ブラウン運動

ブラウン運動は、媒体（液体または気体）中に浮遊する粒子のランダムな運動である。^[2]

この運動パターンは、典型的には、流体サブドメイン内の粒子の位置のランダムな変動と、それに続く別のサブドメインへの再配置から構成される。各再配置の後には、新しい密閉体積内でのさらなる変動が続く。このパターンは、所定の温度で定義される熱平衡にある流体を記述する。このような流体内では、流れの優先方向は存在しない（輸送現象の場合のように）。より具体的には、流体の全体的な線形運動量と角運動量は、時間が経ってもゼロのままである。分子のブラウン運動の運動エネルギーは、分子の回転と振動の運動エネルギーとともに、流体の内部エネルギーの熱量成分に加算される（等分配定理）。^[要出典]

この運動は、 1827年に水に浸したClarkia pulchellaという植物の花粉を顕微鏡で観察した際に初めてこの現象を説明したスコットランドの植物学者ロバート・ブラウンにちなんで名付けられました。1900年にフランスの数学者ルイ・バシュリエは、アンリ・ポアンカレの指導の下で準備した博士論文「思索の理論 (Théorie de la spéculation)」の中で、現在ブラウン運動と呼ばれる確率過程をモデル化しました。その後、1905年に理論物理学者アルバート・アインシュタインは、花粉粒子の動きが個々の水分子によって動かされるというモデル化した論文を発表し、これが彼の最初の大きな科学的貢献の1つとなりました。^[3]

原子衝撃の力の方向は常に変化しており、異なる時間で粒子は片側から他方よりも強く衝突するため、一見ランダムな動きのように見える。ブラウン運動のこの説明は、原子と分子が存在するという説得力のある証拠となり、1908年にジャン・ペランによって実験的にさらに検証された。ペリンは1926年に「物質の不連続構造に関する研究」によりノーベル物理学賞を受賞した。 ^[4]

ブラウン運動パターンを生み出す多体相互作用は、関係する分子すべてを考慮したモデルでは解くことができない。したがって、分子集団に適用された確率モデルのみがブラウン運動パターンを記述するために使用できる。^{[5]アインシュタインとスモルホフスキーによる}統計力学のそのようなモデルを2つ以下に紹介する。もう1つの純粋に確率的なモデルのクラスは、確率過程モデルである。より単純な確率過程とより複雑な確率過程の両方のシーケンスが存在し、それらは（限界では）ブラウン運動に収束する（ランダムウォークとドンスカーの定理を参照）。^{[6] [7]}

ローマの哲学者であり詩人であったルクレティウスの科学詩『事物の本質について』（紀元前 60年頃）には、第2巻の113～140節に塵粒子の動きに関する注目すべき記述がある。彼はこれを原子の存在の証明として用いている。

太陽光線が建物内に入り、その暗い場所を照らすと何が起こるか観察してください。無数の微粒子がさまざまな方法で混ざり合うのがわかります...それらのダンスは、私たちの目には見えない物質の根本的な動きを実際に示しています...それは、自ら動く原子から始まります[つまり、自発的に]。次に、原子の推進力から最も離れていない小さな複合物体が、目に見えない打撃の影響で動き始め、今度は少し大きな物体に衝突します。このように、動きは原子から大きくなり、徐々に私たちの感覚レベルに現れ、太陽光線で見られる物体は、目に見えない打撃によって動かされて動きます。

塵粒子の混ざり合ったり回転したりする運動は主に空気の流れによって引き起こされますが、小さな塵粒子のきらめきや揺れる運動は主に真のブラウン運動によって引き起こされます。ルクレティウスは「間違った例によってブラウン運動を完璧に描写し説明しています」。^[9]

ヤン・インゲンホウスは1785 年にアルコールの表面で石炭の 粉塵粒子が不規則に動くことを説明しましたが、この現象の発見は1827 年の植物学者ロバート・ブラウンによるものとされることが多いです。ブラウンは水中に浮かんだ植物クラークア・プルケラの花粉粒を顕微鏡で研究していたとき、花粉粒から放出された微粒子がぎくしゃく動くのを観察しました。無機物質の粒子で実験を繰り返すことで、その動きが生命に関係している可能性を排除できましたが、その原因はまだ解明されていませんでした。

