巻数

巻き数を定義するための単純な組み合わせ規則は、 1865 年にAugust Ferdinand Möbiusによって提案され^{[ 1 ]} 、 1928 年にJames Waddell Alexander II によって独立に提案されました^{[ 2 ]} 。任意の曲線は平面をいくつかの連結した領域に分割し、そのうちの 1 つは無限です。同じ領域内の 2 つの点の周りの曲線の巻き数は等しくなります。無限領域 (内の任意の点) の周りの巻き数はゼロです。最後に、隣接する任意の 2 つの領域の巻き数はちょうど 1 だけ異なります。巻き数が大きい領域は、曲線の左側 (曲線に沿って移動する方向に関して) に現れます。

巻き数は複素解析全体を通して非常に重要な役割を果たします（留数定理の記述を参照）。複素解析の文脈では、閉曲線の巻き数は${\displaystyle \gamma }$複素平面上では、複素座標z = x + iyを用いて表すことができる。具体的には、 z  = re ^iθと書くと、 

${\displaystyle dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta }$

そのため

${\displaystyle {\frac {dz}{z}}={\frac {dr}{r}}+i\,d\theta =d[\ln r]+i\,d\theta .}$

として${\displaystyle \gamma }$は閉じた曲線であり、${\displaystyle \ln(r)}$はゼロであり、したがって、${\textstyle {\frac {dz}{z}}}$に等しい${\displaystyle i}$総変化を掛け合わせたもの${\displaystyle \theta }$したがって、閉路の巻き数は${\displaystyle \gamma }$原点に関する式は^{[ 3 ]で与えられる。}

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {dz}{z}}\,.}$

より一般的に言えば、${\displaystyle \gamma }$は、パラメータ化された閉曲線です。${\displaystyle t\in [\alpha ,\beta ]}$巻き数${\displaystyle \gamma }$について${\displaystyle z_{0}}$インデックスとしても知られています${\displaystyle z_{0}}$に関して${\displaystyle \gamma }$複素数に対して定義される${\displaystyle z_{0}\notin \gamma ([\alpha ,\beta ])}$^{[ 4 ]}として

${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z_{0}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {\gamma '(t)}{\gamma (t)-z_{0}}}dt.}$

これは、有名なコーシーの積分公式の特殊なケースです。

複素平面における巻き数の基本的な性質のいくつかは、次の定理によって与えられます。^{[ 5 ]}

定理。${\displaystyle \gamma$ :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C} } を 閉じたパスとし、${\displaystyle \Omega }$の像の補集合とする${\displaystyle \gamma }$つまり、 ${\displaystyle \Omega$ :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])} 。すると、${\displaystyle z}$に関して${\displaystyle \gamma }$、$${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }:\Omega \to \mathbb {C} ,\ \ z\mapsto {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}},}$$（i）整数値、つまり、${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z} }$すべての人々のために${\displaystyle z\in \Omega }$（ii）各成分（すなわち、最大連結部分集合）について一定${\displaystyle \Omega }$（iii）ゼロの場合${\displaystyle z}$は、${\displaystyle \Omega }$。

この定理の直接的な帰結として、円形経路の巻き数が得られる。${\displaystyle \gamma }$約1点${\displaystyle z}$予想通り、巻き数は（反時計回りの）ループの数を表します。${\displaystyle \gamma }$約${\displaystyle z}$:

系。もし${\displaystyle \gamma }$パスは次のように定義されます${\displaystyle \gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z} }$、 それから${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)={\begin{cases}n,&|z-a|<r;\\0,&|z-a|>r.\end{cases}}}$

位相幾何学において、巻き数は連続写像の次数を表す別の用語である。物理学においては、巻き数はしばしば位相量子数と呼ばれる。どちらの場合も、同じ概念が適用される。

上記の曲線が点の周りを巻き付いている例は、単純な位相幾何学的解釈を持つ。平面上の点の補集合は円とホモトピー同値であり、円から円自身への写像だけを考慮すればよい。このような写像はそれぞれ、標準的な写像のいずれかに連続的に変形できる（ホモトピー同値である）ことが示される。${\displaystyle S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}}$ここで、円における乗算は、それを複素単位円と同一視することによって定義されます。円から位相空間への写像のホモトピー類の集合は群を形成し、これはその空間の第一ホモトピー群または基本群と呼ばれます。円の基本群は整数の加法群、Zであり、複素曲線の巻き数はそのホモトピー類に他なりません。

3次元球面からそれ自身への写像も、巻き数またはポントリャーギン指数とも呼ばれる整数によって分類されます。

多角形において、回転数は多角形密度と呼ばれます。凸多角形、より一般的には単純多角形（自己交差しない多角形）の場合、ジョルダン曲線定理により密度は 1 です。対照的に、正星形多角形{ p / q } の場合、密度はqです。

空間曲線の場合、次数には対応する寸法が必要なため、回転数を定義できません。ただし、局所的に凸な閉じた空間曲線の場合、接線回転符号を次のように定義できます。${\displaystyle (-1)^{d}}$、 どこ${\displaystyle d}$は、その接線指示曲線の立体投影の回転数です。その 2 つの値は、局所凸曲線の2 つの非退化ホモトピークラスに対応します。^{[ 8 ] [ 9 ]}

多角形に対する点の巻き数を用いることで、点と多角形の内外にあるかどうかを判定する問題（PIP問題）を解くことができる。つまり、点が多角形の内側にあるかどうかを判定するために使用できる。

一般的に、レイキャスティングアルゴリズムは、巻き数アルゴリズムとは異なり三角関数を必要としないため、PIP問題に対するより良い代替手段です。ただし、巻き数アルゴリズムも高速化することができ、三角関数を含む計算を必要としなくなります。^{[ 10 ]}サンデーのアルゴリズムとしても知られるこのアルゴリズムの高速化バージョンは、単純でない多角形も考慮する必要がある場合に推奨されます。