ホモロジー（数学）

数学において、もともと代数トポロジーで導入されたホモロジーという用語は、密接に関連する3つの主要な用法があります。まず、鎖複体のホモロジー、すなわちホモロジー群と呼ばれるアーベル群の列があり、これらは鎖複体の基本的な不変量とみなされます。次に、鎖複体を別の数学的対象に関連付けることができる場合、その対象にホモロジーを関連付けることもできます。鎖複体を特定の対象に関連付けるさまざまな手順は、ホモロジー理論に分類されます。最後に、ホモロジーは位相空間の研究において重要です。単一の位相空間に対する異なるホモロジー理論が同じホモロジー群を生成するという良好な条件下では、位相空間の単一のホモロジーを定義できます。この最後のホモロジーの概念は、曲面の穴やグラフのサイクルなど、一般数学で頻繁に議論される位相的な概念と密接に関連しています。位相空間のコホモロジーの概念に加えて、コチェイン複体のコホモロジーという関連概念もあり、これによって様々なコホモロジー理論が生まれています。

まず、鎖複合体から始めます。これは配列です。${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$アーベル群の${\displaystyle C_{n}}$（その要素は鎖と呼ばれる）および群準同型$d_n$（境界マップと呼ばれる）：

${\displaystyle \cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots }$、

連続する2つのマップの合成がゼロになるようなもの：

${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0.}$

の${\displaystyle n}$第 1 回目のサイクル群、${\displaystyle Z_{n}}$は、核部分群によって与えられる。

${\displaystyle Z_{n}=\ker d_{n}=\{c\in C_{n}\,|\;d_{n}(c)=0\}}$、

そして${\displaystyle n}$境界のグループ、${\displaystyle B_{n}}$は、イメージ部分群によって与えられる。

${\displaystyle B_{n}:=\mathrm {im} \,d_{n+1}=\{d_{n+1}(c)\,|\;c\in C_{n+1}\}}$。

の${\displaystyle n}$th相同性群${\displaystyle H_{n}}$この鎖複合体の商群は${\displaystyle H_{n}=Z_{n}/B_{n}}$境界を法とするサイクルの数。

鎖状複合体に付加的な構造を与えることができる。例えば、グループを取り上げると${\displaystyle C_{n}}$係数環上の加群である${\displaystyle R}$境界地図を取得$d_n$である${\displaystyle R}$-モジュール準同型はホモロジー群を生み出す${\displaystyle H_{n}}$それらは商モジュールでもある。

ホモロジー代数の手法を用いることで、異なる鎖複合体のホモロジー群を関連付けることができる。

ホモロジー理論を他の種類の数学的対象に関連付けるには、まずその対象に連鎖複体を関連付ける方法を規定し、次にそのような連鎖複体のホモロジーを取る。ホモロジー理論が有効であるためには、同じ数学的対象に関連付けられたすべての連鎖複体が同じホモロジーを持たなければならない。結果として得られるホモロジー理論は、規定された連鎖複体の種類に応じて命名されることが多い。例えば、特異ホモロジー、モースホモロジー、ホバノフホモロジー、ホッホシルトホモロジーは、それぞれ特異連鎖複体、モース複体、ホバノフ複体、ホッホシルト複体から得られる。群ホモロジーなどの場合、同じホモロジー群を計算するための一般的な方法が複数存在する。

圏論の用語では、ホモロジー理論とは、研究対象の数学的対象の圏からアーベル群と群準同型の圏、あるいはより一般的には関連する鎖複体に対応する圏への関手の一種である。また、ホモロジー理論は、適切なアーベル圏上の導来関手として定式化することもでき、適切な関手が完全でない度合いを測る。この後者の構成は、分解を用いて明示的に記述することも、導来圏やモデル圏の観点からより抽象的に記述することもできる。

ホモロジー理論は、その定式化方法に関わらず、関連する数学的対象の構造に関する情報を提供するのに役立ち、場合によっては異なる対象を区別するのに役立つ。

おそらく、ホモロジーという用語の最もよく知られた用法は、位相空間のホモロジーを指す場合でしょう。十分に良い位相空間と、係数環の適切な選択に対しては、アイレンベルク・スティーンロッド公理を満たす任意のホモロジー理論は、その位相空間の特異ホモロジー（後述）と同じホモロジー群を生成します。そのため、問題のホモロジー群を計算するためにどのホモロジー理論が使用されたかを指定する代わりに、単にその空間の「ホモロジー」と呼ぶことがよくあります。

