ポアンカレ半平面モデル

非ユークリッド幾何学において、ポアンカレ半平面モデルは、おなじみのユークリッド平面上の点を用いて双曲平面を表現する方法である。具体的には、双曲平面上の各点は、座標を持つユークリッド点を用いて表現される。${\displaystyle \langle x,y\rangle }$⁠の⁠${\displaystyle y}$座標がゼロより大きい場合、上半平面となり、ポアンカレ計量と呼ばれる計量テンソル（距離の定義）が採用され、局所スケールは に反比例します。${\displaystyle y}$座標。​${\displaystyle x}$⁠ -軸、その⁠${\displaystyle y}$座標がゼロに等しい場合、双曲平面の外側にある理想点（無限遠点）を表します。

半平面モデルの点は、正の虚数部を持つ複素平面上にあるとみなされることがある。この解釈を用いると、双曲平面上の各点は複素数に対応する。

半平面モデルは、曲がった双曲平面から平坦なユークリッド平面への地図投影と考えることができます。双曲面モデル（ 3次元ミンコフスキー空間に埋め込まれた2枚のシートからなる双曲面上の双曲平面の表現で、3次元ユークリッド空間に埋め込まれた球面と類似）から、半平面モデルはヌルベクトルに平行な方向への正射影によって得られます。これは、理想点を中心とした一種の立体射影と考えることもできます。この射影は等角射影であり、角度を保存します。また、球面の立体射影と同様に、双曲平面上の一般化された円（測地線、ハイパーサイクル、ホロサイクル、円）を平面上の一般化された円（直線または円）に投影します。特に、測地線（直線に類似）は、中心が である半円に投影されます。${\displaystyle y}$座標ゼロ、または一定の垂直直線${\displaystyle x}$座標、ハイパーサイクルは円に投影され、交差します。${\displaystyle x}$軸、ホロサイクルは、に接する円のいずれかに投影されます。${\displaystyle x}$軸または一定の水平線${\displaystyle y}$座標系において、円は半平面内に完全に含まれる円に投影されます。

双曲運動、すなわち双曲平面から双曲平面自身への距離保存幾何学的変換は、ポアンカレ半平面において、半平面を保存する平面のメビウス変換のサブセットによって表される。これらは等角円保存変換であり、${\displaystyle x}$⁠軸を向きを変えずに自身に反転させる。平面上の点を複素数とすると、任意のメビウス変換は複素数の線形分数変換で表され、双曲運動は射影特殊線形群 の要素で表される。${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$⁠ .

ケイリー変換は、半平面モデルとポアンカレ円盤モデルとの間の等長変換を提供します。ポアンカレ円盤モデルは、双曲平面上の任意の通常の点を中心とする双曲面の立体投影であり、双曲平面をユークリッド平面上の円盤に写像します。また、等角写像性や一般化された円を一般化された円に写像するという性質も共有しています。

ポアンカレ半平面モデルはアンリ・ポアンカレにちなんで名付けられましたが、その起源はエウジェニオ・ベルトラーミにあります。彼はクラインモデルやポアンカレ円盤モデルとともにこのモデルを用いて、双曲幾何学がユークリッド幾何学と等しく矛盾しないことを示しました。

半平面モデルは、ポアンカレ半空間モデルに一般化できる。${\displaystyle (n+1)}$単一の を置き換えることにより、次元双曲空間を${\displaystyle x}$コーディネート担当​${\displaystyle n}$異なる座標。

半平面上のモデルの計量、${\displaystyle \{\langle x,y\rangle \mid y>0\},}$は：

${\displaystyle (ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}}{y^{2}}}}$

ここで、s は(曲線の場合もある) 線に沿った長さを表します。双曲平面上の直線(この計量テンソルでは測地線、つまり距離を最小にする曲線) は、このモデルではx軸に垂直な円弧(中心がx軸上にある半円) と、 x軸に垂直な直線の垂直線で表されます。

