ベクトル解析

スカラー場は、空間内のあらゆる点にスカラー値を滑らかに割り当てます。スカラーとは、物理量を表す数学的な数値です。応用例としては、空間全体の温度分布、流体中の圧力分布、そしてヒッグス場のようなスピンゼロの量子場（スカラーボソンとも呼ばれる）などが挙げられます。これらの場は、スカラー場理論の対象となります。

ベクトル場とは、空間内の各点にベクトルを滑らかに割り当てることです。^{[ 3 ]}例えば、平面上のベクトル場は、平面上の各点にそれぞれ大きさと方向が与えられた矢印の集合として視覚化できます。ベクトル場は、例えば、空間全体にわたって移動する流体の速度と方向、あるいは磁力や重力などの力が点ごとに変化する際の強さと方向をモデル化するためによく使用されます。これは、例えば、線に沿って行われた仕事を計算するために使用できます。

より高度な扱いでは、擬ベクトル場と擬スカラー場が区別されます。これらはベクトル場とスカラー場と同一ですが、向きを反転する写像によって符号が反転します。例えば、ベクトル場の回転は擬ベクトル場であり、ベクトル場を鏡像反転すると、回転は反対方向を向きます。この区別は、後述するように幾何代数において明確にされ、詳細に説明されます。

ベクトル解析では、スカラー場またはベクトル場に定義されたさまざまな微分演算子を研究します。これらは通常、del演算子(${\displaystyle \nabla }$）は「ナブラ」とも呼ばれます。3つの基本的なベクトル演算子は次のとおりです。^{[ 4 ]}

また、一般的に使用されるラプラス演算子は次の2つです。

ヤコビ行列と呼ばれる量は、関数の定義域と値域の両方が多変数である場合（例えば、積分中に変数変換が行われる場合など）に、関数を研究する際に役立ちます。

3つの基本的なベクトル演算子には、微積分学の基本定理を高次元に一般化した対応する定理が存在する。

2次元の場合、発散定理と回転定理はグリーンの定理に帰着する。

線形近似は、複雑な関数をほぼ同じ線形関数に置き換えるために使用されます。実数値を持つ微分可能な関数f ( x , y )が与えられた場合、 ( x , y )が( a , b )に近い場合、次の式でf ( x , y )を近似できます。

${\displaystyle f(x,y)\ \approx \ f(a,b)+{\tfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\,(x-a)+{\tfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\,(y-b).}$

右辺は、z = f ( x , y )のグラフに( a , b )で接する平面の方程式です。

複数の実変数の連続微分可能な関数において、点P（すなわち、入力変数の値の集合であり、R ⁿ内の点とみなされる）は、関数のすべての偏導関数がPにおいてゼロになる場合、または同等に、その勾配がゼロになる場合に臨界点である。臨界値とは、臨界点における関数の値のことである。

関数が滑らかであるか、少なくとも2回連続微分可能である場合、臨界点は局所最大値、局所最小値、または鞍点のいずれかとなる可能性がある。これらの異なるケースは、2階微分行列のヘッセ行列の固有値を考慮することで区別できる。

フェルマーの定理によれば、微分可能な関数のすべての極大値と極小値は臨界点で発生します。したがって、理論的には、極大値と極小値を求めるには、勾配の零点と、これらの零点におけるヘッセ行列の固有値を計算すれば十分です。

ベクトル解析は、最初はユークリッド3次元空間に対して定義され、${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$これは、単なる 3 次元実ベクトル空間であることに加えて、次のような追加の構造を持っています。内積(ドット積) によって定義されるノルム(長さの概念を与える) 、それによって角度の概念が与えられ、さらに、左手と右手の概念を与える方向があります。これらの構造は、体積形式と、ベクトル解析で広く使用されている外積を生み出します。^{[ 5 ]}

勾配と発散は内積のみを必要とするが、回転と外積は座標系の左右対称性も考慮する必要がある。

ベクトル解析は、内積（またはより一般的には対称非退化形式）と向きを持つ他の 3 次元実ベクトル空間上で定義できます。これは、座標系（参照フレーム）を必要としないため、ユークリッド空間への同型写像よりもデータが少なく、ベクトル解析が回転に対して不変であるという事実（特殊直交群SO(3)）を反映しています。

より一般的に言えば、ベクトル解析は任意の3次元の向き付けられたリーマン多様体、あるいはより一般的には擬リーマン多様体上で定義できます。この構造は、各点における接空間が内積（より一般的には対称非退化形式）と向きを持つこと、あるいはより大まかに言えば、対称非退化計量テンソルと向きを持つことを意味し、ベクトル解析が各点における接ベクトルによって定義されるため機能します。

解析結果のほとんどは、微分幾何学の手法を用いれば、より一般的な形で容易に理解できる。微分幾何学はベクトル解析の一部を構成する。勾配と発散は、勾配定理、発散定理、ラプラシアン（調和解析をもたらす）と同様に、他の次元にもすぐに一般化できるが、回転と外積はそれほど直接的に一般化できない。