ブラウン運動の背後にある数学を最初に記述したのは、 1880年に発表された最小二乗法に関する論文で、ソルヴァルド・N・ティーレでした。これに続いて、ルイ・バシュリエが1900年に博士論文「投機の理論」で株式市場とオプション市場の確率論的分析を発表しました。金融市場のブラウン運動モデルはよく引用されますが、ブノワ・マンデルブロは株価の動きが不連続であるという理由から、株価の動きにブラウン運動モデルを適用できないと主張しました。^[10]

アルバート・アインシュタイン（ 1905年の論文の1つ）とマリアン・スモルホフスキー（1906年）は、物理学者たちの注目を集め、原子と分子の存在を間接的に確認する方法としてそれを提示しました。ブラウン運動を記述する彼らの方程式は、その後1908年にジャン・バティスト・ペランの実験的研究によって検証されました。

アインシュタインの理論は2つの部分から成ります。第1の部分はブラウン運動粒子の拡散方程式の定式化で、拡散係数はブラウン運動粒子の平均二乗変位に関連し、第2の部分は拡散係数を測定可能な物理量に関連させます。^[11]このようにして、アインシュタインは原子の大きさと、気体1モルまたはグラム単位での分子量に含まれる原子の数を決定することができました。 ^[12]アボガドロの法則によれば、この体積はすべての理想気体で同じであり、標準温度および圧力で22.414リットルです。この体積に含まれる原子の数はアボガドロ数と呼ばれ、この数を決定することは原子の質量を知ることに等しく、原子の質量は気体のモル質量をアボガドロ定数で割ることで得られるためです。

アインシュタインの議論の最初の部分は、ブラウン運動粒子が与えられた時間間隔でどれだけの距離を移動するかを決定することでした。^{[3]ブラウン運動粒子が受ける衝撃の数は膨大で、1秒間におよそ10 14 回}の衝突が発生するため、古典力学ではこの距離を決定することができません。^[2]

彼は、1 次元 ( x ) 空間 (座標は、原点が粒子の初期位置になるように選択)における時間における粒子位置の増分を、何らかの確率密度関数(つまり、は大きさのジャンプの確率密度、つまり、時間間隔 で粒子の位置が から に増加する確率密度)を持つランダム変数( ) とみなしました。さらに、粒子数の保存を仮定して、時間 における数密度( の周りの単位体積あたりの粒子数)をテイラー級数に展開しました。ここで、 2 番目の等式は の定義により得られます。確率の定義により、第 1 項の積分は1 に等しく、第 2 項およびその他の偶数項 (つまり、第 1 モーメント およびその他の奇数モーメント) は空間対称性により消失します。残ったものから次の関係式が生まれます。 ここで、ラプラシアン の後の係数、つまり変位確率の第 2 モーメントは、質量拡散率Dと解釈されます。 すると、時間tにおける点xでの ブラウン運動粒子の密度ρは、拡散方程式を満たします。 ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \varphi (q)}$${\displaystyle \varphi (q)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x+q}$${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle \rho (x,t+\tau )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t+\tau }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,t+\tau )={}&\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x,t)}{\partial t}}+\cdots \\[2ex]={}&\int _{-\infty }^{\infty }\rho (xq,t)\,\varphi (q)\,dq=\mathbb {E} _{q}{\left[\rho (xq,t)\right]}\\[1ex]={}&\rho (x,t)\,\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (q)\,dq-{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\,\int _{-\infty }^{\infty }q\,\varphi (q)\,dq+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\,\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2}}\varphi (q)\,dq+\cdots \\[1ex]={}&\rho (x,t)\cdot 1-0+{\cfrac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\,\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2}}\varphi (q)\,dq+\cdots \end{aligned}}}$$${\displaystyle \varphi}$$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2\tau }}\varphi (q)\,dq+{\text{higher-order even moments.}}}$$${\displaystyle q}$ $${\displaystyle D=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2\tau }}\varphi (q)\,dq.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D\cdot {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},}$$

