限界（数学）

数学において、極限とは、引数（または指数）がある値に近づくにつれて関数（または数列）が近づく値である。^[1]関数の極限は微積分学や数学的解析に不可欠であり、連続性、導関数、積分を定義するために使用される。数列の極限の概念は、位相ネットの極限の概念にさらに一般化され、圏論における極限や直接極限と密接に関連している。下極限と上極限は、ある点で極限が存在しない可能性がある場合に特に関連する極限の概念の一般化を提供する。

数式では、関数の極限は通常次のように表されます。

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L,}$

これは「 x がcに近づくにつれて関数fの極限はL に等しい」と読みます。これは、 x をcに十分近づけることで、関数fの値をLに任意に近づけることができることを意味します。あるいは、関数fがx がcに近づくにつれて極限Lに近づくという事実は、次のように右矢印（→ または）で表されることがあります。 ${\displaystyle \rightarrow }$

${\displaystyle f(x)\to L{\text{ as }}x\to c,}$

これは「 ～の傾向は～の傾向として～ 」と読みます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$

ハンケル（1871）によれば、現代の極限の概念はユークリッドの『原論』の命題X.1に由来し、これはユークリッドとアルキメデスの尽力法の基礎となっている。「二つの等しくない大きさが提示され、大きい方からその半分より大きい大きさが減じられ、残ったものからその半分より大きい大きさが減じられ、このプロセスが継続的に繰り返されると、提示された小さい方の大きさよりも小さい大きさが残る。」^{[2] [3]}

グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンは、著書『幾何作品』（1647年）の中で、等比級数の極限（終点）の最初の定義を与えた。「数列の終点とは、数列が無限に続いても到達できないが、与えられた線分より近づくことができる数の終わりである。」^[4]

極限の現代的な定義は、1817年に連続関数を定義するためのイプシロンデルタ法の基礎を開発したベルナルド・ボルツァーノに遡ります。しかし、彼の研究は彼の死後30年まで他の数学者に知られていませんでした。^[5]

1821年にオーギュスタン＝ルイ・コーシー^[6]が、続いてカール・ワイエルシュトラスが関数の極限の定義を形式化し、これは極限の(ε,δ)定義として知られるようになった。

極限記号の下に矢印を置くという現代的な表記法は、 1908年にGHハーディが著書『純粋数学講座』^{で導入した。 [7]}

0.999...という表現は、0.9、0.99、0.999、...という数列の極限として解釈されるべきである。この数列は厳密に極限が1であることが示されており、したがってこの表現は値1を持つと意味を持って解釈される。^[8]

正式には、a ₁、a ₂、 ...が実数の列であるとします。列の極限が存在するとき、実数L がこの列の極限となるのは、すべての実数ε > 0に対して、すべてのn > Nに対して| a _n − L | < εとなる自然数N が存在する場合のみです。^[9] 一般的な表記法 は次のように読みます。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}$$

_{「 n が無限大に近づくときの n}の極限はLに等しい」または「_{n が}無限大に近づくときの n の極限はLに等しい」。

正式な定義は、絶対値 | a _n − L |がa _nとLの間の距離であるため、最終的にはシーケンスのすべての要素が限界に任意に近づくことを直感的に意味します。

すべての数列に極限があるわけではありません。極限のある数列は収束する数列と呼ばれ、極限のない数列は発散する数列と呼ばれます。収束数列には 1 つの極限しかないことが示せます。

数列の極限と関数の極限は密接に関連している。一方では、数列{ a _n }のnが無限大に近づくときの極限は、自然数{ n }で定義される関数a ( n )の無限大における極限に等しい。他方では、X が関数f ( x )の定義域であり、 x 0 に収束するX − x ₀内の任意の点列{ x _n }に対して、 nが無限大に近づくときのf ( x _n )の極限がLである場合、 x がx ₀に近づくときの関数f ( x )の極限はLに等しい。^{[10]そのような数列の 1}つは{ x _{0 +} 1/ n }である。

