集中学習（数学）

数学において、埋め込みとは、微分可能な多様体間の微分可能な関数であり、その微分プッシュフォワードが至るところで単射であるものである。^[¹^]具体的には、 $f$ $:$ $M$ $\to$ $N$ は、次の条件を満たす場合に埋め込みとなる。

D_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N\,

$は、 M$ のすべての点 $p$ において単射関数である(ここで、 $T$ $p$ $X は$ 多様体 $X$ の点 $p$ における接空間を表し $、$ $D$ $p$ $f$ は点 $p$ における写像 $f$ の導関数 (プッシュフォワード) である)。同等に、 f の導関数の定数ランクが $M$ の次元に等しい場合、 $f$ は埋め込みである: ^[²^]

\operatorname {rank} \,D_{p}f=\dim M.

関数 $f$ 自体は単射である必要はなく、導関数のみが単射であればよい。

埋め込みとの比較

関連する概念として、埋め込みがあります。滑らかな埋め込みとは、位相埋め込みでもある単射の埋め込み $f : M \to N$ であり、 $Mは$ $N$ におけるその像と微分同相です。埋め込みはまさに局所埋め込みです。つまり、任意の点 $x$ $\in$ $M$ に対して、 $f$ $:$ $U$ $\to$ $N$ が埋め込みとなるような $x$ の近傍 $U$ $\subseteq$ $M$ が存在し、逆に局所埋め込みは埋め込みです。^[³^]無限次元多様体の場合、これは埋め込みの定義とみなされることがあります。^[⁴^]

$M$ がコンパクトであれば、単射埋め込みは埋め込みですが、 $M$ がコンパクトでない場合は、単射埋め込みは埋め込みである必要はありません。連続全単射と同相写像を比較してください。

正則ホモトピー

多様体 $M$ から多様体 $N$ への2 つの埋め込み $f$ と $g$ の間の正則ホモトピーは、微分可能な関数 $H$ $:$ $M$ $\times [0,1] \to$ $N$ であり、すべての $t$ ∈ $[0, 1]に対して、すべての$ $x$ $\in$ $M$ に対して $H$ $t$ $($ $x$ $) =$ $H$ $($ $x$ $,$ $t$ $)$ で定義される関数 $H$ $t$ $:$ $M$ $\to$ $N$ が埋め込みであり、 $H$ $0$ $=$ $f$ 、 $H$ $1$ $=$ $g$ であるものとして定義されます。したがって、正則ホモトピーは埋め込みによるホモトピーです。

分類

ハスラー・ホイットニーは1940年代に埋め込みと正則ホモトピーの体系的な研究を開始し、 $2 m < n + 1の場合、$ $m次元多様体から$ $n$ 次元多様体へのすべての写像 $f : M m \to N n$ は埋め込みとホモトピックであり、実際には $2$ $m$ $<$ $n$ の場合は埋め込みとホモトピックであることを証明しました。これらはホイットニーの埋め込み定理とホイットニーの埋め込み定理です。

スティーブン・スメイルは、埋め込みの正則ホモトピー類を表現した。 $f:M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ あるシュティーフェル多様体のホモトピー群として。球面反転は特に顕著な結果であった。

モリス・ハーシュは、スメールの表現を、任意の $m$ 次元多様体 $M$ $m$ $から任意のn$ 次元多様体 $N$ $n$ への埋め込みの正則ホモトピークラスのホモトピー理論記述に一般化した。

ヒルシュ＝スメールの浸漬分類は、ミハイル・グロモフによって一般化された。

存在

没入の存在に対する主な障害 $\displaystyle i:M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ は、その特性クラス、特にスティフェル・ホイットニークラスによって検出される、 $M$ の安定正規束である。つまり、 $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ⁠は平行化可能であり、その接束の $M$ への引き戻しは自明である。この引き戻しは、次元 $m$ を $持つM上の (本質的に定義された) 接束$ $TM$ と、 $次元n$ $-$ $m$ を持つ埋め込み $iの法束$ $ν$ の $直和であるため、 Mの$ 余次元 $k$ 埋め込みが存在するためには $、法束ν$ の代わりに、 $次元k$ のベクトル束 $ξ$ $k$ が存在し、となる必要がある。 $TM\oplus \zeta ^{k}$ ⁠は自明である。逆に、このような束が与えられた場合、 $M$ をこの正規束に埋め込むことは、この束の全空間（開多様体）を余次元0で埋め込むことと同等である。