N個の粒子が初期時間t = 0に原点から出発すると仮定すると、拡散方程式の解は次のようになります 。 この式 (これは平均と分散を持つ正規分布で、通常はブラウン運動と呼ばれます) により、アインシュタインはモーメントを直接計算することができました。最初のモーメントは消えるように見えます。つまり、ブラウン運動粒子は左に動く可能性も右に動く可能性も同じです。しかし、2 番目のモーメントは消えず、次の式で与えられます。 この式は、経過時間と拡散率に関して平均二乗変位を表します。この式から、アインシュタインはブラウン運動粒子の変位は経過時間に比例するのではなく、その平方根に比例すると主張しました。^[11]彼の主張は、ブラウン運動粒子の「集団」から「単一の」ブラウン運動粒子への概念的な転換に基づいています。つまり、ブラウン運動粒子が特定の点に到達するのにかかる時間と同様に、ある瞬間の粒子の相対的な数について話すことができます。^[13]$${\displaystyle \rho (x,t)={\frac {N}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp {\left(-{\frac {x^{2}}{4Dt}}\right)}.}$$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma ^{2}=2Dt}$${\displaystyle B_{t}}$$${\displaystyle \mathbb {E} {\left[x^{2}\right]}=2Dt.}$$

アインシュタインの理論の 2 番目の部分は、拡散定数を、特定の時間間隔における粒子の平均二乗変位などの物理的に測定可能な量に関連付けます。この結果により、アボガドロ数を実験的に決定し、分子のサイズを決定できます。アインシュタインは、反対の力の間で確立される動的平衡を分析しました。彼の議論の優れた点は、最終結果が動的平衡を確立するのにどの力が関与しているかに依存しないという点です。

アインシュタインは当初、浸透圧実験を検討しましたが、他の方法でも同じ結論に達することができます。

たとえば、重力場にある粘性流体に浮遊する粒子について考えてみましょう。重力は粒子を沈降させる傾向がありますが、拡散は粒子を均質化するように作用し、粒子をより低濃度の領域に追い込みます。重力の作用下で、粒子は下向きの速度v = μmgを獲得します。ここで、 mは粒子の質量、gは重力による加速度、μ は流体中の粒子の移動度です。ジョージ・ストークスは、半径rの球形粒子の移動度は であり、η は流体の動粘性であることを示しました。動的平衡の状態では、等温流体の仮説の下で、粒子は気圧分布に従って分布します。 ここで、 ρ − ρ _oは、高さの差 で分離された粒子の密度の差、k B_はボルツマン定数（気体定数Rとアボガドロ定数N _Aの比）、Tは絶対温度です。 ${\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{6\pi \eta r}}}$ $${\displaystyle \rho =\rho _{o}\,\exp \left({-{\frac {mgh}{k_{\text{B}}T}}}\right),}$$${\displaystyle h=z-z_{o}}$

動的平衡は、粒子が重力によって引き下げられるほど、粒子がより低濃度の領域に移動する傾向が強くなるため成立する。フラックスはフィックの法則によって与えられ、 J = ρv である。ρの式を導入すると、次の式がわかる。 $${\displaystyle J=-D{\frac {d\rho }{dh}},}$$$${\displaystyle v={\frac {Dmg}{k_{\text{B}}T}}.}$$

動的平衡状態では、この速度はv = μmgにも等しくなければなりません。vの両方の式はmgに比例し、微分は考慮する力の種類に依存しないことを反映しています。同様に、mg を静電力qEに置き換えると、大きさEの均一な電場における電荷qの同一の荷電粒子に対する同等の式を導くことができます。これら 2 つの式を等しくすると、 mgやqEなどの力 とは無関係に、拡散率に関するアインシュタインの関係式が得られます。 ここで、最初の等式はアインシュタインの理論の最初の部分から得られ、3 番目の等式はk _B = R / N _Aとしてのボルツマン定数の定義から得られ、4 番目の等式はストークスの移動度に関する式から得られます。時間間隔にわたる平均二乗変位を普遍気体定数R、温度T、粘度η、および粒子半径rとともに測定することにより、アボガドロ定数N _{A を}決定できます。 $${\displaystyle {\frac {\mathbb {E} {\left[x^{2}\right]}}{2t}}=D=\mu k_{\text{B}}T={\frac {\mu RT}{N_{\text{A}}}}={\frac {RT}{6\pi \eta rN_{\text{A}}}}.}$$

アインシュタインが提唱した動的平衡のタイプは新しいものではありませんでした。1903年 5 月にイェール大学でJJ トムソン^[14]が行った一連の講義で、フィックの法則で与えられる濃度勾配によって生成される速度と、イオンが運動するときに生じる分圧の変化による速度との間の動的平衡は、「分子の形状や大きさ、または分子が互いに作用する方法に関する仮説とは無関係にアボガドロ定数を決定する方法を与える」と指摘していました。^[14]