有限値 ではなく、極限が「無限大に向かう」という概念もあります。 実数 （境界値）ごとに、各に対して となる整数が存在する場合、 その数列は「無限大に向かう」と言われます。つまり、すべての可能な境界値に対して、数列は最終的に境界値を超えます。これは、 または単に と 表記されることが多いです。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle M>0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n>N}$$${\displaystyle a_{n}>M.}$$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\infty }$${\displaystyle a_{n}\rightarrow \infty }$

数列が発散することはあり得ますが、無限大にはなりません。このような数列は振動数列と呼ばれます。振動数列の例は です。 ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$

負の無限大に向かうという対応する概念があり、これは上記の定義の不等式を次のように変更することによって定義されます。${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=-\infty }$${\displaystyle a_{n}<M,}$${\displaystyle M<0.}$

を持つ数列は非有界 と呼ばれ、この定義は複素数または任意の距離空間の数列に対しても同様に有効です。無限大に向かわない数列は有界と呼ばれます。正の無限大に向かわない数列は上方に有界 と呼ばれ、負の無限大に向かわない数列は下方に有界 と呼ばれます。 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }|a_{n}|=\infty }$

上記のシーケンスに関する説明は、実数のシーケンスに関するものです。極限の概念は、距離空間などのより抽象的な空間で値を取るシーケンスに対して定義できます。 が距離関数 を持つ距離空間で、 がのシーケンスである場合、シーケンスの極限 (存在する場合) は、 が与えられたときに、各 に対して となる が存在するような元です。 これと 同等のステートメントは、実数のシーケンスの場合です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle a\in M}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n>N}$$${\displaystyle d(a,a_{n})<\epsilon .}$$${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$${\displaystyle d(a,a_{n})\rightarrow 0}$

重要な例としては、各要素が実数である次元実ベクトルの空間が挙げられます。適切な距離関数の例としては、 によって定義される ユークリッド距離があります。 点の列は、極限が存在し、 である場合に に収束します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\cdots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{i}}$$${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}$$${\displaystyle \{\mathbf {x} _{n}\}_{n\geq 0}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \|\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} \|\rightarrow 0}$

ある意味で、極限を定義できる最も抽象的な空間は位相空間です。が位相 を持つ位相空間であり、 が内の数列である場合、数列の極限（存在する場合）は、 の（開）近傍が与えられたときに、任意の に対して が満たされるような が存在するような点です。この場合、極限（存在する場合）は一意ではない可能性があります。ただし、がハウス ドルフ空間である場合 は、一意でなければなりません。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\in X}$ ${\displaystyle U\in \tau }$${\displaystyle a}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n>N}$$${\displaystyle a_{n}\in U}$$${\displaystyle X}$

このセクションでは、関数のシーケンスの極限の概念を扱います。これは、以下で説明する関数の極限の概念と混同しないでください。

関数解析の分野では、関数空間の収束に関する有用な概念を特定しようと努めています。たとえば、一般集合からへの関数の空間を考えてみましょう。各 が関数 である関数の列が与えられたとき、各 に対して となる関数が存在するとします。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{f_{n}\}_{n>0}}$${\displaystyle f_{n}:E\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in E}$$${\displaystyle f_{n}(x)\rightarrow f(x){\text{ or equivalently }}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x).}$$

すると、シーケンスはに点ごとに収束すると言われます。ただし、このようなシーケンスは予期しない動作を示す場合があります。たとえば、不連続な点ごとの極限を持つ連続関数のシーケンスを構築することが可能です。 ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$

収束の別の概念は、一様収束です。2 つの関数間の一様距離は、引数が変化したときの 2 つの関数の最大差です。つまり、 この距離に関して、 シーケンスは一様収束する、またはの一様極限を持つと言われます。一様極限は、点ごとの極限よりも「優れた」特性を持っています。たとえば、連続関数のシーケンスの一様極限は連続です。 ${\displaystyle f,g:E\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in E}$$${\displaystyle d(f,g)=\max _{x\in E}|f(x)-g(x)|.}$$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$

