長さの合計が半周長になる接線四角形にも適用されます。つまり、面積は内接半径と半周長の積になります。

${\displaystyle K=rs.}$

ブラフマグプタの円に内接する四角形の面積の公式の最も単純な形式は、ヘロンの三角形の面積の公式と似た形式をしている。

${\displaystyle K={\sqrt {\left(sa\right)\left(sb\right)\left(sc\right)\left(sd\right)}}.}$

ブレッチュナイダーの公式は、これをすべての凸四角形に一般化したものである。

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}},}$

ここで、αとγは互いに反対の角度である。

二心四角形の4辺は、半周長、内接半径、外接半径によってパラメータ化された4次方程式の4つの解である。

凸正多角形の面積は、その半周長とアポセムの積である。