巻数

数学において、平面上の閉曲線の特定の点の周りの巻数または巻数インデックスは、曲線が点の周りを反時計回りに移動する合計回数、つまり曲線の巻数を表す整数です。特定の開平面曲線では、巻数が整数でない場合があります。巻数は曲線の方向によって異なり、曲線が点の周りを時計回りに移動する場合には負になります。

巻き数は代数的位相幾何学における基本的な研究対象であり、ベクトル解析、複素解析、幾何学的位相幾何学、微分幾何学、物理学（弦理論など）において重要な役割を果たします。

XY平面に閉じた方向付き曲線があるとします。曲線は物体の移動経路として考えることができ、方向は物体が移動する方向を示します。この場合、曲線の巻き数は、物体が原点の周りを反時計回りに回転する総数に等しくなります。

総回転数を数​​える場合、反時計回りの動きは正としてカウントされ、時計回りの動きは負としてカウントされます。たとえば、オブジェクトが最初に原点を反時計回りに 4 回周回し、次に原点を時計回りに 1 回周回する場合、曲線の総回転数は 3 になります。

この方式を使用すると、原点の周りをまったく回らない曲線の巻数は 0 になり、原点の周りを時計回りに回る曲線の巻数は負になります。したがって、曲線の巻数は任意の整数になります。次の図は、巻数が -2 から 3 までの曲線を示しています。

を平面上の1点を除いた連続した閉路とする。その周りの回転数は整数である。 ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{a\}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\text{風}}(\gamma ,a)=s(1)-s(0),}$

極座標で書かれた経路、つまり被覆マップを通る持ち上げられた経路はどこにあるか${\displaystyle (\rho ,s)}$

${\displaystyle p:\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} \setminus \{a\}:(\rho _{0},s_{0})\mapsto a+\rho _{0}e^{i2\pi s_{0}}.}$

巻き数は、持ち上げられたパスの存在と一意性（被覆空間内の開始点が与えられている）と、 のすべてのファイバーが形式であるため（したがって、上記の式は開始点の選択に依存しない）、明確に定義されます。パスが閉じているため、巻き数は整数です。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle \rho _{0}\times (s_{0}+\mathbb {Z} )}$

巻き数は数学のさまざまな分野でさまざまな方法で定義されることがよくあります。以下の定義はすべて上記の定義と同等です。

巻き数を定義するための簡単な組み合わせ規則は、 1865 年にアウグスト・フェルディナンド・メビウスによって提案され^[1] 、 1928 年にジェームズ・ワデル・アレクサンダー 2 世によっても独立に提案されました^[2]。 任意の曲線は平面をいくつかの連結した領域に分割し、そのうちの 1 つは無限大です。同じ領域内の 2 つの点の周りの曲線の巻き数は等しくなります。無限大領域 (内の任意の点) の周りの巻き数は 0 です。最後に、任意の 2 つの隣接する領域の巻き数は正確に 1 だけ異なり、巻き数が大きい領域は曲線の左側 (曲線を下る動きに対して) に現れます。

微分幾何学では、媒介変数方程式は通常、微分可能（または少なくとも区分的に微分可能）であると想定されます。この場合、極座標θ は、次の式によって直交座標xおよびyに関連付けられます。

${\displaystyle d\theta ={\frac {1}{r^{2}}}\left(x\,dy-y\,dx\right)\quad {\text{ここで }}r^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

これは、θ の次の定義を微分することによって求められます。

${\displaystyle \theta (t)=\arctan {\bigg (}{\frac {y(t)}{x(t)}}{\bigg )}}$

微積分の基本定理によれば、 θの全変化はdθの積分に等しい。したがって、微分可能曲線の巻数は線積分として表すことができる。

${\displaystyle {\text{wind}}(\gamma ,0)={\frac {1}{2\pi }}\oint _{\gamma }\,\left({\frac {x}{r^{2}}}\,dy-{\frac {y}{r^{2}}}\,dx\right).}$

1 形式 dθ (原点の補集合上で定義) は閉じていますが、正確ではありません。これは、穴あき平面の最初のド・ラーム・コホモロジー群を生成します。特に、ωが原点の補集合上で定義された任意の閉じた微分可能な 1 形式である場合、閉じたループに沿ったωの積分は、巻き数の倍数を与えます。

複素解析において、巻数は極めて重要な役割を果たします（留数定理の記述を参照）。複素解析の文脈では、複素平面上の閉曲線 の巻数は複素座標z = x + iyで表すことができます。具体的には、 z  =  re ^iθと書くと、 ${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta }$

そしてそれゆえ

${\displaystyle {\frac {dz}{z}}={\frac {dr}{r}}+i\,d\theta =d[\ln r]+i\,d\theta .}$