関数空間では、さまざまな収束の概念を定義できます。これは、空間の規則性に依存する場合があります。収束の概念を持つ関数空間の代表的な例としては、Lp 空間とソボレフ空間があります。

fが実数値関数でcが実数であるとする。直感的に言えば、次の式は

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$

は、 x をcに十分近づけることで、 f ( x ) をLに望むだけ近づけることができることを意味します。^{[11]その場合、上記の式は「} xがcに近づくにつれて、xのf の極限はLになる」と解釈できます。

正式には、「が に近づくときの の極限」の定義は次のように与えられます。 極限は実数なので、任意の実数（「誤差」と考えられる）が与えられると、 を満たす任意の に対して となるような が存在します。これは、極限 の (ε, δ) 定義として知られています。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }$

不等式は、検討中の点の集合から を除外するために使用されますが、著者によっては、これを極限の定義に含めず、単に に置き換えています。この置き換えは、が で連続であることをさらに要求することと同等です。 ${\displaystyle 0<|x-c|}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$${\displaystyle |x-c|<\delta }$${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$

数列の極限と関数の極限の関係を明らかにする同等の定義があることが証明できる。^[12]同等の定義は次のように与えられる。まず、のドメイン内のすべての数列に対して、による数列の像である関連する数列 が存在することに注目する。 極限は実数であるため、すべての数列に対して、関連する数列 となる。 ${\displaystyle \{x_{n}\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{f(x_{n})\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x_{n}\rightarrow c}$${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow L}$

「左手」極限（「下から」）の概念と「右手」極限（「上から」）の概念を定義することは可能です。これらは一致する必要はありません。例として、、の場合に となるように定義された正の指示関数、が挙げられます。 では、関数は 0 の「左手極限」と 1 の「右手極限」を持ち、その極限は存在しません。記号的に、この例では、 、 と表すことができ、 であるため、 は存在しないと推論できます。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x\leq 0}$${\displaystyle f(x)=1}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)=0}$${\displaystyle \lim _{x\to c^{+}}f(x)=1}$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)}$${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to c^{+}}f(x)}$

の領域で「無限大に向かう」という概念を定義することは可能である。 ${\displaystyle f}$$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=L.}$$

この式では、無限大は符号付き、つまりまたはとみなされます。「 x が正の無限大に近づくときの f の極限」は次のように定義されます。これは、任意の実数 が与えられたときにが存在する実数であり、であれば となります。同様に、任意のシーケンス に対して が成り立ちます。 ${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle L}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle M>0}$${\displaystyle x>M}$${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }$${\displaystyle x_{n}\rightarrow +\infty }$${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow L}$

の値において「無限大に向かう」という概念を定義することも可能である。 ${\displaystyle f}$$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=\infty .}$$

定義は次のように与えられます。任意の実数 に対して が存在し、に対して関数 の絶対値は です。同様に、任意のシーケンス に対して、シーケンス です。 ${\displaystyle M>0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$${\displaystyle |f(x)|>M}$${\displaystyle x_{n}\rightarrow c}$${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow \infty }$

非標準解析（数体系の超実数拡大を伴う）では、数列の極限は、無限超自然指数n=Hにおける数列の自然拡大の値の標準部分として表現できる。したがって、 ${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle a_{H}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\operatorname {st} (a_{H}).}$

ここで、標準部分関数「st」は、各有限超実数を最も近い実数に丸めます（それらの差は無限小です）。これは、インデックスの値が「非常に大きい」場合、シーケンス内の項がシーケンスの極限値に「非常に近い」という自然な直感を形式化します。逆に、超べき乗構成でコーシーシーケンスによって表される超実数の標準部分は、単にそのシーケンスの極限です。 ${\displaystyle a=[a_{n}]}$${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle \operatorname {st} (a)=\lim _{n\to \infty }a_{n}.}$

この意味では、極限値を取ることと標準値を取ることは同等の手順です。

を位相空間 内の数列とします。具体的には、を と考えることができますが、定義はより一般的に成り立ちます。極限集合とは、を伴う収束部分数列がある場合に が極限集合に属するような点の集合です。この文脈では、このような は極限点と呼ばれることがあります。 ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n>0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k>0}}$${\displaystyle a_{n_{k}}\rightarrow a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

