確率

確率は、事象と、その事象の発生確率を数値で表す数学の一分野です。事象の確率は 0 から 1 の間の数値で表されます。確率が大きいほど、事象の発生確率が高くなります。^{[注 1] [1] [2]}簡単な例として、公平な (偏りのない) コインを投げることがあります。コインは公平なので、2 つの結果 (「表」と「裏」) はどちらも同じ確率で発生します。つまり、「表」の確率は「裏」の確率と等しく、他の結果はあり得ないため、「表」または「裏」の確率は 1/2 (0.5 または 50% と表記することもできます) になります。

これらの概念は確率論において公理的な数学的形式化がなされており、統計、数学、科学、金融、ギャンブル、人工知能、機械学習、コンピュータサイエンス、ゲーム理論、哲学などの研究分野で、例えば、イベントの予想される頻度についての推論を導くために広く使用されている。確率論は、複雑なシステムの根底にあるメカニズムや規則性を説明するためにも使用されている。^[3]

ランダムな実験、つまりランダムで明確に定義された実験を純粋に理論的な設定（コインを投げるなど）で扱う場合、確率は、望ましい結果の数をすべての結果の総数で割ることによって数値的に記述できます。これは、理論的な確率と呼ばれます（実際の実験のコンテキストで確率を扱う経験的確率とは対照的です）。たとえば、コインを 2 回投げると、「表表」、「表裏」、「裏表」、「裏裏」の結果が得られます。「表表」の結果が出る確率は、4 回のうち 1 回、つまり数値で言えば 1/4、0.25、または 25% です。ただし、実際の適用に関しては、確率の解釈には 2 つの主要な競合するカテゴリがあり、その支持者は確率の基本的な性質について異なる見解を持っています。

• 客観主義者は、客観的または物理的な状況を説明するために数値を割り当てます。客観的確率の最も一般的なバージョンは頻度主義的確率であり、ランダムなイベントの確率は、実験が無期限に繰り返された場合の実験結果の発生の相対的な頻度を表すと主張しています。この解釈では、確率は結果の「長期的な」相対的な頻度であると見なされます。^[4]これを修正したものが傾向確率であり、これは、確率を、たとえ一度しか実行されなかったとしても、ある実験が特定の結果をもたらす傾向であると解釈します。
• 主観主義者は、主観的確率ごとに、つまり信念の度合いとして数値を割り当てます。^[5]信念の度合いは、「E の場合は 1 単位の効用、E でない場合は 0 単位の効用を支払う賭けを買うか売るかの価格」と解釈されていますが、^[6]この解釈は普遍的に同意されているわけではありません。^[7]主観的確率の最も一般的なバージョンはベイズ確率であり、これには確率を生成するための実験データだけでなく専門知識も含まれています。専門知識は、何らかの (主観的な)事前確率分布によって表されます。これらのデータは、尤度関数に組み込まれています。事前確率と尤度の積を正規化すると、現在までに知られているすべての情報が組み込まれた事後確率分布が得られます。 ^[8]オーマンの合意定理により、事前信念が類似しているベイズエージェントは、事後信念も類似することになります。ただし、エージェントが共有する情報の量に関係なく、事前確率が十分に異なると、異なる結論につながる可能性があります。^[9]

確率という 言葉はラテン語のprobabilitasに由来しており、これは「誠実さ」を意味することもある。これはヨーロッパの訴訟における証人の権威の尺度であり、証人の高貴さと相関関係にあることが多い。ある意味では、これは現代の確率の意味とは大きく異なっており、それとは対照的に、経験的証拠の重みの尺度であり、帰納的推論と統計的推論から導き出される。^[10]

確率の科学的研究は数学の近代的発展である。ギャンブルは、歴史を通じて確率の考え方を定量化することに関心があったことを示しているが、正確な数学的記述はずっと後になってから生まれた。確率の数学の発展が遅いのには理由がある。偶然のゲームが確率の数学的研究のきっかけとなったが、根本的な問題^{[注 2]}は依然として迷信によって不明瞭である。^[11]

リチャード・ジェフリーによれば、「17世紀半ば以前は、『可能性が高い』（ラテン語のprobabilis）という用語は承認可能を意味し、その意味で意見や行動に一義的に適用されていました。可能性が高い行動や意見とは、状況下で賢明な人々が行うか保持する行動や意見のことです。」^[12]しかし、特に法的な文脈では、「可能性が高い」は十分な証拠がある命題にも適用できます。^[13]