1 次元位相空間の場合、おそらく最も単純なホモロジー理論はグラフホモロジーであり、これは単体ホモロジーの 1 次元の特殊な場合とみなすことができ、後者は位相空間を単体に分解することを含みます。（単体は三角形を任意の次元に一般化したものです。たとえば、グラフのエッジは1 次元単体と同相であり、三角形を基点とするピラミッドは 3 次元単体です。）単体ホモロジーは特異ホモロジーに一般化することができ、これにより単体から位相空間へのより一般的な写像が可能になります。単体をさまざまな次元の円盤に置き換えると、セルラーホモロジーと呼ばれる関連する構成が得られます。

これらのホモロジー群を計算する他の方法もあります。たとえば、モースホモロジーを使用したり、チェフコホモロジーや（実係数の場合）ドラームコホモロジーなどのコホモロジー理論に普遍係数定理を適用したときの出力を取得したりする方法があります。

位相空間Xのホモロジーとは、 Xの位相不変量の集合であり、そのホモロジー群によって表される。$${\displaystyle H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots }$$ どこで${\displaystyle k^{\rm {th}}}$相同性グループ${\displaystyle H_{k}(X)}$は、非公式には、 k次元境界を持つXの穴の数を表します。0 次元境界の穴は、単に 2 つのコンポーネント間のギャップです。したがって、${\displaystyle H_{0}(X)}$Xのパス連結成分を記述します。^{[ 1 ]}

円または1次元球$\displaystyle S^{1}}$

2次元球面$\displaystyle S^{2}}$ボールの内部ではなく、外殻のことである

一次元の球体$\displaystyle S^{1}}$は円である。単一の連結成分と1次元境界の穴を持つが、高次元の穴はない。対応するホモロジー群は次のように与えられる。 $${\displaystyle H_{k}\left(S^{1}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ どこ${\displaystyle \mathbb {Z} }$は整数のグループであり、${\displaystyle \{0\}}$は自明な群です。群${\displaystyle H_{1}\left(S^{1}\right)=\mathbb {Z} }$は有限生成アーベル群を表し、単一の生成元は円の中に含まれる一次元穴を表す。^{[ 2 ]}

二次元球体$\displaystyle S^{2}}$連結成分が1つあり、1次元境界の穴はなく、2次元境界の穴があり、高次元の穴はありません。対応するホモロジー群は^{[ 2 ]です。}$${\displaystyle H_{k}\left(S^{2}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

一般にn次元球の場合${\displaystyle S^{n},}$相同性群は $${\displaystyle H_{k}\left(S^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

ソリッドディスクまたは2ボール${\displaystyle B^{2}}$

トーラス${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$

二次元の球体${\displaystyle B^{2}}$は固体の円盤です。単一の経路連結成分を持ちますが、円とは異なり、高次元の穴はありません。対応するホモロジー群はすべて自明ですが、${\displaystyle H_{0}\left(B^{2}\right)=\mathbb {Z} }$一般に、n次元球の場合${\displaystyle B^{n},}$^{[ 2 ]}$${\displaystyle H_{k}\left(B^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

トーラスは2つの円の積として定義される。${\displaystyle T^{2}=S^{1}\times S^{1}}$トーラスは、単一の経路連結成分、2 つの独立した一次元穴 (赤と青の円で示されている)、およびトーラス内部の 1 つの二次元穴を持つ。対応するホモロジー群は^{[ 3 ]である。}$${\displaystyle H_{k}(T^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

位相空間Xのn個の積は次のように表されます。${\displaystyle X^{n}}$一般に、n次元トーラスの場合${\displaystyle T^{n}=(S^{1})^{n}}$、 $${\displaystyle H_{k}(T^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}&0\leq k\leq n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ （詳細は「トーラス §  n次元トーラスとベッティ数 § その他の例」を参照してください。）

2 つの独立した 1 次元の穴は、積群として表現される有限生成アーベル群の独立した生成子を形成する。${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$

射影平面Pの場合、簡単な計算により (ここで${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$は位数2の巡回群である。 $${\displaystyle H_{k}(P)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$${\displaystyle H_{0}(P)=\mathbb {Z} }$これは、前の例と同様に、連結成分が1つしかないという事実に対応します。${\displaystyle H_{1}(P)=\mathbb {Z} _{2}}$これは新しい現象です。直感的には、単一の非縮約可能な「ループ」が存在するものの、そのループを2回繰り返すとゼロに縮約可能になるという事実に対応します。この現象は「ねじれ」と呼ばれます。