この概念は、振動シーケンスの「長期的動作」を特徴付けるために使用されます。たとえば、シーケンス を考えます。n=1 から始めて、このシーケンスの最初のいくつかの項は です。これは振動的であるため極限はありませんが、極限点 があることを確認できます。 ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$${\displaystyle -1,+1,-1,+1,\cdots }$${\displaystyle \{-1,+1\}}$

この概念は、動的システムで軌道の極限を調べるために使用されます。軌道を関数 と定義すると、点は「時間」 における軌道の「位置」と考えられます。軌道の極限セットは次のように定義されます。任意の増加する時間シーケンス には、関連する位置シーケンス があります。 が任意の増加する時間シーケンス のシーケンス の極限セットである場合、 は軌道の極限セットです。 ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \rightarrow X}$${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \{t_{n}\}}$${\displaystyle \{x_{n}\}=\{\gamma (t_{n})\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \{x_{n}\}}$${\displaystyle x}$

技術的には、これは- 極限セットです。減少する時間のシーケンスに対応する極限セットは- 極限セットと呼ばれます。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \alpha }$

分かりやすい例として、円軌道 が挙げられます。この軌道には一意の極限はありませんが、各 に対して、点は極限点であり、時間のシーケンス によって与えられます。ただし、極限点は軌道上で達成される必要はありません。軌道には、単位円も極限セットとして存在します。 ${\displaystyle \gamma (t)=(\cos(t),\sin(t))}$${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$${\displaystyle (\cos(\theta ),\sin(\theta ))}$${\displaystyle t_{n}=\theta +2\pi n}$${\displaystyle \gamma (t)=t/(1+t)(\cos(t),\sin(t))}$

限界は、分析におけるいくつかの重要な概念を定義するために使用されます。

数列の極限として形式化される興味深い特定の表現は、無限級数の和です。これらは実数の「無限和」であり、一般的には 次のように記述されます。これは、次のように極限によって定義されます。^[12]実数の数列が与えられた場合、部分和の数列は次のように定義されます 。 数列の極限が存在する場合、式の値は極限として定義されます。そうでない場合、数列は発散していると言われます。 $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$$${\displaystyle \{a_{n}\}}$$${\displaystyle s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}.}$$${\displaystyle \{s_{n}\}}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

典型的な例はバーゼル問題である。ここで、 ${\displaystyle a_{n}=1/n^{2}}$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

しかし、シーケンスの場合、本質的に収束の概念は一意ですが、シリーズの場合、収束の概念は異なります。これは、式がシーケンスの異なる順序を区別しないのに対し、部分和のシーケンスの収束特性はシーケンスの順序に依存する 可能性があるためです。${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle \{a_{n}\}}$

すべての順序に対して収束する級数は、無条件収束と呼ばれます。これは絶対収束と同等であることが証明できます。これは次のように定義されます。 が明確に定義されている場合、級数は絶対収束します。さらに、すべての可能な順序は同じ値になります。 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$

それ以外の場合、級数は条件付きで収束します。条件付きで収束する級数に対する意外な結果は、リーマン級数定理です。順序に応じて、部分和を任意の実数に収束させることができます。 ${\displaystyle \pm \infty }$

級数の和の理論の有用な応用は、べき級数です。これらは、形式の級数の和です。 は しばしば複素数として考えられ、複素数列の収束の適切な概念が必要になります。 級数の和が収束する の値の集合は円であり、その半径は収束半径として知られています。 $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.}$$${\displaystyle z}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

ある点における連続性の定義は、限界によって与えられます。

上記の極限の定義は、 の場合でも当てはまります。実際、関数fはcで定義される必要さえありません。しかし、が定義され、 に等しい場合、関数は点 で連続していると言えます。 ${\displaystyle f(c)\neq L}$${\displaystyle f(c)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle c}$