安定正規束は、正規束と自明な束のクラスであり、したがって、安定正規束のコホモロジー次元が $kである場合、それは$ $k$ 未満の次元を持つ（不安定な）正規束から生じることはない。したがって、安定正規束のコホモロジー次元は、その最高非零特性クラスによって検出され、埋め込みを妨げる要因となる。

特性類はベクトル束の直和の下で乗算されるため、この障害は空間 $M$ とその接束およびコホモロジー代数を用いて本質的に表現できる。この障害は（安定正規束ではなく接束を用いて）ホイットニーによって表現された。

例えば、メビウスの帯は非自明な接束を持つため、余次元0 （ $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ⁠ )、ただしそれは余次元 1 に埋め込まれます ( ⁠ $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ⁠ )

ウィリアム・S・マッセイ（1960 ）は、これらの特性クラス（安定正規束のスティフェル・ホイットニー類）が次数 $n$ $-$ $α$ $($ $n$ $)$ を超えると消滅することを示した。ここで $α$ $($ $n$ $)は$ $n を$ 二進数で表したときの「1」の桁数である。この境界は、実射影空間によって実現されるように、厳密である。これは、埋め込み予想、すなわち、すべての $n次元多様体は余次元$ $n$ $-$ $α$ $($ $n$ $)$ 、つまりに埋め込み可能であるという予想の証拠となった。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-\alpha (n)}.}$ この推測はラルフ・コーエン（1985年）によって証明された。

余次元0

余次元 0 の埋め込みは、相対次元0 の沈み込みと等価であり、沈み込みとして考える方が適切です。閉じた多様体の余次元 0 の埋め込みは、まさに被覆写像、すなわち0 次元 (離散) ファイバーを持つファイバー束です。沈み込みに関するエーレスマンの定理とフィリップスの定理によれば、多様体の適切な沈み込みはファイバー束であるため、余次元/相対次元 0 の埋め込み/沈み込みは沈み込みのように振る舞います。

さらに、余次元0の埋め込みは、安定法束によって大きく決定される他の埋め込みとは異なり、余次元0では基本クラスとカバー空間の問題が生じます。例えば、余次元0の埋め込みは存在しません。 $\mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {R} ^{1},$ 円は平行化可能であるにもかかわらず、直線には基本クラスがないため、必要なマップをトップコホモロジー上に得ることができません。あるいは、これは領域の不変性によるものです。同様に、 $\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ そして3トーラス $\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}$ 両方とも並列化可能であり、没入はありません。 $\displaystyle \mathbb {T} ^{3}\to \mathbb {S} ^{3}}$ ⁠ – 球体は単純に繋がっているので、そのような被覆はどこかで分岐する必要があるだろう。

これを理解する別の方法は、多様体の余次元 $kへの埋め込みは、$ $k$ 次元ベクトル束の余次元0への埋め込みに対応するということである。余次元が0より大きい場合は、これは開多様体となるが、余次元0の場合は（元の多様体が閉多様体である場合）閉多様体となる。

複数のポイント

埋め込み $f$ $:$ $M$ $\to$ $N$ のk $タプル$ 点(二重、三重など) は、同じ像 $f$ $($ $x$ $i$ $) \in$ $N$ を持つ異なる点 $x$ $i$ $\in$ $M$ の順序付けされていない集合 ${$ $x$ $1$ $, ...,$ $x$ $k$ $}$ です。M が m 次元多様体で N が n 次元多様体である場合 $、$ $一般$ 位置の $埋め込み$ f : M → $N$ $に対して$ $、$ $k$ $タプル$ 点 $の$ 集合は ( n − k ( n − m )) 次元多様体になります。 $すべて$ $の$ $埋め込み$ $は$ $、$ $多重$ $点$ $の$ $ない$ 埋め込みです ( $k$ $> 1$ の場合)。ただし、逆は偽であることに注意してください。埋め込みではない単射埋め込みが存在します。

