玉川数に関するヴェイユ予想

数学において、玉川数に関するヴェイユ予想は、数体上に定義された単連結な単純代数群の玉川数が 1 であるという主張である。この場合、単連結とは代数群論の意味で「適切な代数被覆を持たない」ことを意味するが、これは必ずしも位相学者の意味とは一致しない。 ${\displaystyle \tau (G)}$

ヴェイユ(1959) は、古典群 の多くのケースで玉川数を計算し、検討したすべてのケースで玉川数は整数であり、群が単連結の場合は 1 に等しいことを観察しました。最初の観察はすべての群に当てはまるわけではありません。小野 (1963) は、玉川数が整数ではない例を発見しました。2 番目の観察、つまり単連結半単純群の玉川数は 1 であるように見えるという観察は、ヴェイユ予想として知られるようになりました。

ロバート・ラングランズ(1966) は調和解析法を導入し、シュヴァレー群についてこれを示した。KF ライ (1980) は既知のケースのクラスを準分割簡約群に拡張した。コットヴィッツ (1988) はハッセ原理を満たすすべての群についてこれを示した。ハッセ原理は当時、 E ₈因子を持たないすべての群について知られていた。VI チェルノソフ (1989) は、耐性のあるE _{8ケース (}代数群における強い近似を参照)についてハッセ原理を証明することによってこの制限を取り除き、こうしてヴェイユ予想の証明を完了した。 2011年、ジェイコブ・ルリーとデニス・ゲイツゴリーは有限体上の函数体上の代数群予想の証明を発表し、^{[1]正式にはゲイツゴリー＆ルーリー（2019）に掲載され、将来的には}グロタンディーク-レフシェッツのトレースの公式のバージョンを使用した証明が第2巻で公開される予定です。

小野（1965）は、ヴェイユ予想を用いて、すべての半単純代数群の玉川数を計算した。

スピン群の場合、この予想は既知のスミス・ミンコフスキー・ジーゲル質量公式を意味する。^[1]

• 玉川ナンバー

• 「玉川数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• チェルノソフ、VI (1989)、「E8 型群のハッセ原理」、ソビエト数学文書、39 : 592–596、MR  1014762
• ゲイツゴリー、デニス、ルリー、ジェイコブ（2019）、関数体に対するヴェイユの予想（第1巻）、数学研究年報、第199巻、プリンストン：プリンストン大学出版局、pp. viii、311、ISBN 978-0-691-18213-1、MR  3887650、Zbl  1439.14006
• コットウィッツ、ロバート E. (1988)、「玉川数」、Ann. of Math.、2、127 ( 3)、Annals of Mathematics: 629– 646、doi :10.2307/2007007、JSTOR  2007007、MR  0942522。
• Lai, KF (1980)、「簡約代数群の玉川数」、Compositio Mathematica、41 (2): 153– 188、MR  0581580
• ラングランズ、RP (1966)、「シュヴァレー群のいくつかの算術的部分群の基本領域の体積」、代数群と不連続部分群、純粋数学シンポジウム、プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学協会、pp.  143– 148、MR  0213362
• ルリー、ジェイコブ(2014)、非アーベル的ポアンカレ双対性による玉川数
• 小野 孝(1963)、「代数的トーラスの玉川数について」、数学年報、第 2 シリーズ、78 (1): 47– 73、doi :10.2307/1970502、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970502、MR  0156851
• 小野 孝 (1965)、「玉川数の相対論について」、数学年報、第2集、82 (1): 88– 111、doi :10.2307/1970563、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970563、MR  0177991
• 玉川恒夫 (1966)、「アデル」、代数群と不連続部分群、純粋数学シンポジウム、第 IX 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、pp.  113– 121、MR  0212025
• Voskresenskii, VE (1991)、代数群とその双有理不変量、AMS 翻訳
• アンドレ・ヴェイユ(1959)、Exp. No. 186、Adèles et groupes algébriques、Séminaire Bourbaki、vol. 5、249～ 257ページ 
• ヴェイユ、アンドレ(1982) [1961]、「アデルと代数群」、数学の進歩、第23巻、ボストン、マサチューセッツ州：ビルクハウザー・ボストン、ISBN 978-3-7643-3092-7、MR  0670072

• アラヴィンド・アソック、ブレント・ドラン、フランシス・カーワン、「ヤン＝ミルズ理論と玉川数：数学における意外なつながりの魅力」、2013 年 2 月 22 日
• J. Lurie、「シーゲル質量公式、玉川数、非アーベル的ポアンカレ双対性」、2012 年 6 月 8 日投稿。