接線ベクトル

数学において、接ベクトルとは、与えられた点において曲線または曲面に接するベクトルのことです。接ベクトルは、 R ⁿにおける曲線の微分幾何学において記述されます。より一般的には、接ベクトルは微分可能多様体の接空間の要素です。接ベクトルは芽（げんげつ）の観点からも記述できます。形式的には、点における接ベクトルは $x$ は、胚芽の集合によって定義される代数の線形導出である。 $x$ 。

モチベーション

接線ベクトルの一般的な定義に進む前に、微積分における接線ベクトルの使用法と、そのテンソルとしての性質について説明します。

微積分

させて $\displaystyle \mathbf {r} (t)$ はパラメトリックな滑らかな曲線である。接線ベクトルは次のように与えられる。 $\mathbf {r} '(t)$ 存在し、 $\displaystyle \mathbf {r} '(t)\neq \mathbf {0} }$ $ここで、パラメータt$ に関する微分を示すために、通常のドットの代わりにプライム記号を使用しています。^{[ 1 ]}単位接線ベクトルは次のように与えられます。 $\mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{|\mathbf {r} '(t)|}}\,.$

例

曲線が与えられた場合 $\displaystyle \mathbf {r} (t)=\left\{\left(1+t^{2},e^{2t},\cos {t}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}}$ で $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 、の単位接線ベクトル $t=0$ は $\mathbf {T} (0)={\frac {\mathbf {r} '(0)}{\|\mathbf {r} '(0)\|}}=\left.{\frac {(2t,2e^{2t},-\sin {t})}{\sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\sin ^{2}{t}}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.$ 接線ベクトルの成分は、曲線の各対応する成分をに関して微分することによって求められます。 $t$ 。

反変性

もし $\displaystyle \mathbf {r} (t)$ n次元座標系 $x i$ （ここでは通常の添え字の代わりに上付き文字をインデックスとして使用）において、パラメトリックに次のように与えられる。 $\mathbf {r} (t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\ldots ,x^{n}(t))$ または $\mathbf {r} =x^{i}=x^{i}(t),\quad a\leq t\leq b\,,$ すると接線ベクトル場 $\displaystyle \mathbf {T} =T^{i}}$ は $T^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}\,.$ 座標の変更により $u^{i}=u^{i}(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n}),\quad 1\leq i\leq n$ 接線ベクトル $\displaystyle {\bar {\mathbf {T} }}={\bar {T}}^{i}}$ $u i$ 座標系では、次のように表されます。 ${\bar {T}}^{i}={\frac {du^{i}}{dt}}={\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}=T^{s}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}$ ここで、アインシュタインの総和規約を使用しました。したがって、滑らかな曲線の接線ベクトルは、座標変換の下で1次の反変テンソルとして変換されます。 ^{[ 2 ]}

意味

させて $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ 微分可能な関数とし、 $\mathbf {v}$ ベクトルになる $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 方向微分を次のように定義します。 $\mathbf {v}$ ある地点での方向 $\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ による $\nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )\,.$ 点における接線ベクトル $\mathbf {x}$ 次のように定義できる^{[ 3 ]} $\mathbf {v} (f(\mathbf {x} ))\equiv (\nabla _{\mathbf {v} }(f))(\mathbf {x} )\,.$

物件

させて $f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ 微分可能な関数とする。 $\mathbf {v} ,\mathbf {w}$ 接線ベクトルは $\mathbb {R} ^{n}$ で $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ 、そして $a,b\in \mathbb {R}$ 。それから

$(a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )(f)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {w} (f)$
$\mathbf {v} (af+bg)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {v} (g)$
$\mathbf {v} (fg)=f(\mathbf {x} )\mathbf {v} (g)+g(\mathbf {x} )\mathbf {v} (f)\,.$

多様体上の接線ベクトル

させて $M$ 微分可能な多様体とし、 $A(M)$ 実数値微分可能関数の代数である $M$ 接線ベクトルは $M$ ある時点で $x$ 多様体における導出は $D_{v}:A(M)\rightarrow \mathbb {R}$ これは線形であるべきである。つまり、任意の $f,g\in A(M)$ そして $a,b\in \mathbb {R}$ 我々は持っています