16世紀イタリアの博学者ジェロラモ・カルダーノは、オッズを好ましい結果と好ましくない結果の比として定義することの有効性を実証した（これは、事象の確率が好ましい結果と起こり得る結果の総数の比で与えられることを意味する^[14]）。カルダーノによる初歩的な研究とは別に、確率論はピエール・ド・フェルマーとブレーズ・パスカルの書簡（1654年）にまで遡る。クリスティアーン・ホイヘンス（1657年）は、この主題に関する最古の科学的扱いを与えた。^[15] ヤコブ・ベルヌーイの『予想論』 （死後出版、1713年）とアブラハム・ド・モアブルの『確率論』（1718年）は、この主題を数学の一分野として扱った。^[16]数学的確率の概念の初期の発展の歴史については、 イアン・ハッキングの『確率の出現』^[10]とジェームズ・フランクリンの 『推測の科学』^[17]を参照してください。

誤差理論はロジャー・コーツの『オペラ雑集』（死後出版、1722年）に遡るが、トーマス・シンプソンが1755年に執筆した回想録（1756年に印刷）が、この理論を観測誤差の議論に初めて適用した。^[18]この回想録の再版（1757年）では、正の誤差と負の誤差は同等の確率で発生し、特定の割り当て可能な限界がすべての誤差の範囲を定義するという公理が示されている。シンプソンは連続誤差についても論じ、確率曲線を記述している。

最初に提案された 2 つの誤差の法則は、どちらもピエール＝シモン・ラプラスが発案したものです。最初の法則は 1774 年に発表され、誤差の頻度は、符号を無視して、誤差の数値的大きさの指数関数として表すことができると述べられています。誤差の 2 番目の法則は、1778 年にラプラスによって提案され、誤差の頻度は誤差の 2 乗の指数関数であると述べられています。^[19]誤差の 2 番目の法則は、正規分布またはガウスの法則と呼ばれています。「歴史的に見て、この法則をガウスに帰することは困難です。ガウスは、その早熟さでよく知られていましたが、おそらく 2 歳になるまでこの発見をしていなかったでしょう。」^[19]

ダニエル・ベルヌーイ(1778) は、同時発生エラーのシステムの確率の最大積の原理を提唱しました。

アドリアン・マリー・ルジャンドル（1805）は最小二乗法を考案し、その著書『彗星の軌道を決定するための新しい方法』で紹介した。^[20]ルジャンドルの貢献を知らずに、アイルランド系アメリカ人の作家で『アナリスト』（1808）の編集者であるロバート・アドレインが、誤差の容易さの法則を初めて導き出した。

$${\displaystyle \phi (x)=ce^{-h^{2}x^{2}}}$$

ここで、は観測の精度に依存する定数、 は曲線の下の面積が 1 に等しくなるようにするスケール係数である。彼は 2 つの証明を与えており、2 つ目の証明は基本的にジョン・ハーシェル(1850) の証明と同じである。^[要出典]ガウスは1809 年にヨーロッパで知られていたと思われる最初の証明 (アドリアンの証明に次いで 3 番目) を与えた。その後、ラプラス (1810、1812)、ガウス (1823)、ジェームズ・アイヴォリー(1825、1826)、ハーゲン (1837)、フリードリヒ・ベッセル(1838)、WF ドンキン(1844、1856)、モーガン・クロフトン(1870) によって証明が行われた。他の貢献者としては、エリス(1844)、ド・モルガン(1864)、グレイシャー(1872)、ジョヴァンニ・スキアパレッリ(1875)がいた。単一観測値の 確率誤差rに関するピーターズ(1856)の公式^{[説明が必要]はよく知られている。}${\displaystyle h}$${\displaystyle c}$

19世紀には、一般理論の著者として、ラプラス、シルヴェストル・ラクロワ（1816年）、リトロー（1833年）、アドルフ・ケトレー（1853年）、リヒャルト・デデキント（1860年）、ヘルメルト（1872年）、ヘルマン・ローラン（1873年）、リアグレ、ディディオン、カール・ピアソンなどがいた。オーガスタス・ド・モルガンとジョージ・ブールは理論の説明を改善した。

1906年にアンドレイ・マルコフはマルコフ連鎖の概念を導入し^{[21] 、これは}確率過程理論とその応用において重要な役割を果たした。測度論に基づく現代の確率理論は、1931年にアンドレイ・コルモゴロフによって開発された^[22]。

幾何学の分野では、ミラー、クロフトン、マッコール、ウォルステンホルム、ワトソン、アルテマス・マーティンらが『エデュケーショナル・タイムズ』に寄稿した。^[23]詳細については 積分幾何学を参照。