アインシュタインの拡散係数の公式と同一の表現は、1888 年にヴァルター ネルンストによっても見出されました^[15]。ネルンストは、拡散係数を浸透圧と摩擦力およびそれがもたらす速度の比として表しました。前者はファントホッフの法則と同一視され、後者はストークスの法則によって与えられました。ネルンストは拡散係数k′について次のように書きました。ここで は浸透圧、k は摩擦力と分子粘性の比であり、ストークスの粘性公式によって与えられるとネルンストは仮定しています。浸透圧に対して単位体積あたりの理想気体の法則を導入すると、この式はアインシュタインのものと同一になります^[16] 。ネルンストの場合、およびアインシュタインとスモルホフスキーの場合におけるストークスの法則の使用は、球の半径が平均自由行程に比べて小さい場合には適用されないため、厳密には適用できません。^[17]${\displaystyle k'=p_{o}/k}$${\displaystyle p_{o}}$

当初、アインシュタインの式の予測は、1906年と1907年にスヴェドベリが行った一連の実験によって反証されたように見えた。この実験では、粒子の変位が予測値の4～6倍と示され、1908年にはアンリがアインシュタインの式の予測値の3倍の変位を発見した。^[18]しかし、アインシュタインの予測は、1908年にショーデサイグが、1909年にペランが行った一連の実験によって最終的に確認された。アインシュタインの理論の確認は、熱の運動論の経験的進歩であった。本質的に、アインシュタインは、熱平衡の運動論モデルから運動を直接予測できることを示した。この理論の重要性は、熱力学の第二法則が本質的に統計的な法則であるという運動論の説明を確認したという事実にあった。^[19]

スモルホフスキーのブラウン運動理論^[20]はアインシュタインの理論と同じ前提から出発し、時間tにおけるxに沿ったブラウン運動粒子の変位について同じ確率分布ρ ( x , t )を導出する。したがって、平均二乗変位の式は次のようになる。 。しかし、ストークスの法則によって決まる摩擦力の結果である 速度uで運動する質量mの粒子に関連付けると、次の式が得られる。 ここで、μは粘性係数、a は粒子の半径である。運動エネルギーを熱エネルギーRT / Nと関連付けると、平均二乗変位の式はアインシュタインが求めた値の64/27倍になる。分数 27/64 については、アーノルド・ゾンマーフェルトがスモルホフスキーの死因研究で次のように述べている。「アインシュタインの数値係数はスモルホフスキーのものと 27/64 だけ異なるため、疑わしいとしか言​​えない。」^[21]${\displaystyle \mathbb {E} {\left[(\Delta x)^{2}\right]}}$$${\displaystyle \mathbb {E} {\left[(\Delta x)^{2}\right]}=2Dt=t{\frac {32}{81}}{\frac {mu^{2}}{\pi \mu a}}=t{\frac {64}{27}}{\frac {{\frac {1}{2}}mu^{2}}{3\pi \mu a}},}$$${\displaystyle mu^{2}/2}$

スモルホフスキー^[22]は、前方と後方の衝突確率が等しいのに、なぜブラウン運動粒子はより小さな粒子の衝突によって変位するのかという疑問に答えようと試みている。もしm回の利得とn − m回の損失の確率が二項分布に従い、 事前確率が1/2に 等しい場合、平均総利得は $${\displaystyle P_{m,n}={\binom {n}{m}}2^{-n},}$$$${\displaystyle \mathbb {E} {\left[2m-n\right]}=\sum _{m={\frac {n}{2}}}^{n}(2m-n)P_{m,n}={\frac {nn!}{2^{n}\left[\left({\frac {n}{2}}\right)!\right]^{2}}}.}$$

nが十分に大きく、スターリングの近似を次の形式で使用できる 場合、期待される総利得は^{[引用が必要]} となり 、総人口の平方根として増加することがわかります。 $${\displaystyle n!\approx \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}},}$$ $${\displaystyle \mathbb {E} {\left[2m-n\right]}\approx {\sqrt {\frac {2n}{\pi }}},}$$

