ラドン・ニコディムの定理

ラドン・ニコディムの定理は、測定可能な空間に関係する。${\displaystyle (X,\Sigma )}$2つのσ有限測度が定義され、${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu .}$ それは、もし${\displaystyle \nu \ll \mu }$（つまり、もし${\displaystyle \nu }$に関して絶対連続である${\displaystyle \mu }$) ならば、${\displaystyle \Sigma }$-測定可能な関数${\displaystyle f:X\to [0,\infty ),}$任意の可測集合に対して${\displaystyle A\in \Sigma ,}$$${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu .}$$

機能${\displaystyle f}$上記の等式を満たすことは、${\displaystyle \mu }$- null セット、つまり、${\displaystyle g}$同じ性質を満たす別の関数である場合、${\displaystyle f=g}$${\displaystyle \mu }$-ほぼどこにでも。${\displaystyle f}$一般的には${\displaystyle d\nu /d\mu }$そして、ラドン・ニコディム微分。この表記法と関数名は、この関数が微積分における微分。つまり、この関数は、ある測度の密度が別の測度に対してどのように変化するかを記述する（ヤコビ行列式が使用される方法と同様）ということである。

符号付き測度と複素測度についても同様の定理が証明できる。すなわち、${\displaystyle \mu }$は非負のσ有限測度であり、${\displaystyle \nu }$は、有限値の符号付きまたは複素測度であり、${\displaystyle \nu \ll \mu ,}$つまり、${\displaystyle \nu }$に関して絶対連続である${\displaystyle \mu ,}$すると${\displaystyle \mu }$積分可能な実数値または複素数値関数${\displaystyle g}$の上${\displaystyle X}$すべての可測集合に対して${\displaystyle A,}$$${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}g\,d\mu .}$$

この定理は、確率論の概念を実数上で定義される確率質量や確率密度から、任意の集合上で定義される確率測度へと拡張する上で非常に重要です。この定理は、ある確率測度から別の確率測度への変換が可能かどうか、またどのように変換できるかを示します。具体的には、確率変数の確率密度関数は、ある基本測度（連続確率変数の場合は通常ルベーグ測度）に関する誘導測度のラドン・ニコディム微分です。

例えば、確率測度に対する条件付き期待値の存在を証明するために用いることができる。条件付き期待値自体は確率論における重要な概念であり、条件付き確率はまさにその特殊な場合である。

金融数学をはじめとする様々な分野で、この定理は広く利用されており、特にギルサノフの定理を通して用いられています。このような確率測度の変換は、デリバティブの合理的な価格設定の基礎となるものであり、実際の確率をリスク中立確率に変換するために用いられます。

μとνがX上の測度であり、μ ≪ νである場合

• νからμへのカルバック・ライブラー情報量は次のように定義される。$${\displaystyle D_{\text{KL}}(\mu \parallel \nu )=\int _{X}\log \left({\frac {d\mu }{d\nu }}\right)\;d\mu .}$$
• α > 0、α ≠ 1の場合、 νからμまでの次数αのレーニ発散は次のように定義されます。$${\displaystyle D_{\alpha }(\mu \parallel \nu )={\frac {1}{\alpha -1}}\log \left(\int _{X}\left({\frac {d\mu }{d\nu }}\right)^{\alpha -1}\;d\mu \right).}$$

μがσ有限でない場合、ラドン・ニコディムの定理が成り立たない例を以下に示します。

実数直線上のボレルσ代数を考える。ボレル集合Aの計数測度μを、Aが有限集合の場合はAの要素の数、それ以外の場合は∞と定義する。μが確かに測度であることは確認できる。すべてのボレル集合が可算個の有限集合の和集合であるわけではないので、μはσ有限ではない。νをこのボレル代数上の通常のルベーグ測度とする。すると、集合Aに対してμ(A)=0となるのはAが空集合の場合のみであり、その場合ν ( A )も0となるので、 νはμに関して絶対連続である。

