勾配

ベクトル解析では、複数の変数のスカラー値の微分可能関数の勾配は、ある点におけるその値が方向と最も速い増加率を与えるベクトル場（またはベクトル値関数）です。勾配は、 の変数空間の基底の変更の下でベクトルのように変換されます。関数の勾配が点 でゼロでない場合、勾配の方向は関数が から最も速く増加する方向であり、勾配の大きさはその方向の増加率、つまり最大の絶対方向導関数です。^[1]さらに、勾配がゼロベクトルである点は、定常点として知られています。したがって、勾配は最適化理論で基本的な役割を果たし、勾配降下法によって関数を最小化するために使用されます。座標フリーの用語では、関数の勾配は次のように定義できます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \nabla f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} }$$

ここで、 は微小変位 に対する における全微小変化であり、が勾配 の方向にあるときに最大となることがわかります。逆三角形として書かれ「デル」と発音されるナブラ記号は、ベクトル微分演算子を表します。 ${\displaystyle df}$${\displaystyle f}$${\displaystyle d\mathbf {r} }$${\displaystyle d\mathbf {r} }$${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle \nabla}$

基底ベクトルが位置の関数ではない座標系が使用される場合、勾配はベクトル[ ^a]で与えられ、その成分はにおけるの偏微分である。^[2]つまり、 の場合、その勾配はn次元空間の点でベクトル^{[b]として定義される。}${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \nabla f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p=(x_{1},\ldots,x_{n})}$

$${\displaystyle \nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.}$$

勾配の上記の定義は、 がで微分可能な場合にのみ関数に対して定義されることに注意してください。偏微分があらゆる方向に存在するが微分不可能な関数が存在する可能性があります。さらに、偏微分のベクトルとしてのこの定義は、座標系の基底が正規直交である場合にのみ有効です。他の基底の場合は、その点における計量テンソルを考慮する必要があります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$

例えば、関数 は、である原点ではどの方向にも偏導関数が明確に定義されているにもかかわらず、接平面が明確に定義されていないため、原点で微分可能ではありません。^[3]この特定の例では、xy座標系の回転により、上記の勾配の式はベクトルのように変換できず（勾配は座標系の基底の選択に依存する）、方向によっては「最も急な上昇」を指すこともできません。勾配の式が成り立つ微分可能関数の場合、基底の変換により常にベクトルとして変換され、常に最速の増加を指すことが示されます。 ${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}$${\displaystyle f(0,0)=0}$

勾配は全微分 と双対です。つまり、ある点における勾配の値は接ベクトル（各点におけるベクトル）であり、ある点における微分値は余接ベクトル（ベクトル上の線型関数）です。 [ c ^]これらは、ある点におけるの勾配と別の接ベクトルとのドット積が、に沿った関数の におけるの方向微分、つまり に等しいという点で関連しています。勾配は、多様体上のより一般的な関数に複数の一般化が可能です。§ 一般化を参照してください。 ${\displaystyle df}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\textstyle \nabla f(p)\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}(p)=df_{p}(\mathbf {v} ) }$

温度がスカラー場Tによって与えられる部屋を考えてみましょう。各点( x , y , z )の温度は、時間に関係なくT ( x , y , z )です。部屋の各点におけるTの勾配は、温度が最も速く上昇する方向、つまり( x , y , z )から離れる方向を示します。勾配の大きさによって、その方向で温度が上昇する速度が決まります。

点( x , y )における海抜の高さがH ( x , y )である表面を考えます。ある点におけるHの勾配は、その点における最も急な傾斜または勾配の方向を指す平面ベクトルです。その点における傾斜の急峻さは、勾配ベクトルの大きさによって決まります。