同様に、 のとき、関数 は で連続であり、シーケンスに関しては のとき、 の場合は常に連続です。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle f(x)\rightarrow f(c)}$${\displaystyle x\rightarrow c}$${\displaystyle x_{n}\rightarrow c}$${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow f(c)}$

が定義されていない限界の例を以下に示します。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$

機能について考える

$${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}.}$$

するとf (1)は定義されない（不定形を参照）が、xが1に近づくにつれてf ( x )はそれに応じて2に近づく：^[13]

したがって、x を1に十分近づけるだけで、 f ( x ) を2 の限界に任意に近づけることができます。

言い換えると、 $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2.}$$

これは、すべての実数x ≠ 1と同様に代数的に計算することもできます。 ${\textstyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}$

ここで、x + 1 はxの 1において連続なので、 xに 1 を代入すると、次の式が 得られます。$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2.}$$

関数は有限値での制限に加えて、無限大での制限も持つことができます。たとえば、 次の関数を考えてみましょう。 $${\displaystyle f(x)={\frac {2x-1}{x}}}$$

• （ 100）＝1.9900
• （ 1000）= 1.9990
• （ 10000）= 1.9999

x が極端に大きくなると、 f ( x )の値は2に近づき、 x を十分に大きくすることで、 f ( x )の値を2にできるだけ近づけることができます。したがって、この場合、 x が無限大に近づくときのf ( x )の極限は2です。数学的表記では、$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2.}$$

極限を考えるときに重要な関数のクラスは連続関数です。これらはまさに、が連続関数である場合に の領域内にあるときはいつでも極限が存在し、さらに であるという意味で、極限を保存する関数です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(a_{n})}$${\displaystyle f(a)}$

位相空間の最も一般的な設定では、短い証明が以下に与えられます。

を位相空間と間の連続関数とします。定義により、内の各開集合に対して、その逆像は内で開集合となります。 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{-1}(V)}$${\displaystyle X}$

ここで、が の極限を持つシーケンスであるとします。すると、 はのシーケンスであり、 は何らかの点です。 ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(a_{n})}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f(a)}$

の近傍を選択します。すると、 は開集合 ( の連続性により) となり、特に を含むため はの近傍となります。が に収束することにより、に対して となるようなが存在し、 が成り立ちます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f^{-1}(V)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f^{-1}(V)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle a_{n}\in f^{-1}(V)}$

次に両辺に適用すると、同じ に対して、それぞれ に対してが成り立ちます。もともと はの任意の近傍だったので、 となります。これで証明は終了です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle f(a_{n})\in V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(a_{n})\rightarrow f(a)}$

実解析では、より具体的な実数値関数が部分集合 上で定義される場合、つまり の場合、連続関数はその定義域のどの点でも連続である関数として定義されることもあります。 ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle f:E\rightarrow \mathbb {R} }$

位相幾何学では、極限は位相空間の部分集合の極限点を定義するために使用され、これにより閉集合の有用な特徴付けが与えられます。

位相空間において、部分集合 を考えます。となるような数列が に存在する場合、その点は極限点と呼ばれます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle S\backslash \{a\}}$${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$

が ではなく として定義される理由は、次の例で説明されます。 および を取ります。このとき となり、したがって は定数列 の極限となります。しかし はの極限点ではありません。 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle S\backslash \{a\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle S=[0,1]\cup \{2\}}$${\displaystyle 2\in S}$${\displaystyle 2,2,\cdots }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle S}$

閉集合は、開集合の補集合として定義され、すべての極限点を含む任意の集合と同等です。 ${\displaystyle C}$

導関数は、極限として正式に定義されます。実解析のスコープでは、まず、サブセット 上で定義された実関数に対して導関数が定義されます。における導関数は次のように定義されます。 としての極限が 存在する場合、 における導関数はこの極限です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in E}$$${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$${\displaystyle h\rightarrow 0}$${\displaystyle x}$

同様に、それ は${\displaystyle y\rightarrow x}$$${\displaystyle {\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}.}$$

導関数が存在する場合、それは通常 と表記されます。 ${\displaystyle f'(x)}$

実数列については、いくつかの性質が証明できる。^[12]とがそれぞれとに収束する2つの列であるとする。 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle \{b_{n}\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

