ストークスの法則

終端速度（または沈降速度）では、球の重量と浮力（どちらも重力^{[ 7 ]}によって生じる）の差による過剰力Fe_は次のように表される。

${\displaystyle F_{e}=(\rho _{p}-\rho _{f})\,g\,{\frac {4}{3}}\pi \,R^{3},}$

ここで（SI単位系）：

• ρp_は球の質量密度[kg/ ^m³ ]である。
• ρf_は流体の質量密度[kg/m³ ^]である。
• gは重力加速度[m/s² ^]です。

力の釣り合いF _d = F _eを要求し、速度vについて解くと、終端速度v _sが得られます。余剰力はR ³に比例して増加し、ストークスの抗力はRに比例して増加するため、終端速度はR ²に比例して増加し、以下に示すように粒子サイズによって大きく変化することに注意してください。粒子が粘性流体中を落下する際に自身の重力のみを受ける場合、流体による粒子への摩擦力と浮力の合計が重力と正確に釣り合うときに終端速度に達します。この速度v [m/s] は次のように与えられます。 ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle v={\frac {2}{9}}{\frac {\rho _{p}-\rho _{f}}{\mu }}g\,R^{2}\quad {\begin{cases}\rho _{p}>\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ 垂直下向き }}\\\rho _{p}<\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ 垂直上向き }}\end{cases}}}$$

ここで（SI単位系）：

• gは重力場の強さ[m/s² ^]です。
• Rは球状粒子の半径[m]です。
• ρp_は粒子の質量密度[kg/m³ ^]で
• ρf_は流体の質量密度[kg/m³ ^]である。
• μは動粘度[kg/(m・s)]である。

ストークス流れでは、レイノルズ数が非常に低い場合、ナビエ・ストークス方程式の対流加速項は無視されます。すると、非圧縮性定常流れの場合、流れの方程式は次のようになります。^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla p=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\mu \,\nabla \times \mathbf {\boldsymbol {\omega }} ,\\[2pt]&\nabla \cdot \mathbf {u} =0,\end{aligned}}}$

どこ：

• pは流体圧力（Pa単位）です。
• uは流速（m/s単位）であり、
• ωは渦度（s⁻¹単位^）であり $\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} .}$

ベクトル解析の恒等式を用いることで、これらの式は圧力と渦度ベクトルの各成分に関するラプラス方程式となることが示される。 ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}=0}$ そして ${\displaystyle \nabla ^{2}p=0.}$

重力や浮力などの付加的な力は考慮されていませんが、上記の式は線形であるため、解とそれに伴う力の線形重ね合わせを適用することで容易に追加できます。

一様な遠方場流れの中にある球の場合、円筒座標系( r、φ、z )を使用するのが有利です。z軸は球の中心を通り、平均流方向と一致し、rはz軸に垂直に測定した半径です。原点は球の中心にあります。流れはz軸を中心に軸対称であるため、方位角φに依存しません。

この円筒座標系では、非圧縮性の流れは、 rとzに依存するストークス流れ関数ψで記述できます。^{[ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle u_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}},\qquad u_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}},}$

ここで、u _rとu _{z は}それぞれr方向とz方向の流速成分である。この軸対称の場合、 φ方向の方位角速度成分はゼロとなる。ある一定値ψの表面で囲まれた管を通過する体積流量は2 πψに等しく、一定である。^{[ 9 ]}

軸対称流の場合、渦度ベクトルωの唯一の非ゼロ成分は方位角φ成分ω _φ ^{[ 11 ] [ 12 ]です。}

$\displaystyle \omega _{\varphi }={\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)-{\frac {1}{r}}\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}.}$

渦度ω _φに適用されるラプラス演算子は、軸対称性を持つこの円筒座標系では次のようになります。^{[ 12 ]}

$${\displaystyle \nabla ^{2}\omega _{\varphi }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\,{\frac {\partial \omega _{\varphi }}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\omega _{\varphi }}{\partial z^{2}}}-{\frac {\omega _{\varphi }}{r^{2}}}=0.}$$

前述の2つの式と適切な境界条件から、 z方向の遠方場一様流速uと半径Rの球に対して、解は次のようになることがわかった^{[ 13 ]。}

${\displaystyle \psi (r,z)=-{\frac {1}{2}}\,u\,r^{2}\,\left[1-{\frac {3}{2}}{\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\right)^{3}\;\right].}$