距離計算

もし${\textstyle p_{1}=\langle x_{1},y_{1}\rangle }$そして${\textstyle p_{2}=\langle x_{2},y_{2}\rangle }$半平面上の2点${\textstyle y>0}$そして${\textstyle {\チルダ {p}}_{1}=\langle x_{1},-y_{1}\rangle }$は${\textstyle p_{1}}$x軸を横切って下半平面に入ると、双曲平面計量における2点間の距離は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {dist} (p_{1},p_{2})&=2\operatorname {arsinh} {\frac {\|p_{2}-p_{1}\|}{2{\sqrt {y_{1}y_{2}{\vphantom {t}}}}}}\\[10mu]&=2\operatorname {artanh} {\frac {\|p_{2}-p_{1}\|}{\|p_{2}-{\tilde {p}}_{1}\|}}\\[10mu]&=2\ln {\frac {\|p_{2}-p_{1}\|+\|p_{2}-{\tilde {p}}_{1}\|}{2{\sqrt {y_{1}y_{2}{\vphantom {t}}}}}},\end{aligned}}}$$

どこ${\textstyle \|p_{2}-p_{1}\|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}$は点間のユークリッド距離です。${\displaystyle p_{1}}$そして​​${\displaystyle p_{2}}$⁠、${\displaystyle {\vphantom {\Big )}}\operatorname {arsinh} x={}}$${\displaystyle \textstyle \ln {\bigl (}x+{\sqrt {x^{2}+1}}{\bigr )}}$は逆双曲線正弦であり、${\displaystyle \operatorname {artanh} x{\vphantom {\big )}}={}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\ln {\bigl (}(1+x)/(1-x){\bigr )}}$これは逆双曲線正接です。${\textstyle 2\オペレーター名 {arsinh} }$この式は、双曲面モデル内の点間のミンコフスキー計量における弦の長さから導かれるものと考えることができる。${\displaystyle \operatorname {chord} (p_{1},\,p_{2})={}{\vphantom {\tfrac {1}{2}}}}$${\displaystyle 2\sinh {\tfrac {1}{2}}\operatorname {dist} (p_{1},\,p_{2})}$これは、球面上の弧長を弦長で表すのと類似している。${\textstyle 2\オペレーター名 {artanh} }$この公式は、原点に一点を持つポアンカレ円盤モデルにおけるユークリッド距離から導かれるものと考えることができ、これは、一点を中心とした立体投影を行い、平面上で原点から他の点までのユークリッド距離を測定することによって球面上の弧長を求めることに類似している。

2つのポイント${\textstyle p_{1}}$そして${\textstyle p_{2}}$双曲線（ユークリッド半円）上にあり、x軸と理想的な点で交わる。${\textstyle p_{0}=\langle x_{0},0\rangle }$そして${\textstyle p_{3}=\langle x_{3},0\rangle ,}$からの距離${\textstyle p_{1}}$に${\textstyle p_{2}}$は：

$${\displaystyle \operatorname {dist} (p_{1},p_{2})=\left|\,\ln {\frac {\|p_{2}-p_{0}\|\|p_{1}-p_{3}\|}{\|p_{1}-p_{0}\|\|p_{2}-p_{3}\|}}\right|.}$$

クロスレシオを参照。

特殊なケースは簡略化できます。同じ⁠${\displaystyle x}$座標: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\operatorname {dist} }{\bigl (}\langle x,y_{1}\rangle ,\langle x,y_{2}\rangle {\bigr )}=\left|\,\ln {\frac {y_{2}}{y_{1}}}\right|=|\ln y_{2}-\ln y_{1}|.}$$

同じ2つのポイント${\textstyle y}$座標：

$${\displaystyle {\operatorname {dist} }{\bigl (}\langle x_{1},\,y\rangle ,\langle x_{2},\,y\rangle {\bigr )}=2\operatorname {arsinh} {\frac {|x_{2}-x_{1}|}{2y}}.}$$

1点${\displaystyle \langle x_{1},r\rangle }$半円の頂点で${\textstyle (x-x_{1})^{2}+y^{2}=r^{2},}$そして中心角にあるもう1つの点${\displaystyle \phi }$⁠ .