• 限界の合計は合計の限界に等しい

$${\displaystyle a_{n}+b_{n}\rightarrow a+b.}$$

• 極限の積は積の極限に等しい

$${\displaystyle a_{n}\cdot b_{n}\rightarrow a\cdot b.}$$

• 極限の逆数は逆数の極限に等しい（ただし、）${\displaystyle a\neq 0}$

$${\displaystyle {\frac {1}{a_{n}}}\rightarrow {\frac {1}{a}}.}$$ 同様に、関数は非ゼロの周りで連続です。 ${\displaystyle f(x)=1/x}$${\displaystyle x}$

実数の収束する数列の性質として、それらはコーシー数列であるということがある。^[12]コーシー数列の定義は、任意の実数に対して、となるような数列が存在するということである。 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m,n>N}$$${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\epsilon .}$$

非公式には、任意の小さな誤差に対して、最終的にシーケンスがその区間内に含まれるような 直径の区間を見つけることが可能です。${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

コーシー数列は収束数列と密接な関係があります。実際、実数の数列の場合、それらは同等です。つまり、任意のコーシー数列は収束します。

一般計量空間では、収束する数列はコーシー数列でもあるという考え方はまだ成り立ちます。しかし、逆は真ではありません。すべてのコーシー数列が一般計量空間で収束するわけではありません。典型的な反例としては、通常の距離を持つ有理数、があります。 の小数近似数列を 番目の小数点で切り捨てると、コーシー数列になりますが、 では収束しません。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

すべてのコーシー列が収束する、つまりコーシー列が収束列と同値である距離空間は、完全な距離空間として知られています。

コーシー数列が収束数列よりも「扱いやすい」理由の 1 つは、コーシー数列は数列のみの特性であるのに対し、収束数列では数列だけでなく数列の極限も必要となるためです。 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle a}$

シーケンスが極限に収束するかどうかを超えて、シーケンスが極限に収束する速度を記述することができます。これを定量化する 1 つの方法は、シーケンスの 収束順序を使用することです。${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle a}$

収束次数の正式な定義は、次のように述べることができます。 がの極限で収束する実数列であるとします。さらに、すべての に対して となります。となる 正の定数および が存在する場合、 は収束次数でに収束するといわれます。 この定数は漸近誤差定数として知られています。 ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n>0}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a_{n}\neq a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\left|a_{n+1}-a\right|}{\left|a_{n}-a\right|^{\alpha }}}=\lambda }$$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \lambda }$

収束順序は、例えば数値解析の分野では誤差解析などに使用されます。

極限を計算するのは難しい場合があります。収束係数が決定不可能な極限表現が存在します。再帰理論では、極限補題は、決定不可能な問題を極限を使用してエンコードできることを証明しています。^[14]

極限が存在するかどうかを示す定理やテストがいくつかあります。これらは収束テストとして知られています。例としては、比率テストやスクイーズ定理などがあります。ただし、それらは極限を計算する方法を示していない可能性があります。

• 漸近解析：限界挙動を記述する方法
  • ビッグオー記法: 引数が特定の値または無限大に向かう関数の制限動作を記述するために使用される
• 通常の限界を拡張するバナッハ空間上に定義されたバナッハ限界。${\displaystyle \ell ^{\infty }}$
• 確率変数の収束
• 収束行列
• 圏論における限界
  • 直接制限
  • 逆限界
• 関数の極限
  • 片側極限：実変数xの関数の 2 つの極限のうち、x が上または下から点に近づくときの極限。
  • 制限のリスト: 一般的な機能の制限のリスト
  • スクイーズ定理：2つの他の関数との比較を通じて関数の極限を見つける
• 上限を上限とし、下限を下限とする
• 収束のモード
  • 注釈付きインデックス

• アポストル、トム M. (1974)、数学的分析(第 2 版)、メンロパーク:アディソンウェスレー、LCCN  72011473

ウィキブック微積分には、極限に関するページがあります。