まで

2つの数学的対象 aとbは「同値関係Rまで等しい」と呼ばれる。

• aとbがRによって関連している場合、つまり、
• aRbが成り立つ場合、つまり、
• Rに関するaとbの同値類が等しい場合。

この比喩表現は、一意性やカウントなど、等価性から派生した表現に関連して主に使用されます。たとえば、「x はRまで一意である」は、検討中のすべてのオブジェクトx が関係Rに関して同じ同値クラスにあることを意味します。

さらに、同値関係Rは、生成条件または変換によってむしろ暗黙的に示されることが多い。たとえば、「整数の素因数分解は順序付けを除いて一意である」という文は、与えられた整数の任意の 2 つの素因数リストは、2 つのリストを関連付ける関係Rに関して、一方が他方を並べ替える (入れ替える)ことによって得られる場合に同値である、ということを簡潔に述べたものである。 ^[1]別の例として、「不定積分の解は、定数の加算を除いてsin( x )である」という文は、差f − gが定数関数である場合にfRgによって定義される関数間の同値関係R を暗黙的に採用しており、解と関数sin( x )がこのRまで等しいことを意味している。図の「回転まで 4 つの分割がある」とは、 b がaから回転によって得られる場合、集合P にはRに関してaRbによって定義される4 つの同値クラスがあるということであり、各クラスから 1 つの代表が図の左下部分に表示されている。

同値関係は、オブジェクトの可能性のある違いを無視するためによく使用されるため、「Rまで」は非公式には「 R が無視するのと同じ微妙な点を無視する」と理解できます。因数分解の例では、「順序まで」は「特定の順序を無視する」ことを意味します。

その他の例としては、「同型まで」、「順列まで」、「回転まで」などがあります。これらについては、「例」のセクションで説明します。

非公式の文脈では、数学者は「モジュロ同型性」のように、同様の目的で modulo (または単にmod )という単語をよく使用します。

回転、反射、順列などのグループアクションによって定義された同値関係を除いて異なるオブジェクトは、バーンサイドの補題またはその一般化であるポリア列挙定理を使用して数えることができます。

数学的にはテトリスと呼ばれる7 つのテトリスピース (I、J、L、O、S、T、Z)について考えてみましょう。これらのピースの可能な回転をすべて考えると (たとえば、垂直方向の「I」を水平方向の「I」とは別物と考えると)、画面に表示される可能性のある形状は 19 種類あることがわかります (この 19 種類は、いわゆる「固定」テトリミノです。^[2] )。しかし、回転を別物と見なさないとすると (つまり、「垂直方向の I」と「水平方向の I」の両方を「I」として区別せずに扱うと)、7 種類しかありません。「回転を除けば、テトリミノは7 種類ある」と言います。また、「回転と反射を除けば、テトリミノは 5 種類ある」と言うこともできます。これは、反射された L が J になり、反射された S が Z になるという事実を説明しています。

8 つのクイーンのパズルでは、クイーンが別個であると考えられる場合 (たとえば、8 つの異なる色で着色されている場合)、3709440 通りの異なる解が存在します。ただし、通常はクイーンは交換可能とみなされ、「クイーンの順列を除いて3,709,440 / 8! = 92通りの固有の解が存在する」、または「クイーンの名前を法として 92 通りの解が存在する」と言われます。これは、占有されているマス目のセットが同じである限り、クイーンが順列されている場合、クイーンの 2 つの異なる配置は同等であると見なされることを意味します。

クイーンを同一として扱うことに加えて、盤の回転と反転が許可された場合、「対称性とクイーンの命名を除けば」12 の異なる解法しか存在しません。詳細については、「8 つのクイーンのパズル § 解法」を参照してください。

正n角形は、 nが固定されている場合、相似性を除いて一意です。言い換えると、正 n 角形 ( n が固定されている場合) の「相似性」同値関係には、同値クラスが1 つしかありません。つまり、互いに相似でない 2 つの正n角形を生成することは不可能です。

群論では、集合Xに作用する群 G がある場合、Xの 2 つの要素は同じ軌道上にある場合、「群作用を除いて」同値であると言えます。

もう 1 つの典型的な例は、「同型性を除いて、位数 4 の2 つの異なるグループが存在する」、または「同型性を法として、位数 4 の 2 つのグループが存在する」というステートメントです。これは、同型グループを「同等」と見なす場合、位数 4 のグループの同値クラスは 2 つしかないこと を意味します。

超実数 xとその標準部分 st( x )は、無限小差を除いて等しい。

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