以下の文章では、ホモロジー群を構築するための一般的なアルゴリズムについて説明します。読者にとっては、まずグラフホモロジーと単体ホモロジーといった簡単な例を見てみる方が理解しやすいかもしれません。

一般的な構成は、位相空間Xのような対象から始まり、まずXに関する情報を符号化する鎖複体C ( X ) を定義します。鎖複体は、アーベル群またはモジュールの列です。${\displaystyle C_{0},C_{1},C_{2},\ldots }$準同型写像によって接続されている${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}$これらは境界演算子と呼ばれます。^{[ 3 ]}つまり、

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

ここで、0 は自明な群を表し、${\displaystyle C_{i}\equiv 0}$i < 0の場合。また、任意の 2 つの連続する境界演算子の合成が自明であることも必要です。つまり、すべてのnに対して、

${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0_{n+1,n-1},}$

つまり、定数マップは、${\displaystyle C_{n+1}}$グループのアイデンティティに${\displaystyle C_{n-1}.}$

境界の境界が自明であるという記述は、次の記述と同等である。${\displaystyle \operatorname {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$、 どこ${\displaystyle \operatorname {im} (\partial _{n+1})}$は境界演算子の像を表し、${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$その核。${\displaystyle B_{n}(X)=\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$境界と要素と呼ばれる${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$これらはサイクルと呼ばれます。

各鎖群C _nはアーベル群であるため、その部分群はすべて正規群です。したがって、${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$C _nの部分群である。${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$はアーベル群であり、${\displaystyle \operatorname {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$したがって${\displaystyle \operatorname {im} (\partial _{n+1})}$は、​${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$そうすれば商群を作成できます

${\displaystyle H_{n}(X):=\ker(\partial _{n})/\operatorname {im} (\partial _{n+1})=Z_{n}(X)/B_{n}(X),}$

これはXのn番目の相同群と呼ばれます。H n ( X )の要素は相同類と呼ばれます。各相同類はサイクル上の同値類であり、同じ相同類に属する 2 つのサイクル_は相同であると言われます。^{[ 4 ]}

鎖複体は、 ( n +1)番目の写像の像が常にn番目の写像の核と等しい場合に完全であると言われます。したがって、 Xの相同群は、Xに関連付けられた鎖複体が完全から「どれだけ離れているか」を測定します。 ^{[ 5 ]}

鎖複合体C ( X ) の縮小相同性群は、拡張鎖複合体の相同性として定義される^{[ 6 ]}

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0}$

境界演算子${\displaystyle \varepsilon }$は

${\displaystyle \varepsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$

組み合わせの場合${\displaystyle \sum n_{i}\sigma _{i},}$ポイント${\displaystyle \sigma _{i},}$これらはC ₀の固定生成子である。縮小相同群${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(X)}$と一致する${\displaystyle H_{i}(X)}$のために${\displaystyle i\neq 0.}$追加${\displaystyle \mathbb {Z} }$連鎖複合体は、固有のマップを表します${\displaystyle [\emptyset ]\longrightarrow X}$空の単体からXへ。

サイクルを計算する${\displaystyle Z_{n}(X)}$境界${\displaystyle B_{n}(X)}$グループ分けは、ジェネレーターの数が非常に多いため、通常はかなり困難です。一方で、作業を容易にするツールも存在します。

単体複体Xの単体ホモロジー群H _n ( X )は、単体鎖複体C ( X ) を用いて定義されます。ここで、C _n ( X )はXのn個の単体によって生成される自由アーベル群です。詳細は単体ホモロジーを参照してください。

特異ホモロジー群H _n ( X ) は任意の位相空間Xに対して定義され、単体複体の単体ホモロジー群と一致する。

コホモロジー群は形式的にはホモロジー群に似ています。コチェイン複体から始まります。これは鎖複体と同じですが、矢印は、今度はで表されます。${\displaystyle d_{n},}$nを減らす方向ではなく、nを増やす方向を指し示す。${\displaystyle \ker \left(d^{n}\right)=Z^{n}(X)}$コサイクルと${\displaystyle \operatorname {im} \left(d^{n-1}\right)=B^{n}(X)}$コバウンダリーの数は、同じ記述から導かれる。Xのn番目のコホモロジー群は、商群である。

