特性クラス

数学において、特性類とは、位相空間Xの各主束にXのコホモロジー類を対応させる方法である。コホモロジー類は、束がどの程度「ねじれている」か、また切断を持つかどうかを測る。特性類は、局所積構造が大域積構造からどの程度ずれているかを測る大域的不変量である。これらは、代数トポロジー、微分幾何学、代数幾何学における統一的な幾何学的概念の一つである。

特性類の概念は、1935年にエドゥアルト・シュティーフェルとハスラー・ホイットニーが多様体上のベクトル場について行った研究の中で生まれた。

G を位相群とし、位相空間に対して${\displaystyle X}$、 書く${\displaystyle b_{G}(X)}$上の主Gバンドルの同型類の集合について${\displaystyle X}$。 これ${\displaystyle b_{G}}$は、Top (位相空間と連続関数の圏)からSet (集合と関数の圏) への反変関手で、写像を${\displaystyle f\colon X\to Y}$引き戻し操作へ${\displaystyle f^{*}\colon b_{G}(Y)\to b_{G}(X)}$、 その間${\displaystyle f^{*}=b_{G}(f)}$。

主G束の特性クラス cは、自然変換である。${\displaystyle b_{G}}$コホモロジー関手に${\displaystyle H^{*}}$集合への関数としても考えられている。

言い換えれば、特性クラスは各主Gバンドルに関連付けられる${\displaystyle P\to X}$で${\displaystyle b_{G}(X)}$H *( X ) の要素c ( P ) であって、f : Y → Xが連続写像である場合、c ( f * P ) = f * c ( P ) となるもの。左側はPからYへの引き戻しのクラスであり、右側はコホモロジーにおける誘導写像によるPのクラスの像である。 

特性クラスはコホモロジー群の要素です。^{[ 1 ]}特性クラスから整数を得ることができ、これを特性数と呼びます。特性数の重要な例としては、スティフェル・ホイットニー数、チャーン数、ポントリャーギン数、オイラー標数などがあります。

次元nの向き付けられた多様体Mが基本クラスを持つとします。${\displaystyle [M]\in H_{n}(M)}$、特性クラスを持つGバンドル${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$特性クラスの積を、その全次数nを基本クラスとペアにすることができる。異なる特性数の数は、特性クラス内の次数nの単項式の数、または同等にnを分割した数である。${\displaystyle {\mbox{deg}}\,c_{i}}$。

正式には、${\displaystyle i_{1},\dots ,i_{l}}$そのため${\displaystyle \sum {\mbox{deg}}\,c_{i_{j}}=n}$対応する特性番号は次のとおりです。

${\displaystyle c_{i_{1}}\smile c_{i_{2}}\smile \dots \smile c_{i_{l}}([M])}$

どこ${\displaystyle \smile }$これは、コホモロジー類のカップ積を表します。これらは、特性類の積など、さまざまな形で表記されます。${\displaystyle c_{1}^{2}}$または、次のような別の表記法で${\displaystyle P_{1,1}}$ポントリャーギン数に対応する${\displaystyle p_{1}^{2}}$、 または${\displaystyle \chi }$オイラー標数について。

ド・ラームコホモロジーの観点からは、特性クラスを表す微分形式を取り、 ^{[ 2 ]}ウェッジ積を取って最高次元形式を得てから多様体上で積分することができます。これは、コホモロジーで積を取って基本クラスとペアリングすることに類似しています。

これは向き付け不可能な多様体にも有効で、${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$-方向の場合、次の式が得られます。${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$スティフェル・ホイットニー数などの、値をとる特性数。

特性数は、向き付けられた境界と向き付けられていない境界の問題を解決します。2つの多様体は、特性数が等しい場合に限り、（それぞれ向き付けられた、または向き付けられていない）コボルダントです。

特性類は、本質的にコホモロジー理論の現象である。つまり、空間上の関数の一種である切断のように、特性類は反変な構成物であり、切断の存在から矛盾を導き出すには、その反変性が必要となる。実際、コホモロジー理論は、空間への写像に基づく共変理論であるホモロジーとホモトピー理論の後に発展した。そして、1930年代に初期段階にあった特性類理論（障害理論の一部として）は、ホモロジーの「双対」理論が求められた主要な理由の一つであった。曲率不変量に対する特性類アプローチは、理論を構築し、一般的なガウス・ボンネの定理を証明する特別な理由となった。