$${\displaystyle {\operatorname {dist} }{\bigl (}\langle x_{1},r\rangle ,\langle x_{1}\pm r\sin \phi ,r\cos \phi \rangle {\bigr )}={2\operatorname {artanh} }{\bigl (}{\tan {\tfrac {1}{2}}\phi }{\bigr )}=\operatorname {gd} ^{-1}\phi ,}$$

どこで${\displaystyle \textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}$は逆グデルマン関数です。

ポアンカレ半平面モデルにおける 理想点（無限遠点）は、次の2種類に分類されます。${\displaystyle x}$軸、そして仮想点が${\displaystyle y=\infty }$これは、すべての直交線が⁠に収束する理想的な点です。${\displaystyle x}$軸が収束する。

直線、すなわち測地線（その内部に含まれる点間の最短経路）は、原点がx軸上にあるユークリッド半円、またはx軸に直交する直線状のユークリッド垂直線によってモデル化される。

中心が1 である円(中心点から等距離にある曲線)${\displaystyle \langle x,y\rangle }$半径${\displaystyle r}$中心を持つユークリッド円でモデル化される${\displaystyle \langle x,y\cosh r\rangle }$⁠と半径⁠${\displaystyle y\sinh r}$⁠ .

ハイパーサイクル（直線から等距離にある曲線、その軸）は、直線と交差する円弧によってモデル化されます。${\displaystyle x}$軸を、その軸をモデル化した半円と同じ2つの理想点に鋭角または鈍角で交わる直線、または${\displaystyle x}$軸は、その軸をモデル化した垂直線と同じ点にあるが、鋭角または鈍角になっている。

ホロサイクル（法線ベクトルがすべて同じ方向、つまり中心に漸近的に収束する曲線）は、${\displaystyle x}$⁠ -軸（ただし、その中心である理想的な交点を除く）、または⁠に平行な線${\displaystyle x}$⁠ -軸の場合、中心は理想的な点になります。${\displaystyle y=\infty }$⁠ .

ここでは、双曲平面における基本的な作図の効果をモデル内で実現するために、コンパスと定規を使った作図をどのように使用できるかを示します。^{[ 2 ]} 例えば、与えられた2点を通る双曲平面上の直線をモデル化したユークリッド半平面に半円を作図する方法です。

射影線形群PGL(2, C ) は、メビウス変換によってリーマン球面に作用します。上半平面Hをそれ自身に写像する部分群は PSL(2, R ) であり、実係数変換によって上半平面に推移的かつ等長的に作用し、上半平面を均質空間にします。

上半平面に分数線形変換によって作用し、双曲距離を保存する、密接に関連した4つのリー群が存在する。

• SL(2, R )は、行列式が +1 に等しい実数成分を持つ 2×2 行列の集合からなる特別な線形群です。多くのテキスト (Wikipedia を含む) では、実際には PSL(2, R) を意味しているにもかかわらず、SL(2, R) と表記されていることが多いことに注意してください。
• S*L(2, R ) は、行列式が +1 または −1 である実数成分を持つ 2×2 行列の集合からなる群です。SL(2, R ) はこの群の部分群であることに注意してください。
• 射影特殊線形群PSL(2, R ) = SL(2, R )/{± I } は、SL(2, R ) の行列を単位行列を法として加算または減算したものから構成される。
• 群 PS ^* L(2, R ) = S ^* L(2, R )/{± I }=PGL(2, R ) は、再び射影群であり、単位行列を法として再び射影群となります。PSL(2, R ) は、インデックス 2 の正規部分群として含まれ、もう 1 つの剰余類は、単位行列を法として −1 に等しい実数成分を持つ 2×2 行列の集合です。

これらのグループとポアンカレモデルとの関係は以下のとおりです。

• Hのすべての等長変換の群は、Isom( H ) と表記されることもあり、PS ^* L(2, R ) と同型です。これには、向きを保存する等長変換と向きを反転する等長変換の両方が含まれます。向きを反転する写像（鏡像）は${\displaystyle z\rightarrow -{\overline {z}}}$。
• Hの向きを保存する等長変換のグループ ( Isom ⁺ ( H ) と表記されることもある) は、PSL(2, R ) と同型である。