は閉曲線なので、 における全変化はゼロであり、したがって の積分はにおける全変化を乗じたものに等しい。したがって、原点の周りの閉経路の巻数は式^{[3]で与えられる。}${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \ln(r)}$${\textstyle {\frac {dz}{z}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {dz}{z}}\,.}$

より一般的には、が によってパラメータ化された閉曲線である場合、についての の巻数（ に関する のインデックスとしても知られる）は、複素数に対して次のように定義されます^[4]${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle t\in [\alpha ,\beta ]}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle z_{0}\notin \gamma ([\alpha ,\beta ])}$

${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\ゼータ -z_{0}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {\gamma '(t)}{\gamma (t)-z_{0}}}dt.}$

これは有名なコーシーの積分公式の特殊なケースです。

複素平面における巻き数の基本的な性質のいくつかは、次の定理によって与えられる: ^[5]

定理。 が閉路であり、がの像の補集合、つまり で あるとします。このとき、に関するの指数は、${\displaystyle \gamma :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \Omega :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \gamma}$(i) 整数値、すなわちすべての に対して であり、(ii) の各成分（すなわち、最大連結部分集合）にわたって一定であり、(iii)が の無制限成分内にある場合は 0 です。$${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }:\Omega \to \mathbb {C} ,\ \ z\mapsto {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}},}$$${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle z\in \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Omega }$

直接的な帰結として、この定理は点 の周りの円軌道の巻数を与えます。予想どおり、巻数はの周りを回る(反時計回りの) ループの数を数えます。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle z}$

系。 が によって定義される経路である場合、${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)={\begin{cases}n,&|z-a|<r;\\0,&|z-a|>r.\end{cases}}}$

トポロジーでは、巻き数は連続マッピングの次数を表す別名です。物理学では、巻き数はトポロジカル量子数と呼ばれることがよくあります。どちらの場合も、同じ概念が適用されます。

点の周りを曲がる曲線の上の例は、単純な位相的解釈ができます。平面上の点の補集合は円とホモトピー同値であり、そのため、円から円自体への写像だけが実際に考慮される必要があります。このような各写像は、標準写像 の 1 つに連続的に変形できる (ホモトピーである) ことが示されます。ここで、円内の乗法は、複素単位円と同一視することによって定義されます。円から位相空間への写像のホモトピー類の集合は、その空間の最初のホモトピー群または基本群と呼ばれる群 を形成します。円の基本群は整数の群Zであり、複素曲線の曲り数は、そのホモトピー類に相当します。 ${\displaystyle S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}}$

3 次元球面からその球面自身への写像も、巻数またはポントリャーギン指数とも呼ばれる整数によって分類されます。

また、パス自体の接線に対するパスの巻き数を考慮することもできます。時間の経過に従ってたどられるパスの場合、これは速度ベクトルの原点に対する巻き数になります。この場合、この記事の冒頭で示した例では、小さなループがカウントされるため、巻き数は 3 になります。

これは、はめ込まれたパス（つまり、どこにも消滅しない導関数を持つ微分可能なパス）に対してのみ定義され、接線ガウス写像の次数です。

これは回転数、^[6]回転指数[ ^7]または曲線の指数と呼ばれ、全曲率を2πで割ることで計算できます。

多角形では、回転数は多角形密度と呼ばれます。凸多角形、およびより一般的には単純な多角形（自己交差しない）の場合、ジョルダン曲線定理により、密度は 1 です。対照的に、正星型多角形{ p / q } の場合、密度はqです。

回転数は、次数が一致する次元を必要とするため、空間曲線に対して定義できません。ただし、局所的に凸な閉空間曲線の場合、接線回転符号を と定義できます。ここで、 はその接線指示曲線の立体射影の回転数です。その 2 つの値は、局所的に凸な曲線の2 つの非退化ホモトピー類に対応します。^{[8] [9]}${\displaystyle (-1)^{d}}$${\displaystyle d}$

巻き数は、(2 + 1)次元連続ハイゼンベルク強磁性体方程式とその積分可能な拡張である石森方程式などに深く関係しています。最後の方程式の解は、巻き数またはトポロジカルチャージ（トポロジカル不変量および/またはトポロジカル量子数）によって分類されます。

多角形に対する点の巻き数は、多角形内の点(PIP) 問題を解決するために使用できます。つまり、点が多角形の内側にあるかどうかを判断するために使用できます。

一般的に、レイキャスティングアルゴリズムは、ワインディングナンバーアルゴリズムとは異なり、三角関数を必要としないため、PIP問題に対するより優れた代替手段です。ただし、ワインディングナンバーアルゴリズムは、三角関数を含む計算を必要としないように高速化できます。^[10]高速化されたバージョンのアルゴリズムは、サンデーアルゴリズムとも呼ばれ、単純でないポリゴンも考慮する必要がある場合に推奨されます。

• PlanetMathの巻き数。