ポアソン方程式

密度ρの引力的な質量を持つ物体による重力場gの場合、微分形式のガウスの重力法則を用いて、対応するポアソン重力方程式を得ることができる。ガウスの重力法則は $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .}$$

重力場は保存的（かつ非回転的）であるため、スカラーポテンシャルϕを用いて表現することができる。 $${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi .}$$

これをガウスの法則に代入すると、 $${\displaystyle \nabla \cdot (-\nabla \phi )=-4\pi G\rho ,}$$重力に関する ポアソン方程式 が得られる。$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .}$$

質量密度がゼロの場合、ポアソン方程式はラプラス方程式に帰着します。対応するグリーン関数は、中心点質量mから距離rにおける電位（すなわち基本解）を計算するために使用できます。3 次元では、電位は次のようになります。 $${\displaystyle \phi (r)={\frac {-Gm}{r}},}$$ これはニュートンの万有引力の法則に相当する。

静電気学における多くの問題は、電位φと自由電荷密度を 関連付けるポアソン方程式によって支配される。${\displaystyle \rho _{f}}$例えば導体に見られるようなもの。

ポアソン方程式の数学的な詳細は、一般的にSI単位（ガウス単位とは対照的に）で表され、自由電荷の分布が特定の領域における静電ポテンシャルをどのように生成するかを記述する。

微分形式の電気に関するガウスの法則（マクスウェル方程式の1つでもある） から始めると、次のようになる。$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{f},}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot }$は発散演算子、Dは電束密度場、ρ _fは自由電荷密度（外部から持ち込まれた電荷を表す）です。

媒質が線形、等方性、均質であると仮定すると（分極密度を参照）、構成方程式は次のようになる。$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,}$$ ここで、 εは媒質の誘電率、 Eは電場である。

これをガウスの法則に代入し、εが対象領域内で空間的に一定である と仮定すると、$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.}$$ 静電気学では、磁場は存在しないと仮定します（以下の議論は、一定の磁場が存在する場合にも成り立ちます）。^{[ 3 ]} すると、次のようになります 。$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0,}$$ ここで、∇×は回転演算子です。この式は、任意の勾配の回転はゼロであるため、電場をスカラー関数φ（電位と呼ばれる）の勾配として記述できることを意味します。したがって、次のように記述できます。 $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi ,}$$ ここでマイナス符号が導入されるのは、φが単位電荷あたりの電気ポテンシャルエネルギーとして識別されるためである。^{[ 4 ]}

このような状況下でのポアソン方程式の導出は簡単である。電位勾配を電場に代入すると、 $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \varphi )=-\nabla ^{2}\varphi ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }},}$$ 静電気学のポアソン方程式を直接生成する。 $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.}$$

電位に関するポアソン方程式を導出するには、電荷密度分布を知る必要があります。電荷密度がゼロの場合、ラプラス方程式が得られます。電荷密度がボルツマン分布に従う場合、ポアソン・ボルツマン方程式が得られます。ポアソン・ボルツマン方程式は、希薄電解質溶液のデバイ・ヒュッケル理論の発展において重要な役割を果たします。

グリーン関数を用いると、中心点電荷Qから距離rの位置における電位(すなわち基本解) は次のようになる。 $${\displaystyle \varphi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}},}$$ これはクーロンの静電気の法則です。（歴史的な理由から、上記の重力のモデルとは異なり、${\displaystyle 4\pi }$（この因子はガウスの法則には現れない。）

上記の議論は、磁場が時間的に変化しないことを前提としています。クーロンゲージを使用する限り、磁場が時間的に変化する場合でも、同じポアソン方程式が得られます。このようなより一般的なケースでは、E は磁気ベクトルポテンシャルAにも依存するため、 φを計算するだけではEを計算するには不十分です。A は別途計算する必要があります。マクスウェル方程式におけるφとAの詳細、およびこの場合に適切なポアソン方程式がどのように得られるかについては、 「ポテンシャル形式のマクスウェル方程式」を参照してください。

表面再構成は逆問題です。目標は、多数の点p _i (点群) に基づいて滑らかな表面をデジタル的に再構成することであり、各点には局所的な表面法線n _iの推定値も含まれています。^{[ 7 ]}ポアソン方程式は、ポアソン表面再構成と呼ばれる手法でこの問題を解決するために利用できます。^{[ 8 ]}

この手法の目的は、点p _iで値がゼロであり、点p _iでの勾配が法線ベクトルn _iに等しい陰関数fを再構築することです。したがって、集合 ( p _i , n _i ) は連続ベクトル場Vとしてモデル化されます。陰関数fは、ベクトル場Vを積分することによって求められます。すべてのベクトル場が関数の勾配であるとは限らないため、この問題には解が存在する場合と存在しない場合があります。滑らかなベクトル場V が関数fの勾配であるための必要十分条件は、 Vの回転が恒等的にゼロであることです。この条件を課すのが難しい場合でも、Vとfの勾配との差を最小化するために最小二乗法によるフィッティングを実行することは可能です。

ポアソン方程式を表面再構成の問題に効果的に適用するには、ベクトル場Vの適切な離散化を見つける必要があります。基本的なアプローチは、データを有限差分グリッドで囲むことです。このようなグリッドのノードで値をとる関数の場合、その勾配はスタッガードグリッド、つまりノードが元のグリッドのノードの間にあるグリッドで値をとるものとして表現できます。通常のデータのコンポーネントに対応する 1 つの方向にのみシフトした 3 つのスタッガードグリッドを定義すると便利です。各スタッガードグリッドで、点の集合に対して三線形補間を実行します。補間重みは、 p _iを含む特定のスタッガードグリッドセルのノードにn _iの関連コンポーネントの大きさを分配するために使用されます。Kazhdan と共著者は、適応型有限差分グリッドを使用したより正確な離散化方法を示しています。つまり、データ点が多い場所ではグリッドのセルが小さくなります (グリッドがより細かく分割されます)。^{[ 8 ]}彼らはこの手法を適応型オクツリーで実装することを提案している。

非圧縮性ナビエ・ストークス方程式は、次式で与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} &=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {g} ,\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=0.\end{aligned}}}$$

圧力場の式${\displaystyle p}$これは非線形ポアソン方程式の一例です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p&=-\rho \nabla \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} )\\&=-\rho \operatorname {Tr} {\big (}(\nabla \mathbf {v} )(\nabla \mathbf {v} ){\big )}.\end{aligned}}}$$上記のトレースは符号が確定していないことに注意してください。

熱伝導は熱方程式によってモデル化されます。ソース項を含む定常状態の熱伝導は、次のポアソン方程式によってモデル化されます。

$${\displaystyle \nabla ^{2}\vartheta =-{\frac {\Phi }{\lambda }},}$$

どこ${\displaystyle \vartheta }$温度は、${\displaystyle \Phi }$は熱源の項であり、${\displaystyle \lambda }$熱伝導率です。