1950年頃に理論が体系化され（定義がホモトピー理論に還元された）、当時知られていた最も基本的な特性類（シュティーフェル・ホイットニー類、チャーン類、ポントリャーギン類）が、古典的な線形群とその最大トーラス構造を反映していることが明らかになった。さらに、チャーン類自体もそれほど新しいものではなく、グラスマン多様体上のシューベルト計算やイタリア代数幾何学学派の研究に反映されていた。一方、ベクトル束が関係する場合にはいつでも類族を生成する枠組みが確立された。

主要なメカニズムは次のようであった。ベクトル束を持つ空間Xが与えられたとき、それはホモトピー圏において、関連する線形群Gに対して、 Xから分類空間BGへの写像を意味する。ホモトピー理論では、関連する情報はGの直交群やユニタリ群などのコンパクト部分群によって運ばれる。コホモロジーが確立されると、${\displaystyle H^{*}(BG)}$計算の結果、コホモロジーの反変性特性により、束の特性クラスは次のように定義されることになった。${\displaystyle H^{*}(X)}$同じ次元において。例えば、チャーンクラスは、偶数次元ごとに段階的な要素を持つ、実際には1つのクラスである。

これは今でも古典的な説明ですが、特定の幾何学理論においては、追加の構造を考慮に入れることが有益です。 1955年以降、 K理論とコボルディズム理論の登場によりコホモロジーが「特別な」ものとなったとき、特性類が何であるかを説明するには、文字Hをあらゆる場所で変更するだけで十分でした。

多様体の葉層構造についても後に特性類が発見された。特性類は（許容される特異点を持つ葉層構造については修正された意味で）ホモトピー理論における分類空間理論を持つ。

数学と物理学の融合が進んだ後の研究において、サイモン・ドナルドソンとディーター・コッチックはインスタントン理論で新たな特性クラスを発見した。チャーンの研究と視点もまた重要であることが証明されている（チャーン＝サイモンズ理論を参照） 。

安定ホモトピー理論の言葉で言えば、チャーンクラス、スティフェル・ホイットニークラス、ポントリャーギンクラスは安定であり、オイラークラスは不安定である。

具体的には、安定クラスとは、些細なバンドルを追加しても変化しないクラスのことである。${\displaystyle c(V\oplus 1)=c(V)}$より抽象的に言えば、分類空間のコホモロジー類は${\displaystyle BG(n)}$コホモロジークラスから引き戻す${\displaystyle BG(n+1)}$包含の下で${\displaystyle BG(n)\to BG(n+1)}$（これは包含に対応します）${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n+1}}$（同様）同様に、すべての有限特性クラスは安定クラスから後退します。${\displaystyle BG}$。

これは、そこに詳述されているオイラークラスには当てはまりません。特に、k次元バンドルのオイラークラスは${\displaystyle H^{k}(X)}$（したがって、${\displaystyle H^{k}(BO(k))}$そのため、クラスから引き返すことはできません${\displaystyle H^{k+1}}$寸法が異なるため。

• セグレクラス
• オイラー標数
• チェンクラス
• トッドクラス

• Chern, Shiing-Shen (1995).ポテンシャル理論のない複素多様体. Springer-Verlag Press. ISBN 0-387-90422-0。ISBN 3-540-90422-0。

  本書の付録である「特性類の幾何学」は、特性類の概念の発展について、非常に簡潔かつ深遠な入門書となっている。

• ハッチャー、アレン、「ベクトル束とK理論」
• ヒューゼモラー、デール（1966）。繊維束（第3版、シュプリンガー1993年 版）。マグロウヒル。ISBN 0387940871。
• ミルナー、ジョン・W.、スタシェフ、ジェームズ・D. (1974).特性クラス. 数学研究年報. 第 76巻. プリンストン大学出版局; 東京大学出版会. ISBN 978-0-691-08122-9. MR 0440554 .