複数の点の性質によって埋め込みが分類されます。例えば、平面への円の埋め込みは、正則ホモトピーを除いて、二重点の数によって分類されます。

外科理論の重要な局面では、浸漬が適切かどうかを決定する必要がある。 $f:\mathbb {S} ^{m}\to N^{2m}$ $2m$ $次元$ 多様体における $m$ 次元球面の⁠は埋め込みと正則ホモトピックであり、その場合、外科手術によって消去することができる。fに関連付けられた壁は、基本群環の商環における不変量 $μ$ $($ $f$ $)で$ $ある$ 。 $\mathbb {Z} [\pi _{1}(N)]$ これは、 $N$ の普遍被覆における $f$ の二重点の数を数えるものです。m $> 2 の$ $場合$ 、 Whitneyトリックにより、 $f が$ 埋め込みに対して正則ホモトピックであるのは、 $μ$ $($ $f$ $) = 0 の$ 場合のみです。

埋め込みは分類しやすいので、「多重点のない埋め込み」として研究することができます。したがって、埋め込みから始めて、他の特異点を導入せずに多重点を除去できるかどうかを確認しながら、「多重分離」を研究することができます。これは最初にアンドレ・ヘフリガーによって行われ、このアプローチは余次元3以上で有効です。外科理論の観点からすると、これは結び目理論のように結び目次元である余次元2とは異なり、「高（余）次元」です。これは、トーマス・グッドウィリー、ジョン・クライン、マイケル・S・ワイスによって「ファンクターの計算」を介してカテゴリ的に研究されています。

例と特性

$k$ 枚の花びらを持つ数学的なバラは、1 つの $k$ 組の点を持つ平面への円の埋め込みです。k $は任意の奇数ですが、偶数の場合は 4 の倍数でなければなりません。したがって、$ $k$ $= 2$ の数字 8 はバラではありません。
クラインの壺、およびその他の向き付け不可能な閉曲面は、3次元空間に沈めることができるが、埋め込むことはできない。
ホイットニー・グラウスタインの定理によれば、円の平面への埋め込みの正則ホモトピー類は巻き数によって分類され、これは代数的に数えられた（つまり符号付きの）二重点の数でもある。
球体は裏返すことができる：標準的な埋め込み $f_{0}:\mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ ⁠は関連しています $f_{1}=-f_{0}:\mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ 正則な埋め込みホモトピーによって $f_{t}:\mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}.$ ⁠
少年の表面は、実射影平面を3次元空間に埋め込んだものであり、したがって球面を2対1で埋め込んだものでもある。
モリン曲面は球面の埋め込みであり、モリン曲面とボーイ曲面はどちらも球面反転の中間的なモデルとして現れる。

少年の表面
モリンの表面

埋め込み平面曲線

埋め込み平面曲線には、全曲率を2πで割った $値$ として定義できる、明確な回転数があります。これは、ホイットニー・グラウスタインの定理により、正則ホモトピーの下で不変です。位相的には、ガウス写像の次数、あるいは原点周りの単位接線（ゼロにならない）の巻き数に相当します。さらに、これは完全な不変量の集合であり、同じ回転数を持つ任意の 2 つの平面曲線は正則ホモトピックです。

埋め込み平面曲線は、交点を分離することで埋め込み空間曲線に持ち上げられますが、これは高次元では成り立ちません。追加データ（どちらの鎖が上にあるか）を加えると、埋め込み平面曲線は結び目図を生成し、これは結び目理論において中心的な関心事となります。埋め込み平面曲線は、正則ホモトピーを除いて回転数によって決定されますが、結び目は非常に豊かで複雑な構造を持っています。