質量Mのブラウン運動粒子が、速度uで移動する質量mのより軽い粒子に囲まれていると仮定する。すると、スモルホフスキーは、周囲の粒子とブラウン運動粒子との衝突では、後者に伝わる速度はmu / Mになる、と推論する。この比は、次のオーダーである。10 ⁻⁷  cm/s。しかし、気体では1秒間に10 ¹⁶回以上の衝突があり、液体では1秒間に10 ^{20 回の衝突が予想されるため、さらに多いことも考慮する必要があります。これらの衝突の中には、ブラウン運動粒子を加速させるものもあれば、減速させるものもあります。1秒間に10 8}から10 ^{10 の}衝突が平均して過剰にある場合、ブラウン運動粒子の速度は、10～1000 cm/s。したがって、前方衝突と後方衝突の確率は等しいにもかかわらず、投票定理が予測するように、ブラウン運動粒子を運動させ続ける傾向があることになります。

これらの桁数は正確ではありません。なぜなら、ブラウン運動粒子の速度Uが考慮されていないからです。この速度は、ブラウン運動粒子を加速または減速させる衝突に依存します。U が大きいほど、ブラウン運動粒子を減速させる衝突が大きくなるため、ブラウン運動粒子の速度が無制限に増加することはありません。このようなプロセスが発生すると、2 番目のタイプの永久運動に相当します。また、エネルギーの等分配が適用されるため、ブラウン運動粒子の運動エネルギーは、平均すると、周囲の流体粒子の運動エネルギーと等しくなります。${\displaystyle MU^{2}/2}$${\displaystyle mu^{2}/2}$

1906 年にスモルホフスキーはブラウン運動する粒子を記述する 1 次元モデルを発表しました。^[23]このモデルでは、衝突はM ≫ mであると想定されています。ここで、Mはテスト粒子の質量、m は流体を構成する個々の粒子の 1 つの質量です。粒子の衝突は 1 次元に限定され、テスト粒子が左から衝突する確率と右から衝突する確率は等しいと想定されています。また、すべての衝突で常に同じ大きさのΔ V が与えられると想定されています。右からの衝突回数がN _Rで、左からの衝突回数がN _{L の}場合、 N回の衝突後、粒子の速度はΔ V (2 N _R − N )だけ変化します。多重度は次のように単純に表され 、可能な状態の総数は2 ^Nで表されます。したがって、粒子が右からN _R回衝突する確率は次のとおりです。 $${\displaystyle {\binom {N}{N_{\text{R}}}}={\frac {N!}{N_{\text{R}}!(N-N_{\text{R}})!}}}$$$${\displaystyle P_{N}(N_{\text{R}})={\frac {N!}{2^{N}N_{\text{R}}!(N-N_{\text{R}})!}}}$$

スモルホフスキーの 1D モデルは、その単純さゆえに、ブラウン運動を定性的にしか説明できません。流体内でブラウン運動する実際の粒子の場合、多くの仮定は当てはまりません。たとえば、平均すると右からの衝突と左からの衝突の数は同数になるという仮定は、粒子が運動を始めると崩れてしまいます。また、現実的な状況では、常に 1 つだけではなく、さまざまなΔ Vの分布が存在することになります。

拡散方程式は、物理的定義の下でブラウン運動する粒子の位置に関連する確率密度関数の時間発展の近似値を生成します。近似値は短い時間スケールで有効です。

ブラウン運動粒子自体の位置の時間的変化は、ランジュバン方程式を使用して最もよく説明されます。この方程式は、溶媒の熱変動が粒子に与える影響を表すランダムな力場を含みます。ランジュバン動力学とブラウン運動力学では、強いブラウン運動成分を示す分子システムの動力学を効率的にシミュレートするためにランジュバン方程式が使用されます。

ブラウン運動する粒子の変位は、適切な境界条件下で拡散方程式を解き、解のrms を求めることによって得られます。これは、変位が時間の平方根として変化する (線形ではない) ことを示しています。これは、ブラウン運動粒子の速度に関する以前の実験結果が意味をなさない結果をもたらした理由を説明しています。線形時間依存性が誤って想定されていました。

しかし、非常に短い時間スケールでは、粒子の運動は慣性によって支配され、その変位は時間に線形依存します：Δ x = v Δ t 。したがって、ブラウン運動の瞬間速度は、 Δ t << τのとき、v = Δ x /Δ tとして測定できます。ここで、τは運動量緩和時間です。2010年に、ブラウン運動粒子（光ピンセットで空気中に閉じ込められたガラス微小球）の瞬間速度の測定に成功しました。^[24]速度データにより、マクスウェル・ボルツマン速度分布と、ブラウン運動粒子の等分配定理が検証されました。