円筒座標系における速度とその成分の解は以下のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}(r,z)&={\frac {3Rrzu}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left(\left({\frac {R}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}+z^{2}}}\right)\\[4pt]u_{z}(r,z)&=u+{\frac {3Ru}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left({\frac {2R^{2}+3r^{2}}{3(r^{2}+z^{2})}}-\left({\frac {rR}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-2\right)\end{aligned}}}$

円筒座標系における渦度の解は次のようになる。

${\displaystyle \omega _{\varphi }(r,z)=-{\frac {3Ru}{2}}\cdot {\frac {r}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

円筒座標系における圧力の解は以下のとおりである。

${\displaystyle p(r,z)=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {z}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

球座標における圧力の解は次のようになる。

${\displaystyle p(r,\theta )=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {\cos \theta }{r^{2}}}}$

圧力の公式は、静電気学における概念と同様に、双極子電位とも呼ばれる。

より一般的な定式化では、任意の遠方場速度ベクトルが${\displaystyle \mathbf {u} _{\infty }}$デカルト座標系において${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)^{T}}$続いて： $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=\underbrace {\underbrace {{\frac {R^{3}}{4}}\cdot \left({\frac {3\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{conservative: curl=0,}}\ \nabla ^{2}\mathbf {u} =0}+\underbrace {\mathbf {u} _{\infty }} _{\text{far-field}}} _{\text{Terms of Boundary-Condition}}\;\underbrace {-{\frac {3R}{4}}\cdot \left({\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|}}+{\frac {\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{non-conservative: curl}}={\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ),\ \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla p}\\[8pt]&=\left[{\frac {3R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {x\otimes \mathbf {x} } }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {x} \otimes \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|}}+\mathbf {I} \right]\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )=-{\frac {3R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}}$

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} \right)=-{\frac {3\mu R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}}$

この定式化において、非保存項は、いわゆるストークスレットの一種を表します。ストークスレットは、ストークス流れ方程式のグリーン関数です。保存項は、双極子勾配場に等しくなります。渦度の式は、電磁気学 におけるビオ・サバールの法則に類似しています。

あるいは、より簡潔な表現として、速度場を次のように定式化することもできる。

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )=\left[\mathbf {I} +\mathrm {H} \left({\frac {R^{3}}{4}}{\frac {1}{\|\mathbf {x} \|}}\right)-\mathrm {S} \left({\frac {3R}{4}}\|\mathbf {x} \|\right)\right]\cdot \mathbf {u} _{\infty },\quad \|\mathbf {x} \|\geq R}$、

どこ${\displaystyle \mathrm {H} =\nabla \otimes \nabla }$はヘッセ行列微分演算子であり、${\displaystyle \mathrm {S} =\mathbf {I} \nabla ^{2}-\mathrm {H} }$は、ラプラシアンとヘシアンの差として構成される微分演算子です。このようにして、解がクーロンポテンシャルの導関数から構成されていることが明確にわかります（${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} \|}$）と双調和ポテンシャル（${\displaystyle \|\mathbf {x} \|}$微分演算子${\displaystyle \mathrm {S} }$ベクトルノルムに適用${\displaystyle \|\mathbf {x} \|}$ストークスレットを生成します。

以下の式は、ストークス流れの特殊な場合の粘性応力テンソルを表します。これは、粒子に作用する力の計算に必要です。デカルト座標では、ベクトル勾配${\displaystyle \nabla \mathbf {u} }$はヤコビ行列と同一です。行列Iは単位行列を表します。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)}$

球体に作用する力は、球面上の応力テンソルの積分によって計算できます。ここで、e _{r は}球座標の半径方向単位ベクトルを表します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \;{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}\mathbf {S} \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {3\mu \cdot \mathbf {u} _{\infty }}{2R}}\cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=6\pi \mu R\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=-\;R^{3}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\omega }}_{R}\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\\[8pt]{\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )&={\frac {R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R^{3}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}_{R}\cdot \mathbf {x} )\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}\\[8pt]p(\mathbf {x} )&=0\\[8pt]{\boldsymbol {\sigma }}&=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)\\[8pt]\mathbf {T} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \mathbf {x} \times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {S}}\right)\\&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }(R\cdot \mathbf {e_{r}} )\times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \right)\\&=8\pi \mu R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}\end{aligned}}}$