回転

3次元空間における物体の固定点を中心とした任意の回転シーケンスの組み合わせは、常に軸を中心とした回転（その軸に垂直な回転平面内での回転と考えることができる）に等価である。同様に、3次元空間における物体の任意の瞬間の回転速度は、何らかの軸を中心とした回転であるが、この軸は時間とともに変化する可能性がある。

3次元以外の場合、物体を通る複数の軸が固定される可能性があるため、回転を軸を中心とした回転として記述するのは適切ではありません。代わりに、単純な回転は平面内での回転として記述されます。4次元以上の場合、平面を中心とした2つ以上の回転の組み合わせは、一般に単一平面内での回転とはみなされません。

2次元回転は、3次元回転とは異なり、回転軸を持たず、回転の中心となる点のみを持ちます。これは、線形変換の場合、2次元回転によって変化しない平面上の方向は存在しない、つまり恒等回転を除いては、ということを意味します。

このような方向の存在の問題は、回転を表す行列Aの固有ベクトルの存在の問題である。原点を中心とした角度によるすべての 2D 回転${\displaystyle \theta }$反時計回りの方向は、次の行列で非常に簡単に表すことができます。

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$

標準的な固有値決定により、特性方程式が得られる。

${\displaystyle \lambda ^{2}-2\lambda \cos \theta +1=0,}$

これには

${\displaystyle \cos \theta \pm i\sin \theta }$

固有値として。したがって、真の固有値は存在しない。${\displaystyle \cos \theta \neq \pm 1}$つまり、平面上の実ベクトルはAによって変化しないということである。

トレースが不変量であることを知っていると、回転角度${\displaystyle \alpha }$適切な直交3×3回転行列の場合${\displaystyle A}$発見される

${\displaystyle \alpha =\cos ^{-1}\left({\frac {A_{11}+A_{22}+A_{33}-1}{2}}\right)}$

主弧余弦を用いると、この式は回転角を与え、$0 ≤ α ≤ 180 °$対応する回転軸は、回転角度が180度を超えない方向を指すように定義する必要があります。（これは、軸を中心とした180度を超える回転は常に可能です。）${\displaystyle m}$常に回転として記述できる$0 ≤ α ≤ 180 °$軸を置き換えると${\displaystyle n=-m}$）

適切な回転ごとに${\displaystyle A}$3D空間には回転軸があり、任意のベクトルが${\displaystyle v}$回転軸と一直線に並んでいるものは回転の影響を受けません。したがって、${\displaystyle Av=v}$したがって、回転軸は、固有値が 1 である回転行列の固有ベクトルに対応します。回転角度が${\displaystyle \alpha }$がゼロでない場合（つまり、回転が単位テンソルでない場合）、そのような方向はただ1つだけ存在します。Aは実数成分のみを持つため、少なくとも1つの実数固有値が存在し、残りの2つの固有値は互いに複素共役でなければなりません（固有値と固有ベクトル#固有値と特性多項式を参照）。1が固有値であることを知っているので、残りの2つの固有値は互いに複素共役であることがわかりますが、これはそれらが複素数であることを意味するものではなく、二重重複度を持つ実数である可能性があります。回転角の退化の場合$\alpha = 180°$残りの 2 つの固有値は両方とも −1 になります。回転角がゼロの退化ケースでは、回転行列は単位行列となり、3 つの固有値はすべて 1 になります (これは回転軸が任意となる唯一のケースです)。

回転軸を見つけるためにスペクトル解析は必要ありません。${\displaystyle n}$は回転軸に沿った単位固有ベクトルを表し、${\displaystyle \alpha }$は回転角を表すので、以下が示される。${\displaystyle 2\sin(\alpha )n=\{A_{32}-A_{23},A_{13}-A_{31},A_{21}-A_{12}\}}$したがって、このベクトルがゼロでない大きさを持つ場合は、このベクトルを正規化するだけで固有値解析のコストを回避できます。一方、このベクトルがゼロの大きさを持つ場合は、$\displaystyle \sin(\alpha )=0}$言い換えれば、このベクトルは回転角度が0度または180度の場合にのみゼロになり、この場合、回転軸は任意の列を正規化することによって割り当てることができます。${\displaystyle A+I}$大きさがゼロでない。^{[ 2 ]}