他の理論と同様に、確率論は概念を形式的な用語、つまり意味とは切り離して考えることができる用語で表現したものです。これらの形式的な用語は数学と論理のルールによって操作され、結果は問題領域に解釈または変換されます。

確率を定式化する試みは、コルモゴロフ定式化とコックスの定式化という少なくとも 2 つが成功している。コルモゴロフの定式化 (確率空間も参照) では、集合はイベントとして解釈され、確率は集合のクラス上の測度として解釈される。コックスの定理では、確率はプリミティブ (つまり、それ以上分析されない) として扱われ、命題に対する確率値の一貫した割り当てを構築することに重点が置かれている。どちらの場合も、技術的な詳細を除いて、確率の法則は同じである。

デンプスター・シェーファー理論や可能性理論など、不確実性を定量化する他の方法もありますが、それらは本質的に異なり、通常理解されている確率の法則とは互換性がありません。

確率論は日常生活においてリスク評価やモデリングに応用されています。保険業界や市場では保険数理科学を利用して価格設定や取引の決定を行っています。政府は環境規制、資格分析、金融規制に確率論的手法を適用しています。

株式取引における確率論の使用例としては、中東紛争が広まる可能性が石油価格に与える影響が挙げられ、これは経済全体に波及効果をもたらす。商品トレーダーが戦争の可能性が高いと評価すると、その商品の価格が上がったり下がったりし、他のトレーダーにその意見を伝えることになる。したがって、確率は独立して評価されるわけでも、必ずしも合理的に評価されるわけでもない。行動ファイナンスの理論は、このような集団思考が価格設定、政策、平和と紛争に与える影響を説明するために生まれた。^[24]

確率は、財務評価に加えて、生物学（病気の蔓延など）や生態学（生物学的なパネット方陣など）の傾向を分析するためにも使用できます。^[25]財務と同様に、リスク評価は、望ましくないイベントが発生する可能性を計算する統計ツールとして使用でき、そのような状況に遭遇しないようにするためのプロトコルの実装に役立ちます。確率は、カジノが確実に利益を上げながら、プレイヤーに継続的なプレイを促すのに十分な頻度で支払いを提供できるように、ギャンブルゲームを設計するために使用されます。^[26]

日常生活における確率論のもう一つの重要な応用は信頼性である。自動車や家電製品などの多くの消費者製品は、故障の確率を減らすために製品設計に信頼性理論を利用している。故障確率は、製造業者の製品保証に関する決定に影響を与える可能性がある。^[27]

自然言語処理で使用されるキャッシュ言語モデルやその他の統計言語モデルも、確率理論の応用例です。

複数の結果を生み出す実験を考えてみましょう。すべての可能な結果の集合は、実験の標本空間と呼ばれ、 と表記されることもあります。標本空間のべき集合は、可能な結果のさまざまな集合をすべて考慮することによって形成されます。たとえば、サイコロを振ると、6 つの結果が発生する可能性があります。可能な結果の 1 つの集合では、サイコロの目が奇数になります。したがって、サブセット {1,3,5} は、サイコロを振る標本空間のべき集合の要素です。これらの集合は「イベント」と呼ばれます。この場合、{1,3,5} は、サイコロが奇数になるイベントです。実際に発生する結果が特定のイベントに該当する場合、そのイベントが発生したとみなされます。 ${\displaystyle \Omega }$

確率とは、すべてのイベントに 0 から 1 の間の値を割り当てる方法です。すべての可能な結果から成るイベント (この例では、イベント {1,2,3,4,5,6}) には 1 の値が割り当てられます。確率として適格となるには、値の割り当てが、相互に排他的なイベントのコレクション (イベント {1,6}、{3}、および {2,4} のように共通の結果を持たないイベント) に対して、少なくとも 1 つのイベントが発生する確率がすべての個々のイベントの確率の合計によって与えられるという要件を満たす必要があります。^[28]

事象 Aの確率は、^[29]、または^[30]と表記されます。この確率の数学的定義は、測度の概念を使用して、無限の標本空間、さらには無数の標本空間にまで拡張できます。 ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle p(A)}$${\displaystyle {\text{Pr}}(A)}$

事象Aの反対または補事象は事象[ Aでない]（つまり、Aが発生しない事象）であり、しばしば、、またはと表記され、その確率はP（Aでない）= 1 − P（A）で与えられる。^[31]一例として、6面サイコロを振って6が出ない確率は1 - （6が出る可能性）= 1 − ⁠${\displaystyle A',A^{c}}$${\displaystyle {\overline {A}},A^{\complement },\neg A}$${\displaystyle {\sim }A}$ 1/6⁠ = ⁠5/6⁠。より包括的な処理については、「補完イベント」を参照してください。