ラドン・ニコディムの定理が成り立つと仮定する。すなわち、ある可測関数fに対して、

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }$

すべてのボレル集合について。Aを単一要素集合、A = { a }とし、上記の等式を用いると、次のようになる。

${\displaystyle 0=f(a)}$

すべての実数aに対して。これは関数f、したがってルベーグ測度νがゼロであることを意味し、これは矛盾です。

仮定すると${\displaystyle \nu \ll \mu ,}$ラドン・ニコディムの定理は、以下の場合にも成り立つ。${\displaystyle \mu }$ローカライズ可能で${\displaystyle \nu }$に関してアクセス可能です${\displaystyle \mu }$[ ^{5 ] : p. 189、練習問題 9O ie}、${\displaystyle \nu (A)=\sup\{\nu (B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\operatorname {pre} }(\mathbb {R} _{\geq 0})\}}$すべての人々のために${\displaystyle A\in \Sigma .}$^{[ 6 ] :定理 1.111 (ラドン-ニコディム、II) [ 5 ] : p. 190、演習 9T(ii)}

拡張値候補の構築 まず、μとνがともに有限値の非負測度であると仮定します。Fを、次の条件を満たす拡張値可測関数f  : X → [0, ∞]の集合とします。

${\displaystyle \forall A\in \Sigma$ :\qquad \int _{A}f\,d\mu \leq \nu (A)}

F ≠ ∅ である。なぜなら、少なくとも零関数が含まれているからである。ここで、 f ₁、 f ₂ ∈ Fとし、 Aを任意の可測集合と仮定して、以下を定義する。

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=\left\{x\in A:f_{1}(x)>f_{2}(x)\right\},\\A_{2}&=\left\{x\in A:f_{2}(x)\geq f_{1}(x)\right\}.\end{aligned}}}$

すると、

${\displaystyle \int _{A}\max \left\{f_{1},f_{2}\right\}\,d\mu =\int _{A_{1}}f_{1}\,d\mu +\int _{A_{2}}f_{2}\,d\mu \leq \nu \left(A_{1}\right)+\nu \left(A_{2}\right)=\nu (A),}$

したがって、max{ f ₁ , f ₂ } ∈ F。

ここで、{ f _n } をFの関数列とし、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .}$

f _{n を}最初のn個の関数の最大値に置き換えることで、数列{ f _n }は増加していると仮定できます。gを次のように定義される拡張値関数とします。

${\displaystyle g(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).}$

ルベーグの単調収束定理により、次の式が成り立つ。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu =\int _{A}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,d\mu (x)=\int _{A}g\,d\mu \leq \nu (A)}$

各A ∈ Σに対して、したがってg ∈ Fである。また、 gの構成により、

${\displaystyle \int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .}$

等号の証明 さて、g ∈ Fなので、

${\displaystyle \nu _{0}(A):=\nu (A)-\int _{A}g\,d\mu }$

はΣ上の非負測度を定義します。等号を証明するために、 ν ₀ = 0であることを示します。

ν ₀ ≠ 0と仮定します。すると、μ は有限なので、ν ₀ ( X ) > ε μ ( X )となるようなε > 0が存在します。ν 0 _≠ 0から矛盾を導き出すには、符号付き測度ν ₀ − ε μの正の集合P ∈ Σを探します(つまり、可測集合Pで、その可測部分集合のすべてが非負のν ₀ − εμ測度を持ち、かつPが正のμ測度を持つもの)。概念的には、 Pのすべての部分でν ₀ ≥ ε μとなる​​集合Pを探しています。便利なアプローチは、符号付き測度ν ₀ − ε μのハーン分解( P , N )を使用することです。  

したがって、すべてのA ∈ Σに対してν ₀ ( A ∩ P ) ≥ ε μ ( A ∩ P )が成り立ち、したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (A)&=\int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A\cap P)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\varepsilon \mu (A\cap P)=\int _{A}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu ,\end{aligned}}}$