この議論は適切な回転に適用され、したがって${\displaystyle \det A=1}$任意の不適切な直交3x3行列${\displaystyle B}$次のように書くことができます${\displaystyle B=-A}$その中で${\displaystyle A}$は真の直交行列です。つまり、任意の不適切な直交 3x3 行列は、真の回転 (上記のように回転軸を求めることができます) とそれに続く反転 (-1 を掛ける) に分解できます。したがって、回転軸は${\displaystyle A}$は、の固有ベクトルでもある。${\displaystyle B}$これは、固有値が-1に相当する。

あらゆる三次元回転には回転軸が存在するのと同様に、回転軸に垂直で、回転によって不変となる平面も存在する。この平面に限定された回転は、通常の二次元回転である。

証明は上記の議論と同様に進められます。まず、3D回転行列Aのすべての固有値が実数であると仮定します。これは、対応する固有ベクトル（必然的に直交する）によって構成される直交基底が存在し、その基底上で回転行列の効果は単にそれを引き伸ばすことであることを意味します。この基底でAを書くと、対角行列になります。しかし、対角直交行列は対角成分が+1と-1のみで構成されます。したがって、適切な回転ではなく、恒等回転か、一連の鏡映の結果のいずれかになります。

したがって、適切な回転には複素固有値が存在する。v を対応する固有ベクトルとする。すると、前のトピックで示したように、${\displaystyle {\bar {v}}}$も固有ベクトルであり、${\displaystyle v+{\bar {v}}}$そして${\displaystyle i(v-{\bar {v}})}$それらのスカラー積がゼロになるようなものである。

${\displaystyle i(v^{\text{T}}+{\bar {v}}^{\text{T}})(v-{\bar {v}})=i(v^{\text{T}}v-{\bar {v}}^{\text{T}}{\bar {v}}+{\bar {v}}^{\text{T}}vv^{\text{T}}{\bar {v}})=0}$

なぜなら、$\displaystyle {\bar {v}}^{\text{T}}{\bar {v}}}$実数であれば、その複素共役に等しい。${\displaystyle v^{\text{T}}v}$、 そして${\displaystyle {\bar {v}}^{\text{T}}v}$そして${\displaystyle v^{\text{T}}{\bar {v}}}$はどちらも同じスカラー積の表現です。${\displaystyle v}$そして${\displaystyle {\bar {v}}}$。

これはつまり${\displaystyle v+{\bar {v}}}$そして${\displaystyle i(v-{\bar {v}})}$これらは直交ベクトルです。また、これらは構成上、両方とも実ベクトルです。これらのベクトルは、同じ部分空間を張ります。${\displaystyle v}$そして${\displaystyle {\bar {v}}}$これは、 Aの適用に関して不変な部分空間である。したがって、それらは不変平面を張る。

この平面は不変軸に直交しており、これは行列Aの残りの固有ベクトル (固有値 1) に対応します。これは、行列Aの固有ベクトルが直交しているためです。

ベクトルが回転しているというのは、その向きが変わる場合である。この効果は一般的に、変化率ベクトルが元のベクトルに対してゼロでない垂直成分を持つ場合にのみ生じる。これは、ベクトルを考えることで示すことができる。${\displaystyle {\vec {A}}}$これは何らかの変数によってパラメータ化される${\textstyle t}$その理由:

$\displaystyle {d|{\vec {A}}|^{2} \over dt}={d({\vec {A}}\cdot {\vec {A}}) \over dt}\Rightarrow {d|{\vec {A}}| \over dt}={d{\vec {A}} \over dt}\cdot {\hat {A}}}$

また、単位ベクトルの変化率の関係も、${\displaystyle {\vec {A}}}$そのようなベクトルとなるために：$$\displaystyle {d{\hat {A}} \over dt}\cdot {\hat {A}}=0}$$示している${\textstyle {d{\hat {A}} \over dt}}$ベクトルはベクトルに垂直です。${\displaystyle {\vec {A}}}$[ ^{3 ]​}

から：

${\displaystyle {d{\vec {A}} \over dt}={d(|{\vec {A}}|{\hat {A}}) \over dt}={d|{\vec {A}}| \over dt}{\hat {A}}+|{\vec {A}}|\left({d{\hat {A}} \over dt}\right)}$、

最初の項は平行なので${\displaystyle {\vec {A}}}$そしてそれに垂直な2番目の成分について、一般的に、ベクトルの変化率の平行成分と垂直成分は、それぞれベクトルの大きさまたは向きのみに独立して影響を与えると結論付けることができます。したがって、回転するベクトルは常に、ベクトル自身に対する変化率ベクトルの垂直成分がゼロではないものとなります。