恒星の力学では、大質量物体（恒星、ブラックホールなど）は周囲の恒星からの重力に反応してブラウン運動をすることがあります。 ^[25]質量Mの大質量物体のrms 速度V は、背景の恒星の rms 速度と次の式で関連しています。 ここで は背景の恒星の質量です。大質量物体からの重力により、近くの恒星は通常よりも速く動き、とV の両方が増加します。^{[25]この式から、}天の川銀河の中心にある超大質量ブラックホールSgr A*のブラウン運動速度は1 km s ⁻¹未満であると予測されます。^[26]${\displaystyle v_{\star }}$$${\displaystyle MV^{2}\approx mv_{\star }^{2}}$$${\displaystyle m\ll M}$${\displaystyle v_{\star }}$

数学において、ブラウン運動は、ノーバート・ウィーナーにちなんで名付けられた連続時間確率過程であるウィーナー過程によって説明される。これは最もよく知られているレヴィ過程（定常独立増分を伴う確率過程）の1つであり、純粋数学、応用数学、経済学、物理学で頻繁に登場する。

ウィーナー過程Wt_は4つの事実によって特徴付けられる: ^[27]

1. ₀ = 0です
2. W _tはほぼ確実に連続である
3. W _tは独立した増分を持つ
4. ${\displaystyle W_{t}-W_{s}\sim {\mathcal {N}}(0,t-s)}$ （のために）。${\displaystyle 0\leq s\leq t}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$は、期待値μと分散σ ²を持つ正規分布を表します。 が独立した増分を持つという条件は、 の場合、 と が独立したランダム変数であることを意味します。さらに、何らかのフィルタリングに対して、はすべての に対して測定可能です。 ${\displaystyle 0\leq s_{1}<t_{1}\leq s_{2}<t_{2}}$${\displaystyle W_{t_{1}}-W_{s_{1}}}$${\displaystyle W_{t_{2}}-W_{s_{2}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

ウィーナー過程の別の特徴付けは、いわゆるレヴィ特徴付けであり、ウィーナー過程はW ₀ = 0と二次変化を伴うほぼ確実に連続するマルチンゲールであるとされています。 ${\displaystyle [W_{t},W_{t}]=t}$

3 つ目の特徴は、ウィーナー過程が、係数が独立したランダム変数である正弦級数としてスペクトル表現されることです。この表現は、コザンビ・カルーネン・レーヴの定理を使用して得ることができます。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

ウィーナー過程は、ランダムウォーク、または定常独立増分を持つ他の離散時間確率過程のスケーリング限界として構築できます。これはドンスカー定理として知られています。ランダムウォークと同様に、ウィーナー過程は1次元または2次元では再帰的です（つまり、ほぼ確実に原点の任意の固定された近傍に無限に何度も戻ります）が、3次元以上では再帰的ではありません。ランダムウォークとは異なり、スケール不変です。

ブラウン運動粒子自体の位置の時間的変化は、ランジュバン方程式によって近似的に記述できます。この方程式は、溶媒の熱変動がブラウン運動粒子に与える影響を表すランダムな力場を含みます。長い時間スケールでは、数学的なブラウン運動はランジュバン方程式によってうまく記述されます。短い時間スケールでは、ランジュバン方程式では慣性効果が優勢です。しかし、数学的なブラウン運動はそのような慣性効果の影響を受けません。ランジュバン方程式では慣性効果を考慮する必要があります。そうしないと、方程式が特異になります。^{[説明が必要]}そのため、この方程式から慣性項を単純に削除しても、正確な記述は得られず、粒子がまったく動かない特異な動作になります。^{[説明が必要]}

d次元ガウス自由場は「ブラウン運動のd次元時間類似物」として説明されている。^[28]

ブラウン運動はランダムウォークでモデル化できる。^[29]

一般的な場合、ブラウン運動はマルコフ過程であり、確率積分方程式によって記述される。^[30]

フランスの数学者ポール・レヴィは、連続R ⁿ値確率過程X が実際にn次元ブラウン運動となるための必要十分条件を与える次の定理を証明しました。したがって、レヴィの条件は、ブラウン運動の代替定義として実際に使用できます。