ここで1 _PはPの指示関数です。また、μ ( P ) > 0であることにも注意してください。μ ( P ) = 0の場合、( νはμに関して絶対連続であるため) ν ₀ ( P ) ≤ ν ( P ) = 0となり、ν ₀ ( P ) = 0となります。

${\displaystyle \nu _{0}(X)-\varepsilon \mu (X)=\left(\nu _{0}-\varepsilon \mu \right)(N)\leq 0,}$

ν ₀ ( X ) > εμ ( X )という事実と矛盾する。

そして、また

${\displaystyle \int _{X}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu \leq \nu (X)<+\infty ,}$

g + ε 1 _P ∈ Fを満たし、

${\displaystyle \int _{X}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu >\int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .}$

これは上限の定義に反するため不可能です。したがって、 ν₀ _≠ 0という最初の仮定は誤りでなければなりません。よって、ν₀ =0_となり、これは望ましい結果です。

有限値に制限するさて、 gはμ積分可能である ので、集合{ x ∈ X  : g ( x ) = ∞}はμヌルです。したがって、fが次のように定義される場合

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}g(x)&{\text{if }}g(x)<\infty \\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$

するとfは望ましい性質を持つ。

一意性 一意性については、f、g : X → [0, ∞)を以下の条件を満たす可測関数とする。 

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu =\int _{A}g\,d\mu }$

任意の可測集合Aに対して、g − fはμ積分可能であり、

${\displaystyle \int _{A}(g-f)\,d\mu =0.}$（積分は、積分値が測定可能かつ非負である限り、2つに分割できることを思い出してください。）

特に、A = { x ∈ X  : f ( x ) > g ( x )}、または{ x ∈ X  : f ( x ) < g ( x )}の場合、次のことが成り立つ。

${\displaystyle \int _{X}(g-f)^{+}\,d\mu =0=\int _{X}(g-f)^{-}\,d\mu ,}$

したがって、( g − f ) ⁺ = 0 μ-ほとんどすべての場所で成り立ちます。同様に、 ( g − f ) ⁻についても成り立ち、したがって、f = g μ-ほとんどすべての場所で成り立ち、これは望ましい結果です。

μとνがσ-有限である場合、XはΣ内の互いに素な集合の列{ B _n } _nの和集合として表すことができ、それぞれの集合はμとνの両方の下で有限測度を持つ。各nについて、有限の場合により、Σ-可測関数f _n : B _n → [0, ∞)が存在し、 

${\displaystyle \nu _{n}(A)=\int _{A}f_{n}\,d\mu }$

B _nの各Σ可測部分集合Aについて。${\textstyle \left(\sum _{n}f_{n}1_{B_{n}}\right):=f}$これらの関数のうち、必要な関数は、${\textstyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }$。

一意性に関しては、各f _nはμほぼ至るところで一意であるため、fも同様です。

νがσ有限符号付き測度である場合、 ν = ν ⁺ − ν ⁻のようにハーン・ジョルダン分解することができ、その測度のうちの 1 つは有限である。この 2 つの測度に前の結果を適用すると、それぞれ ν + と ν − に対してラドン・ニコディムの定理を満たす 2 つの関数 g 、 h : X → [0, ∞) が得られ、^そのうち少なくとも1^つは μ 積分可能である (すなわち、μ に関する積分が有限である)。g と h はどちらも μ に関してほぼ至るところで等号が成り立つまで一意 であるため、f = g − hは一意性を含む必要な性質を満たすことは明らかである。

νが複素測度である場合、 ν = ν ₁ + iν ₂と分解できます。ここで、ν ₁とν ₂はともに有限値の符号付き測度です。上記の議論を適用すると、ν ₁とν ₂に対してそれぞれ必要な性質を満たす2 つの関数g、h  : X → [0, ∞)が得られます。明らかに、f = g + ihが求める関数です。