勾配は、ドット積を取ることで、最も大きな変化の方向だけでなく、他の方向でのスカラー場の変化を測定するのにも使用できます。丘の最も急な傾斜が 40% であるとします。まっすぐに上り坂になっている道路の傾斜は 40% ですが、丘を斜めに迂回している道路の傾斜は緩やかになります。たとえば、道路が上り坂の方向から 60° の角度にある場合 (両方の方向を水平面に投影した場合)、道路に沿った傾斜は勾配ベクトルと道路に沿った単位ベクトルのドット積になります。ドット積は、道路に沿った単位ベクトルが最も急な傾斜にどれだけ一致しているかを測定するものであり、^{[d]は 60° の}コサインの 40% 倍、つまり 20% です。

より一般的には、丘の高さ関数Hが微分可能であれば、単位ベクトルで点線で囲まれたH の勾配は、ベクトルの方向における丘の傾斜、つまり単位ベクトルに沿った Hの方向微分を与えます。

点における関数の勾配は通常 と表記されます。次のいずれかで表されることもあります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \nabla f(a)}$

• ${\displaystyle {\vec {\nabla }}f(a)}$ : 結果のベクトル性質を強調します。
• ${\displaystyle \operatorname {grad} f}$
• ${\displaystyle \partial _{i}f}$および:アインシュタイン表記法 で書かれ、繰り返されるインデックス ( i ) が合計されます。${\displaystyle f_{i}}$

スカラー関数f ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , …, x _n )の勾配 (または勾配ベクトル場) は、 ∇ fまたは∇ → fで表されます。 ここで、∇ ( nabla ) はベクトル微分演算子delを表します。grad fという表記も、勾配を表すためによく使用されます。 f の勾配は、各点xにおける任意のベクトル vとのドット積がv に沿ったfの方向微分となる一意のベクトル場として定義されます。つまり、

$${\displaystyle {\big (}\nabla f(x){\big )}\cdot \mathbf {v} =D_{\mathbf {v} }f(x)}$$

ここで、右辺は方向微分であり、それを表現する方法は多数あります。正式には、微分は勾配と 双対です。微分との関係を参照してください。

関数が時間などのパラメータにも依存する場合、勾配は単にその空間導関数のベクトルのみを指すことが多いです ( 「空間勾配」を参照)。

勾配ベクトルの大きさと方向は特定の座標表現に依存しない。^{[4] [5]}

ユークリッド計量を持つ3次元直交座標系では、勾配が存在する場合、勾配は次のように表される。

$${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,}$$

ここで、i、j、k はそれぞれx、y、z座標方向の標準単位ベクトルです。たとえば、関数の勾配は 次のように なります 。$${\displaystyle f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)}$$$${\displaystyle \nabla f(x,y,z)=2\mathbf {i} +6y\mathbf {j} -\cos(z)\mathbf {k} .}$$$${\displaystyle \nabla f(x,y,z)={\begin{bmatrix}2\\6y\\-\cos z\end{bmatrix}}.}$$

いくつかのアプリケーションでは、勾配をその成分の直角座標系の行ベクトルまたは列ベクトルとして表すのが慣例です。この記事では、勾配が列ベクトル、導関数が行ベクトルであるという慣例に従います。

ユークリッド計量を持つ円筒座標では、勾配は次のように表される: ^[6]

$${\displaystyle \nabla f(\rho ,\varphi ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\ rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{ z},}$$

ここで、ρは軸距離、φは方位角、zは軸座標、e _ρ、e _φ、e _zは座標方向を指す単位ベクトルです。

球面座標では、勾配は次のように表される: ^[6]

$${\displaystyle \nabla f(r,\theta ,\varphi )={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi },}$$

ここで、rは半径距離、φは方位角、θ は極角であり、e _r、e _θ、e _{φ は}座標方向を指す局所単位ベクトル（つまり、正規化された共変基底）です。

他の直交座標系における勾配については、「直交座標（3次元の微分演算子）」を参照してください。

一般座標をx ¹、…、x ⁱ、…、x ⁿと書きます。ここで、 n はドメインの次元数です。ここで、上側のインデックスは、座標またはコンポーネントのリスト内の位置を参照するため、x ^{2 は、量}x の2 乗ではなく、2 番目のコンポーネントを参照します。インデックス変数i は、任意の要素x ⁱを参照します。アインシュタイン表記法を使用すると、勾配は次のように記述できます。

$${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}\mathbf {e} _{j}}$$（その双対はであることに注意）、 ${\textstyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} ^{i}}$