${\displaystyle H^{n}(X)=Z^{n}(X)/B^{n}(X),}$

n番目の相同群との類推において。

n番目のホモトピー群${\displaystyle \pi _{n}(X)}$位相空間の${\displaystyle X}$は、基点保存マップのホモトピークラスのグループです。${\displaystyle n}$-球${\displaystyle S^{n}}$に${\displaystyle X}$連結の群演算の下で。最も基本的なホモトピー群は基本群である。${\displaystyle \pi _{1}(X)}$接続済みの場合${\displaystyle X}$ヒューレビッチの定理は準同型を記述する${\displaystyle h_{*}:\pi _{n}(X)\to H_{n}(X)}$ヒューレヴィッチ準同型と呼ばれる。${\displaystyle n>1}$この準同型写像は複雑になる可能性があるが、${\displaystyle n=1}$、Hurewicz準同型はアーベル化と一致する。つまり、${\displaystyle h_{*}:\pi _{1}(X)\to H_{1}(X)}$は全射であり、その核は の交換子部分群である。${\displaystyle \pi _{1}(X)}$その結果、${\displaystyle H_{1}(X)}$は、のアーベル化と同型である。${\displaystyle \pi _{1}(X)}$高次のホモトピー群は計算が難しい場合がある。例えば、球面のホモトピー群はよく理解されておらず、一般には知られていない。これは、上記で説明したホモロジー群の単純な説明とは対照的である。

のために${\displaystyle n=1}$例えば、${\displaystyle X}$は数字の8です。通常どおり、その最初のホモトピー群、または基本群は、${\displaystyle \pi _{1}(X)}$は、あらかじめ決められた点 (例えば中心) で開始および終了する有向ループのホモトピー類の群です。これは、ランク 2 の自由群と同型です。${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \mathbb {Z} *\mathbb {Z} }$これは可換ではない。左側のサイクルを一周してから右側のサイクルを一周することと、右側のサイクルを一周してから左側のサイクルを一周することは異なる。対照的に、8の字の第1ホモロジー群は${\displaystyle H_{1}(X)\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$はアーベル群である。これをサイクルのホモロジー類で明示的に表現するには、ホモロジー類を次のようにすればよい。${\displaystyle l}$左サイクルと相同性クラス${\displaystyle r}$右手サイクルの基本要素として${\displaystyle H_{1}(X)}$それによって私たちは書くことができる${\displaystyle H_{1}(X)=\{a_{l}l+a_{r}r\,|\;a_{l},a_{r}\in \mathbb {Z} \}}$。

さまざまな種類のホモロジー理論は、数学的対象のさまざまなカテゴリから鎖複体のカテゴリへの写像を行うファンクターから生じます。いずれの場合も、対象から鎖複体へのファンクターと鎖複体からホモロジー群へのファンクターの合成によって、その理論の全体的なホモロジーファンクターが定義されます。^{[ 7 ]}

鎖複体はカテゴリーを形成する：鎖複体からの射（${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$）鎖複合体へ（${\displaystyle e_{n}:B_{n}\to B_{n-1}}$) は準同型写像の列である${\displaystyle f_{n}:A_{n}\to B_{n}}$そのため${\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n}\circ f_{n}}$すべてのnについて。n番目のホモロジーH _{n は}、鎖複体の圏からアーベル群（またはモジュール）の圏への共変関手と見なすことができます。

鎖複合体が共変的にオブジェクトXに依存する場合 (つまり、任意の射が${\displaystyle X\to Y}$Xの鎖複体から Y の鎖複体への射を誘導する場合、H _{n は}Xが属する圏からアーベル群 (またはモジュール) の圏への共変関手です。

ホモロジーとコホモロジーの唯一の違いは、コホモロジーでは鎖複体がXに対して反変的に依存するため、ホモロジー群（この文脈ではコホモロジー群と呼ばれ、 H ⁿで表される）は、X が属する圏からアーベル群または加群の圏への反変関手を形成するということである。

もし （${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$) が、有限個のA _{n を}除くすべてがゼロであり、残りが有限生成アーベル群（または有限次元ベクトル空間）であるような鎖複体である場合、オイラー標数を定義することができる。

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})}$

（アーベル群の場合はランク、ベクトル空間の場合はハーメル次元を用いる）。オイラー標数はホモロジーのレベルでも計算できることがわかった。

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}$

そして、特に代数トポロジーにおいては、これは重要な不変量を計算する2つの方法を提供する。${\displaystyle \chi }$鎖複合体を生み出した物体Xについて。