次元が増加すると、回転ベクトルの数も増加します。4次元空間(ハイパーボリューム) に沿って、回転は x、y、z、w 軸に沿って発生します。aw 軸を中心に回転したオブジェクトは、さまざまなボリュームと交差します。各交差は、ある角度で自己完結したボリュームに等しくなります。これにより、4 次元ハイパーボリュームに新しい回転軸が生まれ、3D オブジェクトを z 軸に垂直に回転させることができます。^{[ 4 ] [ 5 ]}

物体は、向きを変えずに周期的な円軌道を描くことが可能です。このような運動は、回転ではなく円運動、より具体的には曲線的な並進運動として扱われます。並進運動は物体の向きを維持しながら剛体を移動させる運動であるため、曲線的な並進運動の場合、すべての点が同じ瞬間速度を持ちますが、相対運動は回転を伴う運動でのみ観察できます。^{[ 6 ]}

回転では、物体の向きが変化し、その向きの変化は、時間とともに相対的な向きが一定である基準系の観測者とは無関係です。オイラーの定理によれば、向きの変化は、選択された基準点を通る軸を中心とした回転によって記述できます。^{[ 6 ]}したがって、回転と円運動の区別は、回転の瞬間軸、すなわち瞬間的な円の中心を通り、運動面に垂直な線分を要求することによって行うことができます。曲線的な並進運動を示す例では、運動の円の中心は直線上にありますが、それは運動面に平行であるため、回転軸には分解されません。対照的に、回転体は常に瞬間的な速度ゼロの軸を持ち、それは運動面に垂直です。^{[ 7 ]}

より一般的には、シャールの定理により、剛体のあらゆる運動は回転と並進の合成として扱うことができ、これを一般平面運動と呼ぶ。^{[ 6 ]}純粋な回転の簡単な例として、固定軸を中心とした回転を考える。

オイラー回転は、回転の別の表現方法を提供します。これは、オイラー角の1つを変更し、他の2つを一定に保つことによって得られる動きとして定義される、3つの回転の合成です。オイラー回転は、外部座標系や、回転する物体の座標系で表現されることはなく、それらの混合で表現されます。これらは混合回転軸システムを構成し、最初の角度は節点の列を外部軸zの周りに移動させ、2番目の角度は節点の列の周りを回転させ、3番目の角度は移動する物体に固定された軸の周りの固有回転となります。

これらの回転は、歳差運動、章動、および固有回転と呼ばれます。

空間内での向きに関係なく同じ挙動を示すシステムは、回転不変であると言われます。ノーターの定理によれば、物理システムの作用（ラグランジアンの時間積分）が回転に対して不変であれば、角運動量は保存されます。

ブラックホールの質量と電荷以外の唯一の天文学的特性は、その回転またはスピンです。回転によって膨大な量のエネルギーが蓄えられ、数千パーセクにわたって宇宙空間に広がり、数億年も続く電離粒子の相対論的ジェットを駆動します。ジェットは銀河の進化を変えるほど強力です。ブラックホールは、超新星爆発という同様の起源を持つにもかかわらず、中性子星よりもはるかに速く回転しており、中性子星の回転する磁場が、新星爆発から放出される電離ガスに回転エネルギーを伝達することを示唆しています。^{[ 9 ]}

恒星や惑星などの天体は、自転している場合があります。太陽系の惑星の自転速度は、最初に視覚的な特徴を追跡することによって測定されました。恒星の自転は、ドップラー効果を利用したり、活発な表面の特徴を追跡したりすることによって測定されます。例えば、太陽黒点は、太陽を構成する外側のガスと同じ速度で太陽の周りを回転しています。

特定の状況下では、軌道上の天体が、より大きな天体の周りを公転する際の自転速度と同期することがあります。この現象は潮汐固定と呼ばれ、月は地球に対して潮汐固定されています。

この自転によって地球の基準系に遠心加速度が生じ、赤道に近づくほど重力の影響をわずかに打ち消す。地球の重力は質量効果の両方を併せ持つため、物体は極よりも赤道でわずかに軽くなる。また、地球は時間の経過とともにわずかに扁平な回転楕円体に変形する。同様の赤道膨らみは他の惑星にも見られる。