ここで、 および はそれぞれ正規化されていない局所共変基底と反変基底を参照し、は逆計量テンソルであり、アインシュタインの総和規則はi とjにわたる総和を意味します。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\partial \mathbf {x} /\partial x^{i}}$${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\mathrm {d} x^{i}}$${\displaystyle g^{ij}}$

座標が直交している場合は、スケール係数（ラメ係数とも呼ばれる）を使用して、勾配（および微分）を正規化された基底（およびと呼ぶ） で簡単に表すことができ ます  。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{i}}$${\displaystyle h_{i}=\lVert \mathbf {e} _{i}\rVert ={\sqrt {g_{ii}}}=1\,/\lVert \mathbf {e} ^{i}\rVert }$

$${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}{\sqrt {g_{jj}}}=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} _{i}}$$（そして）、 ${\textstyle \mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} ^{i}}$

ここで、2 つ以上のインデックスの繰り返しを避けることは不可能なので、アインシュタイン表記法は使用できません。上限と下限のインデックスを使用しているにもかかわらず、、、およびは反変でも共変でもありません。 ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} ^{i}}$${\displaystyle h_{i}}$

後者の式は、上記の円筒座標と球座標の式に評価されます。

勾配は全微分（全微分）と密接な関係があり、互いに転置（双対）しています。 のベクトルは列ベクトルで表され、共ベクトル（線形写像）は行ベクトルで表されるという規則を使用すると、^[a]勾配と微分は、それぞれ同じ成分を持ちながら互いに転置された列ベクトルと行ベクトルとして表されます。 ${\displaystyle df}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \nabla f}$${\displaystyle df}$

$${\displaystyle \nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}};}$$ $${\displaystyle df_{p}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.}$$

これらは両方とも同じ要素を持っていますが、どのような数学的対象を表しているかが異なります。各点において、導関数は余接ベクトル、つまり (スカラー) 出力が (ベクトル) 入力の与えられた微小な変化に対してどれだけ変化するかを表す線形形式(または共ベクトル) です。一方、各点において、勾配は接ベクトル、つまり (ベクトル) 入力の微小な変化を表します。記号では、勾配は点 における接空間の要素であり、導関数は接空間から実数 への写像です。の各点における接空間は、ベクトル空間自体と「自然に」同一視^[e]することができ、同様に、各点における余接空間は、共ベクトルの双対ベクトル空間と自然に同一視することができます。したがって、点における勾配の値は、単なる接ベクトルとしてではなく、元の におけるベクトルと考えることができます。 ${\displaystyle \nabla f(p)\in T_{p}\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle df_{p}\colon T_{p}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{*}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

計算的には、接線ベクトルが与えられた場合、そのベクトルに導関数（行列として）を掛けることができます。これは、勾配との ドット積を取ることと同じです。$${\displaystyle (df_{p})(v)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)v_{i}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\nabla f(p)\cdot v}$$

の点における微分可能関数への最良の線形近似は 、から への線形写像であり、これはしばしばまたはで表され、におけるの微分または全微分と呼ばれます。に写像される関数 は、の全微分または外微分と呼ばれ、微分 1 形式の例です。 $${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle df_{x}}$${\displaystyle Df(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle df}$${\displaystyle x}$${\displaystyle df_{x}}$${\displaystyle f}$

単一変数関数の微分が関数のグラフの接線の傾きを表すのと同様に、[ 7 ]複数^変数関数の方向微分はベクトルの方向の 接線超平面の傾きを表します。

勾配は、任意の に対して次式によって微分と関連しています 。ここで はドット積です。ベクトルと勾配のドット積を取ることは、ベクトルに沿って方向微分を取ることと同じです。 $${\displaystyle (\nabla f)_{x}\cdot v=df_{x}(v)}$$${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \cdot }$