X = ( X ₁ , ..., X _n )を、 R ⁿに値を取る確率空間 (Ω, Σ, P )上の連続確率過程とします。このとき、以下は同値です。

1. X はPに関するブラウン運動である。つまり、 Pに関するXの法則はn次元ブラウン運動の法則と同じである。つまり、押し出し測度X _∗ ( P )はC ₀ ( [0, ∞) ; R ⁿ )上の古典的なウィーナー測度である。
2. 両方
   1. XはP（およびそれ自身の自然濾過）に関してマルチンゲールであり、
   2. すべての1 ≤ i , j ≤ nに対して、X _i ( t ) X _j ( t ) − δ _ij tはP (およびそれ自身の自然濾過)に関するマルチンゲールであり、δ _{ij は}クロネッカーのデルタを表します。

確率過程のスペクトル内容は、パワースペクトル密度から求めることができます。パワースペクトル密度は、正式には次のように定義されます 。 ここで、は期待値を表します。ブラウン運動のパワースペクトル密度は、次のように求められます^[31] 。 ここで、DはX _tの拡散係数です。自然に発生する信号の場合、スペクトル内容は、利用可能な時間が有限である単一の実現のパワースペクトル密度から求めることができます。つまり、 ブラウン運動の軌跡の個々の実現では、^[32]期待値 と分散を持つことがわかっています^[32]。${\displaystyle X_{t}}$$${\displaystyle S(\omega )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\mathbb {E} \left\{\left|\int _{0}^{T}e^{i\omega t}X_{t}dt\right|^{2}\right\},}$$${\displaystyle \mathbb {E} }$ $${\displaystyle S_{BM}(\omega )={\frac {4D}{\omega ^{2}}}.}$$$${\displaystyle S^{(1)}(\omega ,T)={\frac {1}{T}}\left|\int _{0}^{T}e^{i\omega t}X_{t}dt\right|^{2},}$$${\displaystyle \mu _{BM}(\omega ,T)}$ $${\displaystyle \mu _{\text{BM}}(\omega ,T)={\frac {4D}{\omega ^{2}}}\left[1-{\frac {\sin \left(\omega T\right)}{\omega T}}\right]}$$ ${\displaystyle \sigma _{\text{BM}}^{2}(\omega ,T)}$ $${\displaystyle \sigma _{S}^{2}(f,T)=\mathbb {E} \left\{\left(S_{T}^{(j)}(f)\right)^{2}\right\}-\mu _{S}^{2}(f,T)={\frac {20D^{2}}{f^{4}}}\left[1-{\Big (}6-\cos \left(fT\right){\Big )}{\frac {2\sin \left(fT\right)}{5fT}}+{\frac {{\Big (}17-\cos \left(2fT\right)-16\cos \left(fT\right){\Big )}}{10f^{2}T^{2}}}\right].}$$

実現時間が十分に長い場合、単一の軌道のパワースペクトルの期待値は、正式に定義されたパワースペクトル密度 に収束しますが、その変動係数はになる傾向があります。これは、無限の時間制限でも の分布が広いことを意味します。${\displaystyle S(\omega )}$${\displaystyle \gamma =\sigma /\mu }$${\displaystyle {\sqrt {5}}/2}$${\displaystyle S^{(1)}(\omega ,T)}$

R ⁿ上のブラウン運動の無限小生成子（したがって特性演算子）は、簡単に次のように計算されます⁠1/2⁠ Δ、ここでΔ はラプラス演算子を表します。画像処理やコンピュータビジョンでは、ラプラス演算子はブロブやエッジ検出などのさまざまなタスクに使用されています。この観察は、 m次元リーマン多様体 ( M、g )上のブラウン運動を定義するのに役立ちます。M上のブラウン運動は、ローカル座標x _i、 1 ≤ i ≤ mにおける特性演算子が次のように与えられるM上の拡散として定義されます⁠${\displaystyle {\mathcal {A}}}$1/2⁠ Δ _LB、ここで Δ LB_はラプラス・ベルトラミ演算子であり、正方行列の逆行列の意味で[ g ^ij ] = [ g _ij ] ⁻¹として局所座標で与えられます 。 $${\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{\sqrt {\det(g)}}}\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det(g)}}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right),}$$

ナローエスケープ問題は、生物学、生物物理学、細胞生物学で広く見られる問題で、次のように定式化されます。ブラウン運動粒子 (イオン、分子、またはタンパク質) は、反射境界によって境界のある領域 (区画または細胞) に閉じ込められますが、脱出できる小さな窓は除きます。ナローエスケープ問題は、平均脱出時間を計算する問題です。この時間は窓が小さくなるにつれて発散するため、計算は特異摂動問題になります。