すべての短い正確なシーケンス

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0}$

鎖状複合体は、相同群の長い正確な配列を生み出す。

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(B)\to H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)\to H_{n-1}(B)\to H_{n-1}(C)\to H_{n-2}(A)\to \cdots }$

この長い正確なシーケンスのすべてのマップは、鎖複合体間のマップによって誘導されますが、マップは例外です。${\displaystyle H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)}$後者は連結準同型と呼ばれ、ジグザグ補題によって与えられます。この補題は、相対ホモロジー理論やマイヤー・ヴィートリス列など、ホモロジー群の計算に役立つ様々な方法でホモロジーに適用できます。

有限セル複体のホモロジー群を計算する目的で、さまざまなソフトウェア パッケージが開発されています。Linboxは、スミス正規形を含む高速行列演算を実行するためのC++ライブラリで、 GapとMaple の両方とインターフェースします。Chomp 、CAPD::Redhom ( Wayback Machineに 2013-07-15 にアーカイブ)、Perseusも C++ で書かれています。これら 3 つはすべて、行列代数に頼る前に、入力セル複体のホモロジー保存縮小を実行するために、単純ホモトピー同値性と離散モース理論に基づく前処理アルゴリズムを実装しています。KenzoはLisp で書かれており、ホモロジーに加えて、有限単体複体のホモトピー群の表示を生成するためにも使用できます。Gmshには、有限要素メッシュ用のホモロジー ソルバーが含まれており、有限要素ソフトウェアで直接使用できるコホモロジー基底を生成できます。 ^{[ 12 ]}

• ベッティ番号
• 自転車用スペース
• ド・ラームコホモロジー
• アイレンベルク＝スティーンロッドの公理
• 特異相同性理論
• ホモロジー代数
• 可換代数におけるホモロジー予想
• 相同性接続性
• 相同次元
• ホモトピー群
• キュンネスの定理
• コホモロジー理論の一覧– ホモロジー理論の一覧も含まれています
• ポアンカレの二重性

• カルタン、アンリ・ポール；アイレンベルク、サミュエル（1956）。ホモロジー代数学。プリンストン数学シリーズ。第 19巻。プリンストン大学出版局。ISBN 9780674079779OCLC 529171。​ {{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
• エーデルスブルンナー、ハーバート；ハラー、ジョン L. (2010)。「計算トポロジー入門」。アメリカ数学会。
• アイレンバーグ、サミュエル；ムーア、JC（1965）。相対ホモロジー代数の基礎。アメリカ数学会紀要第55巻。アメリカ 数学会。ISBN 9780821812556. OCLC 1361982 . 
• Gowers, Timothy ; Barrow-Green, June ; Leader, Imre 編 (2010)、『プリンストン数学事典』、プリンストン大学出版局、ISBN 9781400830398。
• ハッチャー、A. (2002)、代数トポロジー、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-79540-0単体複体および単体多様体のホモロジー理論、特異ホモロジーなどに関する詳細な議論。
• ヒルトン、ピーター（1988）「今世紀におけるホモロジーとホモトピー理論の簡潔な主観的歴史」、Mathematics Magazine、60（5）、Mathematical Association of America：282–291、doi：10.1080/0025570X.1988.11977391、JSTOR 2689545 
• カチンスキー、トマシュ。ミシャコウ、コンスタンチン。ムロゼク、マリアン (2004)。計算上の相同性。スプリンガー。ISBN 9780387215976。
• リチェソン、D. (2008)、オイラーの宝石：多面体の公式とトポロジーの誕生、プリンストン大学。
• Spanier, Edwin H. (1966), Algebraic Topology , Springer, p.  155, ISBN 0-387-90646-0。
• Stillwell, John (1993)、「ホモロジー理論とアーベル化」、古典トポロジーと組合せ群理論、Graduate Texts in Mathematics、第 72巻、Springer、pp. 169–184、doi : 10.1007/978-1-4612-4372-4_6、ISBN  978-0-387-97970-0。
• Teicher, M.編 (1999)『エミー・ネーターの遺産』、イスラエル数学会議議事録、バル＝イラン大学／アメリカ数学会／オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-851045-1OCLC 223099225​ 
• Weibel, Charles A. (1999)、「28. ホモロジー代数学の歴史」（PDF）、James, IM (編) 『トポロジーの歴史』、Elsevier、ISBN 9780080534077。

• 数学百科事典の相同性グループ
• 代数トポロジー アレン・ハッチャー著 第2章 ホモロジー