を（次元）の列ベクトル（実数）の空間と見なすと、 を要素 を持つ行ベクトルと 見なすことができ 、 は行列の乗算によって与えられます。 の標準ユークリッド計量を想定すると、勾配は対応する列ベクトル、つまり、 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle df}$$${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right),}$$${\displaystyle df_{x}(v)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle (\nabla f)_{i}=df_{i}^{\mathsf {T}}.}$$

関数への最良の線形近似は、導関数ではなく勾配で表現できます。の任意の特定の点におけるユークリッド空間から への関数 の勾配は、におけるへの最良の線形近似を特徴付けます。近似は次のようになります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$

$${\displaystyle f(x)\approx f(x_{0})+(\nabla f)_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})}$$

に対して に近い値であり、 はで計算されたの勾配、ドットは 上のドット積を表します。この式はにおけるの多変数テイラー級数展開の最初の 2 つの項に相当します。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle (\nabla f)_{x_{0}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$

U をR ⁿの開集合とする。関数f  : U → Rが微分可能であれば、 fの微分はfのフレシェ微分である。したがって、∇ f はUから空間R ⁿへの関数であり、 · はドット積である。 $${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {|f(x+h)-f(x)-\nabla f(x)\cdot h|}{\|h\|}}=0,}$$

結果として、勾配は微分そのものではなく、むしろ微分の双対であるにもかかわらず、微分の通常の特性は勾配にも当てはまります。

直線性

勾配は線形であり、fとgが点a∈Rnで微分可能な2つの実数値関数であり、 αとβが2つ^の定数である場合、αf + βgはaで微分可能であり、さらに$${\displaystyle \nabla \left(\alpha f+\beta g\right)(a)=\alpha \nabla f(a)+\beta \nabla g(a).}$$

積のルール

fとg が点a ∈ R ⁿで微分可能な実数値関数である場合、積の法則は積fg がaで微分可能であることを主張し、$${\displaystyle \nabla (fg)(a)=f(a)\nabla g(a)+g(a)\nabla f(a).}$$

チェーンルール

f  : A → R がR ⁿのサブセットA上で定義された実数値関数であり、f が点aで微分可能であるとします。勾配に適用される連鎖律には 2 つの形式があります。まず、関数gがパラメトリック曲線であるとします。つまり、関数g  : I → R ^{n は}サブセットI ⊂ RをR ⁿに写します。gが点c ∈ Iで微分可能で、 g ( c ) = aである場合、 ∘ は合成演算子です: ( f  ∘  g )( x ) = f ( g ( x ))。$${\displaystyle (f\circ g)'(c)=\nabla f(a)\cdot g'(c),}$$

より一般的には、I ⊂ R ^kの場合には、次が成り立ちます。 ここで、( Dg ) ^{T は}転置ヤコビ行列を表します。 $${\displaystyle \nabla (f\circ g)(c)={\big (}Dg(c){\big )}^{\mathsf {T}}{\big (}\nabla f(a){\big )},}$$

連鎖律の2番目の形式では、h  : I → RがRの部分集合I上の実数値関数であり、hが点f ( a ) ∈ Iで微分可能であると仮定します。 $${\displaystyle \nabla (h\circ f)(a)=h'{\big (}f(a){\big )}\nabla f(a).}$$

等値面または等値面は、ある関数が特定の値を持つすべての点の集合です。

fが微分可能であれば、点xにおける勾配とベクトルvとのドット積(∇ f  ) _x ⋅ v は、方向vにおけるxにおけるfの方向微分を与えます。したがって、この場合、fの勾配はfの準位集合に直交します。たとえば、3次元空間の水平面は、 F ( x , y , z ) = cという形式によって定義されます。この場合、 Fの勾配は表面に対して垂直になります。