惑星の自転のもう一つの結果として、歳差運動と章動という現象が生じます。ジャイロスコープのように、全体として惑星の自転軸の動きにわずかな「揺れ」が生じます。現在、地球の自転軸の軌道面に対する傾き（黄道傾斜角）は23.44度ですが、この角度は（数千年かけて）ゆっくりと変化します。

地球を含む太陽系のほとんどの惑星は、太陽の周りを公転しながら同じ方向に自転しています。例外は金星と天王星です。金星はゆっくりと逆方向に回転している（または「逆さま」になっている）と考えることができます。天王星は、公転軌道に対してほぼ横向きに自転しています。現在の推測では、天王星は当初は典型的な順行方向の自転をしていましたが、その歴史の初期に大きな衝突によって横向きになったと考えられています。準惑星冥王星（かつては惑星と考えられていた）は、横向きに自転しているなど、いくつかの点で特異な惑星です。

回転はしばしば同義語として使われますが、多くの分野、特に天文学や関連分野では、回転（明確にするために軌道回転と呼ばれることが多い）は、ある物体が別の物体の周りを回る場合に使われ、回転は軸を中心とした動きを意味します。月は惑星の周りを公転し、惑星は恒星の周りを公転し（例えば地球は太陽の周りを公転）、恒星は銀河の中心の周りをゆっくりと公転します。銀河の構成要素の動きは複雑ですが、通常は回転の要素が含まれます。

飛行力学において、上記のオイラー角で表される主要な回転は、ピッチ、ロール、ヨーと呼ばれます。航空分野では、特に離陸後の上昇開始時における、機体の上向きのピッチ（機首が上がる動き）を指す場合にも「回転」という用語が用いられます。

主回転は、ジンバルやジョイスティックなどの多くの物理システムをモデル化できるため、視覚化しやすく、回転を非常にコンパクトに保存できるという利点があります。しかし、回転を組み合わせるような単純な操作でさえ計算コストが高く、特定の回転に対して角度を一意に計算できないジンバルロックのような問題が発生するため、計算に使用するのは困難です。

多くの遊園地の乗り物は回転運動を提供します。観覧車は水平な中心軸を持ち、各ゴンドラには平行な軸があり、重力または機械的な力によって回転方向が逆になります。その結果、ゴンドラの向きは常に直立（回転しない）で、ただ平行移動しているだけです。平行移動ベクトルの先端は円を描きます。メリーゴーランドは垂直軸を中心とした回転運動を提供します。多くの乗り物は、複数の軸を中心とした回転運動の組み合わせを提供します。チェア・オー・プレーンでは、垂直軸を中心とした回転は機械的に行われ、水平軸を中心とした回転は向心力によって行われます。ジェットコースターの反転では、水平軸を中心とした回転は1回または複数回の完全な回転であり、慣性によって乗客は座席に留まります。

ボールやその他の物体の回転（通常はスピンと呼ばれる）は、テニスやイングリッシュのトップスピンやバックスピン、ビリヤードやプールのフォローやドロー、野球のカーブボール、クリケットのスピンボウリング、フライングディスクスポーツなど、多くのスポーツで重要な役割を果たしています。卓球のラケットは、プレーヤーがボールに与えるスピンの量を調整できるように、さまざまな表面特性で製造されています。

選手が垂直軸を中心に 1 回以上回転することを、フィギュアスケートではスピン、バトントワリングではバトンまたはパフォーマーの回転、スノーボードなどでは360、540、720などと呼ぶことがあります。選手またはパフォーマーが水平軸を中心に 1 回以上回転することを、体操、水上スキー、その他多くのスポーツではフリップ、ロール、宙返り、ヘリなど、ダイビングなどでは1 半、2 半、ゲイナー(水に背を向けた状態から開始) などと呼ぶことがあります。垂直回転と水平回転の組み合わせ (360° を伴うバックフリップ) は、水上スキーのフリースタイルジャンプでメビウスと呼ばれます。

選手が垂直軸を中心に回転する動作（一般的に180度から360度）はスピンムーブと呼ばれ、相手を欺いたり回避したりする動作として、あるいはボールやパックのプレー、パス、レシーブなどを試みる際、またはゴールや他の選手を視界に捉えるために用いられます。アイスホッケー、バスケットボール、様々な競技のアメリカンフットボール、テニスなどでよく見られます。