実験の1回の実行で2つのイベントAとBが発生する場合、これはAとBの交差確率または結合確率と呼ばれ、次のように表されます。${\displaystyle P(A\cap B).}$

2つの事象AとBが独立している場合、その結合確率は^[29]

P ( A と B ) = P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) 。 {\displaystyle P(A{\mbox{ と }}B)=P(A\cap B)=P(A)P(B).}

例えば、2枚のコインを投げた場合、両方が表になる確率は^[32]${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{4}}.}$

イベントAまたはイベントBのいずれかが発生する可能性があり、両方が同時に発生することがない場合は、それらを相互に排他的なイベントと呼びます。

2つのイベントが相互に排他的である場合、両方が発生する確率は次のように表されます。2つのイベントが相互に排他的である場合、どちらかが発生する確率は次のように表されます。${\displaystyle P(A\cap B)}$$${\displaystyle P(A{\mbox{ and }}B)=P(A\cap B)=0}$$${\displaystyle P(A\cup B)}$$${\displaystyle P(A{\mbox{ or }}B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-0=P(A)+P(B)}$$

例えば、6面サイコロを振って1か2が出る確率は${\displaystyle P(1{\mbox{ or }}2)=P(1)+P(2)={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{3}}.}$

イベントが（必ずしも）相互に排他的でない場合は、書き換えると、$${\displaystyle P\left(A{\hbox{ or }}B\right)=P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A{\mbox{ and }}B\right).}$$$${\displaystyle P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)}$$

たとえば、トランプのデッキからカードを引くとき、ハートまたは絵札 (J、Q、K) (または両方) が出る可能性は、デッキの 52 枚のカードのうち、13 枚はハート、12 枚は絵札、3 枚は両方であるためです。ここで、「両方である 3 枚」に含まれる可能性は、「13 枚のハート」と「12 枚の絵札」のそれぞれに含まれますが、1 回だけカウントされます。 ${\displaystyle {\tfrac {13}{52}}+{\tfrac {12}{52}}-{\tfrac {3}{52}}={\tfrac {11}{26}},}$

これは、必ずしも相互に排他的ではない複数のイベントに対してさらに拡張できます。 3 つのイベントの場合、これは次のように進行します。したがって、このパターンは任意の数のイベントに対して繰り返すことができることがわかります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}P\left(A\cup B\cup C\right)=&P\left(\left(A\cup B\right)\cup C\right)\\=&P\left(A\cup B\right)+P\left(C\right)-P\left(\left(A\cup B\right)\cap C\right)\\=&P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)+P\left(C\right)-P\left(\left(A\cap C\right)\cup \left(B\cap C\right)\right)\\=&P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(A\cap B\right)-\left(P\left(A\cap C\right)+P\left(B\cap C\right)-P\left(\left(A\cap C\right)\cap \left(B\cap C\right)\right)\right)\\P\left(A\cup B\cup C\right)=&P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(A\cap B\right)-P\left(A\cap C\right)-P\left(B\cap C\right)+P\left(A\cap B\cap C\right)\end{aligned}}}$$

条件付き確率とは、ある事象Bの発生を前提として、ある事象Aが発生する確率である。条件付き確率は「 Bが与えられた場合のAの確率」と書かれる^{。これは[33]}によって定義される${\displaystyle P(A\mid B)}$

$${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\,}$$

の場合には、この式では正式には定義されません。この場合、 とは独立です。なぜなら だからです。しかし、たとえば、そのようなイベント（連続ランダム変数から生じるイベントなど）のσ 代数を使用することによって、いくつかのゼロ確率イベントの条件付き確率を定義することは可能です。^[34]${\displaystyle P(B)=0}$${\displaystyle P(A\mid B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)=0.}$

たとえば、赤ボール2個と青ボール2個（合計4個）の入った袋の中で、赤ボールを取る確率は、しかし、2個目のボールを取るときに、赤ボールか青ボールのどちらかになる確率は、前に取ったボールによって決まります。たとえば、赤ボールを取った場合、赤ボールが1個と青ボールが2個しか残っていないため、再び赤ボールを取る確率は、になります。また、前に青ボールを取っていた場合、赤ボールを取る確率は、${\displaystyle 1/2;}$${\displaystyle 1/3,}$${\displaystyle 2/3.}$