より一般的には、リーマン多様体内の任意の埋め込まれた 超曲面は、 dFがゼロにならないようなF ( P ) = 0の形式の方程式によって切り取ることができます。この場合、 Fの勾配は超曲面に対して垂直になります。

同様に、アフィン代数超曲面は方程式F ( x ₁ , ..., x _n ) = 0で定義されます。ここで、Fは多項式です。Fの勾配は、超曲面の特異点ではゼロです (これが特異点の定義です)。非特異点では、非ゼロの法線ベクトルになります。

関数の勾配は勾配場と呼ばれます。(連続)勾配場は常に保存ベクトル場です。つまり、任意のパスに沿った線積分はパスの端点のみに依存し、勾配定理(線積分に関する微積分学の基本定理)によって評価できます。逆に、(連続)保存ベクトル場は常に関数の勾配です。

点xにおける関数の勾配は、最も急な上昇の方向でもあります。 つまり、方向微分が最大になります。${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

を任意の単位ベクトルとする。方向微分は次のように定義される。 ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \nabla _{v}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+vh)-f(x)}{h}},}$$

関数をそのテイラー級数に置き換えると、 ${\displaystyle f(x+vh)}$

$${\displaystyle \nabla _{v}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(f(x)+\nabla f\cdot vh+R)-f(x)}{h}},}$$

ここで はの高次項を表します。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle vh}$

を で割って極限をとると、コーシー・シュワルツの不等式^[8]によって上から制限される項が得られる。${\displaystyle h}$

$${\displaystyle |\nabla _{v}f(x)|=|\nabla f\cdot v|\leq |\nabla f||v|=|\nabla f|.}$$

を選択すると方向微分が最大になり、上限に等しくなります。 ${\displaystyle v^{*}=\nabla f/|\nabla f|}$

$${\displaystyle |\nabla _{v^{*}}f(x)|=|(\nabla f)^{2}/|\nabla f||=|\nabla f|.}$$

ヤコビ行列は、複数の変数のベクトル値関数とユークリッド空間間、より一般的には多様体間の微分可能写像の勾配を一般化したものである。^{[9] [10]}バナッハ空間 間の関数のさらなる一般化はフレシェ微分である。

f  : R ⁿ → R ^mが、その1階偏微分がそれぞれℝ ⁿ上に存在する関数であるとします。すると、 fのヤコビ行列はm × n行列として定義され、または単にと表記されます。( i , j )番目の要素は です。明示的に ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbb {f} }(\mathbb {x} )}$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\textstyle \mathbf {J} _{ij}={\partial f_{i}}/{\partial x_{j}}}$$${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathsf {T}}f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathsf {T}}f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.}$$

ベクトル場の全微分はベクトルからベクトルへの線形写像なので、テンソル量です。

直交座標では、ベクトル場f = (  f ¹ , f ² , f ³ )の勾配は次のように定義されます。

$${\displaystyle \nabla \mathbf {f} =g^{jk}{\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},}$$

（ここでアインシュタインの和記法が使用され、ベクトルe _iとe _kのテンソル積は（2,0）型の二項テンソルです）。全体として、この式はヤコビ行列の転置に等しくなります。

$${\displaystyle {\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}={\frac {\partial (f^{1},f^{2},f^{3})}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}.}$$

曲線座標、またはより一般的には曲線多様体上では、勾配にはクリストッフェル記号が含まれます。

$${\displaystyle \nabla \mathbf {f} =g^{jk}\left({\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}+{\Gamma ^{i}}_{jl}f^{l}\right)\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},}$$