一般的に、(3次元)ベクトル解析における様々な場は、一律にkベクトル場とみなされます。スカラー場は0ベクトル場、ベクトル場は1ベクトル場、擬ベクトル場は2ベクトル場、擬スカラー場は3ベクトル場です。高次元では、(0、1、n-1、n次元に対応するスカラー、ベクトル、擬ベクトル、擬スカラーといった追加の種類の場が存在するため、(擬)スカラーと(擬)ベクトルだけを扱うことはできません。

非退化形式を仮定すると、どの次元でもスカラー関数の勾配はベクトル場であり、ベクトル場の除算もスカラー関数ですが、ベクトル場の回転がベクトル場となるのは次元が 3 または 7 の場合のみです^{[ 6 ]} (そして、自明なことに、次元が 0 または 1 の場合)、また、外積が定義できるのも 3 または7次元の場合のみです (他の次元での一般化には、${\displaystyle n-1}$ベクトルを1つのベクトルに置き換えるか、あるいはより一般的な反対称双線形積である代替リー代数です。 gradとdivの一般化、およびcurlの一般化については、 Curl § Generalizationsで詳しく説明されています。簡単に言うと、ベクトル場のcurlは双ベクトル場であり、これは無限小回転の特別な直交リー代数として解釈できます。ただし、次元が異なるため、これはベクトル場と同一視することはできません。3次元では回転の次元は3ですが、4次元では回転の次元は6です（より一般的には${\displaystyle \textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}}$n次元における回転の次元）。

ベクトル解析には、重要な代替一般化が2つあります。1つ目は幾何代数で、ベクトル場の代わりにkベクトル場を用います（3次元以下の場合、すべてのkベクトル場はスカラー関数またはベクトル場と同一視できますが、高次元ではそうではありません）。これは、3次元に特有の、2つのベクトル場を入力としてベクトル場を出力する外積を、すべての次元に存在し、2つのベクトル場を入力として双ベクトル場（2ベクトル場）を出力する外積に置き換えます。この積は、ベクトル空間上の代数構造としてクリフォード代数（向きと非退化形式を持つ）を生成します。幾何代数は、主に物理学やその他の応用分野を高次元に一般化する際に用いられます。

2番目の一般化では、ベクトル場やk-ベクトル場の代わりに微分形式（k-共ベクトル場）を使用し、数学、特に微分幾何学、幾何トポロジー、調和解析で広く使用されており、特に向き付けられた擬リーマン多様体上のホッジ理論をもたらします。この観点から、grad、curl、divはそれぞれ0形式、1形式、2形式の外微分に対応し、ベクトル解析の重要な定理はすべてストークスの定理の一般形の特殊な場合です。^{[ 7 ]}

これら二つの一般化の観点から見ると、ベクトル解析は暗黙のうちに数学的に異なる対象を同一視するため、表現は単純化されるものの、根底にある数学的構造や一般化は不明瞭になる。幾何代数の観点から見ると、ベクトル解析は暗黙のうちにkベクトル場をベクトル場またはスカラー関数と同一視する。すなわち、0ベクトルと3ベクトルはスカラーと、1ベクトルと2ベクトルはベクトルと同一視される。微分形式の観点から見ると、ベクトル解析は暗黙のうちにk形式をスカラー場またはベクトル場と同一視する。すなわち、0形式と3形式はスカラー場と、1形式と2形式はベクトル場と同一視される。例えば、回転は自然にベクトル場または1形式を入力として受け取りますが、自然には2ベクトル場または2形式（したがって擬似ベクトル場）を出力として持ち、それをベクトル場として解釈します。これは、ベクトル場を直接ベクトル場に変換するのではなく、より高次元のベクトル場の回転がベクトル場を出力しないことに反映されています。

上記のスカラー場とベクトル場は、テンソル場の特殊な場合である。微分幾何学では、ベクトル場は多様体からの写像として定義される。${\textstyle M}$接束は、すべての接空間（各点につき1つの接空間）の非交和として定義される。${\textstyle M}$、

${\textstyle V:M\to TM,\ TM\equiv \bigsqcup _{p\in M}T_{p}M}$

同様に、コベクトル場は多様体からその余接束への写像である（上記の式と同様に定義されるが、を置き換える）。${\displaystyle T_{p}M}$と${\displaystyle T_{p}^{*}M}$) A${\displaystyle (p,q)}$テンソルは、テンソル積を取ることによって形成できます。${\displaystyle (p,0)}$テンソルと${\displaystyle (0,q)}$テンソルは、それ自体は、${\displaystyle p}$- そして${\displaystyle q}$それぞれベクトルと共ベクトルの- 重テンソル積。したがって、${\displaystyle (p,q)}$テンソル場は多様体から束への写像である${\displaystyle p}$- そして${\displaystyle q}$接空間と余接空間（それぞれベクトルと余ベクトルが属する空間）の重畳テンソル積。

${\displaystyle T:M\to \bigsqcup _{x\in M}\bigotimes _{j=1}^{p}T_{p}M\bigotimes _{i=1}^{q}T_{p}^{*}M}$

この一般化により、上で定義されたスカラー場とベクトル場は単に${\displaystyle (0,0)}$そして${\displaystyle (1,0)}$テンソル場。