確率論と確率の応用において、ベイズの法則は、別のイベントによる条件付けの前 (事前) と後 (事後)におけるイベント間のオッズを関連付けます。イベント間のオッズは、単に 2 つのイベントの確率の比です。任意の数のイベント(2 つだけではなく) が対象の場合、この法則は、事後が事前の尤度に比例すると言い換えることができます。ここで、比例記号は、が固定または与えられた場合、左側が右側に比例する (つまり、定数倍に等しい) ことを意味します(Lee、2012 年、Bertsch McGrayne、2012 年)。この形式は、Laplace (1774 年) と Cournot (1843 年) に遡ります。Fienberg (2005 年) を参照してください。 ${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2},}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P(A|B)\propto P(A)P(B|A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

ニュートンの概念に基づく決定論的な宇宙では、すべての条件がわかっている場合（ラプラスの悪魔）確率は存在しません（ただし、初期条件に対する感度が、それらを測定、つまり知る能力を超えている状況があります）。ルーレットホイールの場合、手の力とその力の周期がわかっている場合、ボールが止まる数字は確実です（ただし、実際には、トーマス・A・バスのニュートンカジノが明らかにしたように、これは正確に水平にされていないルーレットホイールにのみ当てはまる可能性があります）。これは、ホイールの慣性と摩擦、ボールの重さ、滑らかさ、丸さ、回転中の手の速度の変化などについての知識も前提としています。したがって、ルーレットホイールを繰り返し回転させた場合の結果のパターンを分析するには、ニュートン力学よりも確率的な説明の方が役立ちます。物理学者は気体の運動論においても同じ状況に直面している。そのシステムは原理的には決定論的であるが、非常に複雑である（分子の数は典型的にはアボガドロ定数のオーダーである）。 6.02 × 10 ²³）は、その特性の統計的記述のみが可能であると結論付けている。^[35]

量子現象を記述するには確率論が必要である。^[36] 20世紀初頭の物理学における革命的な発見は、原子レベル以下で発生し量子力学の法則に支配されるすべての物理過程のランダムな性質であった。客観的な波動関数は決定論的に進化するが、コペンハーゲン解釈によれば、それは観測の確率を扱い、その結果は観測が行われると波動関数が崩壊することで説明される。しかし、道具主義のために決定論を失うことは普遍的な承認には至らなかった。アルベルト・アインシュタインはマックス・ボルンに宛てた手紙の中で、「私は神はサイコロを振らないと確信している」と述べた。^[37]アインシュタインと同様に、波動関数を発見したエルヴィン・シュレーディンガーは、量子力学は根底にある決定論的現実の統計的近似であると信じていた。^[38]測定の統計力学のいくつかの現代的な解釈では、主観的に確率的な実験結果の出現を説明するために 量子デコヒーレンスが引用されています。

• 不測の事態
• 等確率
• ファジー論理
• ヒューリスティック（心理学）

• カレンバーグ、O. (2005)確率的対称性と不変性原理シュプリンガー・フェアラグ、ニューヨーク。510 ページ 。ISBN 0-387-25115-4 
• カレンバーグ、O. (2002)現代確率論の基礎、第 2 版。シュプリンガー統計シリーズ。650 ページ 。ISBN 0-387-95313-2 
• Olofsson, Peter (2005)確率、統計、確率過程、Wiley-Interscience。504 ページ、ISBN 0-471-67969-0。 

Wikiquoteに確率に関する引用があります。

ウィキブックスには、確率に関する詳細があります。

ウィキメディア・コモンズには、確率に関連するメディアがあります。

• 確率と統計の仮想実験室（アラバマ大学ハンツビル校）
• BBCの「In Our Time」における確率
• 確率と統計の電子書籍
• エドウィン・トンプソン・ジェインズ.確率論: 科学の論理. プレプリント: ワシントン大学、(1996). – PostScript ファイルと PDF (最初の 3 章) へのリンクを含む HTML インデックス
• 確率と統計の歴史にかかわる人々（サウサンプトン大学）
• 最も古い使用ページの確率と統計 (サウサンプトン大学)
• 確率と統計における記号の最も古い使用 さまざまな数学記号の最も古い使用について
• オックスフォード大学1年生向けに考案された確率とベイズの定理に関するチュートリアル
• UBUWEB :: UbuWebの La Monte Young のAn Anthology of Chance Operations (1963)の pdf ファイル
• 確率入門 – 電子書籍 2011年7月27日アーカイブ、チャールズ・グリンステッド、ローリー・スネル著 出典 2012年3月25日アーカイブ、ウェイバックマシン ( GNU フリー ドキュメンテーション ライセンス)
• (英語とイタリア語) Bruno de Finetti、Probabilità e induzione、ボローニャ、CLUEB、1993 年。ISBN 88-8091-176-7 (デジタル版) 
• リチャード・ファインマンの確率に関する講義。