等長性群の重要な下位群は、フックス群である。

また、モジュラー群SL(2, Z )もよく見かけます。この群は2つの点で重要です。第一に、これは2×2の正方形格子点の対称群です。したがって、モジュラー形式や楕円関数など、正方形格子上で周期的な関数は、格子からSL(2, Z )対称性を継承します。第二に、SL(2, Z )は当然SL(2, R )の部分群であり、双曲的な性質が内在しています。特に、SL(2, Z )は双曲平面を等しい（ポアンカレ）面積のセルに分割するために使用できます。

射影特殊線形群の群作用${\displaystyle {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$の上${\displaystyle \mathbb {H} }$定義される

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {(ac|z|^{2}+bd+(ad+bc)\Re (z))+i(ad-bc)\Im (z)}{|cz+d|^{2}}}.}$

アクションは推移的であることに注意してください。任意の${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {H} }$存在する${\displaystyle g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$そのため${\displaystyle gz_{1}=z_{2}}$また、もし${\displaystyle gz=z}$すべての人々のために${\displaystyle z\in \mathbb {H} ,}$するとg = e となります。

元素の安定化群または等方性サブグループ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$は、${\displaystyle g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$これはzを変化させない：gz = z。iの安定化群は回転群である。

$${\displaystyle {\rm {SO}}(2)=\left.\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbb {R} \right\}.}$$

どの要素も${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$は、 iの何らかの要素によってマッピングされます。${\displaystyle {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$つまり、任意のzの等方性部分群はSO(2) と同型である。したがって、${\displaystyle \mathbb {H} ={\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )/{\rm {SO}}(2)}$あるいは、上半平面上の単位長さの接線ベクトルの束（単位接線束と呼ばれる）は、以下と同型である。${\displaystyle {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$。

上半平面はモジュラー群によって自由正則集合に分割される。${\displaystyle {\rm {SL}}(2,\mathbb {Z} ).}$

この計量テンソルの測地線は、実軸に垂直な円弧（原点が実軸上にある半円）と、実軸上で終わる垂直な直線である。

点iを通って垂直に上昇する単位速度の測地線は次のように与えられる。

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\cdot i=ie^{t}.}$

PSL(2, R ) は上半平面の等長変換によって推移的に作用するため、この測地線は PSL(2, R ) の作用によって他の測地線に写像されます。したがって、一般的な単位速度の測地線は次のように与えられます。

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\cdot i={\frac {aie^{t}+b}{cie^{t}+d}}.}$

これは、上半平面上の単位長さ接線束（複素線束）上の測地線流の基本的な記述を提供する。このモデルを出発点として、アノソフ流に関する記事で説明されているように、任意のリーマン面上の流れを得ることができる。

半空間上のモデルの計量${\textstyle \{\langle x,y,z\rangle \mid z>0\}}$は

$${\displaystyle (ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}{z^{2}}}\,}$$

ここで、s は曲線を含む可能性のある線に沿った長さを表します。双曲空間内の直線（この計量テンソルの測地線、つまり距離を最小化する曲線）は、このモデルではz = 0平面に垂直な円弧（原点がz = 0平面上にある半円）とz = 0平面に垂直な直線の垂直光線で表されます。

2点間の距離${\textstyle p_{1}=\langle x_{1},y_{1},z_{1}\rangle }$そして${\textstyle p_{2}=\langle x_{2},y_{2},z_{2}\rangle }$このような測地線に沿ってこの尺度で測定された値は次のとおりです。

$${\displaystyle \operatorname {dist} (p_{1},p_{2})=2\operatorname {arsinh} {\frac {\|p_{2}-p_{1}\|}{2{\sqrt {z_{1}z_{2}{\vphantom {t}}}}}}.}$$

このモデルは、${\displaystyle n+1}$n次元ユークリッドベクトル空間における実数xをベクトルに置き換えることにより、n次元双曲空間を定義できる。

注記

情報源