ここで、g ^{jk は}逆計量テンソルの成分であり、e _{i は}座標基底ベクトルです。

より不変的に表現すると、ベクトル場fの勾配はレヴィ・チヴィタ接続と計量テンソルによって定義できる。 ^[11]

$${\displaystyle \nabla ^{a}f^{b}=g^{ac}\nabla _{c}f^{b},}$$

ここで∇c_は接続です。

リーマン多様体( M , g )上の任意の滑らかな関数 fに対して、 fの勾配は任意のベクトル場Xに対してとなるベクトル場∇ fです。 つまり、 g _x ( , )は計量gによって定義されるx における接ベクトルの内積を表し、∂ _X f は任意の点x ∈ Mをxで評価した方向Xの方向微分fにする関数です。言い換えると、Mの開集合からR ⁿの開集合への座標チャートφでは、(∂ _X f  )( x ) は次のように与えられます。 ここで、X ^jは、この座標チャートの Xのj番目の成分を表します。$${\displaystyle g(\nabla f,X)=\partial _{X}f,}$$$${\displaystyle g_{x}{\big (}(\nabla f)_{x},X_{x}{\big )}=(\partial _{X}f)(x),}$$   $${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}X^{j}{\big (}\varphi (x){\big )}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(f\circ \varphi ^{-1}){\Bigg |}_{\varphi (x)},}$$

したがって、勾配のローカル形式は次の形式になります。

$${\displaystyle \nabla f=g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\textbf {e}}_{i}.}$$

M = R ^{n の}場合を一般化すると、関数の勾配はその外微分と関連します。 より正確には、勾配∇ f は、計量gによって定義される音楽同型 （「シャープ」と呼ばれる）を使用して微分 1 形式dfに関連付けられたベクトル場です。 R ⁿ上の関数の外微分と勾配の関係は、計量がドット積によって与えられる平坦な計量である場合の特殊なケースです。 $${\displaystyle (\partial _{X}f)(x)=(df)_{x}(X_{x}).}$$ $${\displaystyle \sharp =\sharp ^{g}\colon T^{*}M\to TM}$$

ウィキメディア・コモンズには、勾配場に関連するメディアがあります。

• カール – ベクトル場における循環密度
• 発散 – ベクトル計算におけるベクトル演算子
• 4 勾配 – 勾配演算の 4 ベクトル類似物
• ヘッセ行列 – （数学的）2次導関数の行列
• 傾斜グラデーション
• 空間勾配 – 成分が空間微分である勾配

^[1]

• バックマン、デイビッド（2007年）、Advanced Calculus Demystified、ニューヨーク：McGraw-Hill、ISBN 978-0-07-148121-2
• ボーリガード、レイモンド A.; フレイリー、ジョン B. (1973)、『線形代数の入門：群、環、体へのオプション入門』、ボストン：ホートン・ミフリン社、ISBN 0-395-14017-X
• ダウニング、ダグラス、Ph.D. (2010)、Barron's EZ Calculus、ニューヨーク：Barron's、ISBN 978-0-7641-4461-5{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Dubrovin, BA; Fomenko, AT; Novikov, SP (1991)。現代幾何学—方法と応用: パート I: 曲面、変換群、および体の幾何学。数学大学院テキスト(第 2 版)。Springer。ISBN 978-0-387-97663-1。
• ハーパー、チャーリー（1976）、数理物理学入門、ニュージャージー：プレンティスホール、ISBN 0-13-487538-9
• クレイシグ、アーウィン（1972）、Advanced Engineering Mathematics（第3版）、ニューヨーク：Wiley、ISBN 0-471-50728-8
• 「マグロウヒル科学技術百科事典」。マグロウヒル科学技術百科事典（第 10 版）。ニューヨーク：マグロウヒル。2007 年。ISBN 978-0-07-144143-8。
• モイーズ、エドウィン E. (1967)、微積分学：完全版、読み物：Addison-Wesley
• プロッター、マレー H.; モリー、チャールズ B. ジュニア (1970)、大学微積分学と解析幾何学(第 2 版)、読書: Addison-Wesley、LCCN  76087042
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• コーン、テレサ M. ; コーン、グラニーノ アーサー (2000)。科学者とエンジニアのための数学ハンドブック: 参照とレビューのための定義、定理、公式。ドーバー出版。pp. 157–160。ISBN 0-486-41147-8. OCLC  43864234.

無料辞書『ウィクショナリー』でグラデーションを調べてください。

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