3次元空間に沈んだ表面

3次元空間における埋め込み曲面の研究は、結び目図の理論（3次元空間における結び目曲線の投影としての埋め込み平面曲線（2次元空間））との類推により、4次元空間における結び目（埋め込み）曲面の研究と密接に関連しています。4次元空間における結び目曲面が与えられた場合、それを3次元空間における埋め込み曲面に投影することができ、逆に、3次元空間における埋め込み曲面が与えられた場合、それが4次元空間に持ち上げられるかどうか、つまり4次元空間における結び目曲面の投影であるかどうかを問うことができます。これにより、これらの対象に関する問題を関連付けることができます。

平面曲線の場合とは対照的に、基本的な結果として、すべての埋め込み曲面が結び目のある曲面に持ち上げられるわけではない。^{[ 5 ]}場合によっては、障害は 2-ねじれであり、例えばKoschorke の例[6] は^{、結び目の}ある曲面に持ち上げられない埋め込み曲面 (3 つのメビウスの帯から形成され、三重点を持つ) であるが、持ち上げられる二重カバーを持つ。詳細な分析は Carter & Saito (1998a)で、より最近の概説はCarter, Kamada & Saito (2004)で示されている。

一般化

浸漬理論の広範な一般化としてホモトピー原理がある。浸漬条件（導関数の階数が常に $k$ であること）は、関数の偏導関数を用いて表現できるため、偏微分関係（PDR）とみなすことができる。そして、この条件がホモトピー理論に帰着するという結果がスメール・ヒルシュ浸漬理論であり、ホモトピー原理は、PDRがホモトピー理論に帰着するための一般的な条件と理由を与える。

注記

↑この定義は、 Bishop & Crittenden 1964 、p. 2 によって与えられています。185、ダーリン、1994 、p. 53、ド・カルモ、1994 、p. 11、フランケル、1997 、p. 169、ガロット、フーリン、ラフォンテーヌ、2004 年、p. 12、小林・野水、1963 、p. 9、コシンスキー、2007 、p. 27、 Szekeres、2004 、p. 429。
↑この定義は、 Crampin & Pirani 1994 、p. 243、 Spivak 1999 、p. 46によって与えられています。
↑この種の定義は、局所微分同相写像に基づいており、 Bishop & Goldberg 1968 、p. 40、 Lang 1999 、p. 26で与えられています。
↑この種の無限次元の定義は、 Lang 1999 、p. 26で与えられています。
↑カーター＆サイトウ 1998 ;カーター、カマダ＆サイトウ 2004 、注釈 1.23、p. 17
↑コショルケ 1979

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外部リンク

Immersionは、Wayback MachineのManifold Atlasに2020年8月9日にアーカイブされました。
数学百科事典における多様体の埋め込み

[1] この定義は、 Bishop & Crittenden 1964 、p. 2 によって与えられています。185、ダーリン、1994 、p. 53、ド・カルモ、1994 、p. 11、フランケル、1997 、p. 169、ガロット、フーリン、ラフォンテーヌ、2004 年、p. 12、小林・野水、1963 、p. 9、コシンスキー、2007 、p. 27、 Szekeres、2004 、p. 429。

[2] この定義は、 Crampin & Pirani 1994 、p. 243、 Spivak 1999 、p. 46によって与えられています。

[3] この種の定義は、局所微分同相写像に基づいており、 Bishop & Goldberg 1968 、p. 40、 Lang 1999 、p. 26で与えられています。

[4] この種の無限次元の定義は、 Lang 1999 、p. 26で与えられています。

[5] カーター＆サイトウ 1998 ;カーター、カマダ＆サイトウ 2004 、注釈 1.23、p. 17

[6] コショルケ 1979

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[ 5 ]

、結び目の

集中学習（数学）

埋め込みとの比較

正則ホモトピー

分類

存在

余次元0

複数のポイント

例と特性

埋め込み平面曲線

3次元空間に沈んだ表面

一般化

関連項目

注記

参考文献

外部リンク

関連するトピック

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数学

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