• ブラウン、ロバート (1828)。「1827 年 6 月、7 月、8 月に行われた、植物の花粉に含まれる粒子と、有機体および無機体における活性分子の一般的な存在に関する顕微鏡観察の簡単な説明」( PDF)。哲学雑誌。4 (21): 161–173。doi : 10.1080 /14786442808674769。2022年 10 月 9 日のオリジナルからアーカイブ(PDF) 。また、ブラウンによる当初の観察のその後の弁護、「活性分子に関する追加コメント」も含まれています。
• ショードセーグ、M. (1908)。 「Le mouvement Brownien et la formule d'Einstein」[ブラウン運動とアインシュタインの公式]。Comptes Rendus (フランス語)。147 : 1044–6。
• クラーク、P. (1976)。「原子論対熱力学」。コリン・ハウソン編『物理科学における方法と評価』。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0521211109。
• Cohen, Ruben D. (1986). 「ブラウン運動とその他のエルゴード現象における自己相似性」(PDF) . Journal of Chemical Education . 63 (11): 933–934. Bibcode :1986JChEd..63..933C. doi :10.1021/ed063p933. 2022年10月9日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。
• Dubins, Lester E.; Schwarz, Gideon (1965 年 5 月 15 日). 「連続マルチンゲールについて」.米国科学アカデミー紀要. 53 (3): 913–916. Bibcode :1965PNAS...53..913D. doi : 10.1073 /pnas.53.5.913 . JSTOR  72837. PMC  301348. PMID  16591279.
• アインシュタイン、A.（1956）。ブラウン運動の理論に関する研究。ニューヨーク：ドーバー。ISBN 978-0-486-60304-9. 2014年1月6日閲覧。
• ヘンリ、V. (1908)。 「Études cinématographique du mouvement Brownien」[ブラウン運動の映画学的研究]。Comptes Rendus (フランス語) (146): 1024–6。
• ルクレティウス『事物の本質について』、ウィリアム・エラリー・レナード訳。（オンライン版、プロジェクト・グーテンベルクより。「原子運動」の見出しを参照。この翻訳は引用したものと若干異なります）。
• ネルソン、エドワード(1967)。ブラウン運動の動的理論。(絶版となったこの本の PDF 版は、著者の Web ページから入手できます。) これは主に数学的な著作ですが、最初の 4 章では、ブラウンからアインシュタインまでの時代におけるこのテーマの歴史について説明しています。
• Pearle, P.; Collett, B.; Bart, K.; Bilderback, D.; Newman, D.; Samuels, S. (2010). 「ブラウンが見たもの、そしてあなたも見ることができるもの」。American Journal of Physics . 78 (12): 1278–1289. arXiv : 1008.0039 . Bibcode :2010AmJPh..78.1278P. doi :10.1119/1.3475685. S2CID  12342287.
• ペリン、J. (1909)。 「Mouvement Brownien et réalité moléculaire」[ブラウン運動と分子的現実]。筋肉と肉体の分析。シリーズ第8弾。18 : 5–114。
  • ペランの著書「Les Atomes」（1914年）も参照。
• フォン・スモルコウスキー、M. (1906)。 「ブラウンシェン分子運動と懸濁液の運動理論」。アンナレン・デア・フィジーク。21 (14): 756–780。ビブコード:1906AnP...326..756V。土井：10.1002/andp.19063261405。
• スヴェドベリ、T. (1907)。Studien zur Lehre von den kolloiden Losungen。
• テイル、テネシー州
  • デンマーク語版: 「Om Anvendelse af minste Kvadraters Methode i nogle Tilfælde, hvor en Komplikation af visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder giver Fejlene en 'systematisk' Karakter」。
  • フランス語版：「Sur lacompensation de quelques erreurs quasi-systématiques par la methodes de moindre carrés」がヴィデンスクで同時出版。セルスク。クローナ5. Rk.、ナチュラビッド。オグマット。アフド。、12:381–408、1880。

ウィキメディア・コモンズには、ブラウン運動に関連するメディアがあります。

Wikisource にはこの記事に関連する原文があります:

植物の花粉に含まれる粒子の顕微鏡観察の簡単な説明

• ブラウン運動に関するアインシュタイン
• ブラウンのオリジナルの観察の歴史、植物学、物理学についてビデオで解説します
• 「アインシュタインの予言が1世紀後にようやく実現」：ブラウン運動の速度を観測する実験
• 大規模ブラウン運動のデモンストレーション