数学の概念
正規分布 N (0, σ2 )の ボックス プロット と確率密度関数 。 任意の単峰性確率密度関数の モード 、 中央値 、 平均 の幾何学的視覚化。 [1] 確率論 において 、 確率密度関数 ( PDF )、 密度関数 、または 絶対連続ランダム変数 の 密度 は、 サンプル空間 (ランダム変数が取る可能性のある値の集合)内の任意のサンプル (またはポイント) での値が、 ランダム変数の値がそのサンプルに等しい 相対的な尤度 を提供すると解釈できる 関数です。 [2] [3] 確率密度は単位長さあたりの確率です。言い換えると、連続ランダム変数が特定の値を取る 絶対尤度は 0 ですが (そもそも可能な値の集合は無限にあるため)、2 つの異なるサンプルでの PDF の値を使用して、ランダム変数の任意の特定の抽出において、ランダム変数が 1 つのサンプルに近づく可能性が他のサンプルに比べてどれだけ高いかを推測できます。
より正確には、PDF は、 ランダム変数が 1 つの値を取るのではなく、 特定の値の範囲内に 収まる確率を指定するために使用されます。この確率は、この変数の PDF をその範囲で 積分する ことによって与えられます。つまり、密度関数の下、水平軸の上、および範囲の最小値と最大値の間の領域によって与えられます。確率密度関数はどこでも負ではなく、曲線全体の下の領域は 1 に等しくなります。
確率分布関数 や 確率関数 という用語は 、確率密度関数を表すために使用されることもあります。しかし、この用法は確率論者や統計学者の間では標準的ではありません。他の情報源では、「確率分布関数」は、 確率分布が一般的な値の集合に対する関数として定義されている場合や、 累積分布関数 を指す場合 、または 密度ではなく確率 質量関数(PMF) を指す場合があります。「密度関数」自体も確率質量関数に使用されるため、さらに混乱が生じます。 [4] ただし、一般的には、PMF は 離散ランダム変数 (可算集合上の値を取るランダム変数) のコンテキストで使用され、PDF は連続ランダム変数のコンテキストで使用されます。
例 4 つの連続確率密度関数の例。 ある種の細菌の寿命が通常 20 ～ 30 時間であるとします。細菌が ちょうど 5 時間生きる確率はゼロです。多くの細菌は約 5 時間生きますが、特定の細菌がちょうど 5.00... 時間で死ぬ可能性はありません。ただし、細菌が 5 時間から 5.01 時間の間に死ぬ確率は定量化できます。答えが 0.02 (つまり 2%) だとします。すると、細菌が 5 時間から 5.001 時間の間に死ぬ確率は、この時間間隔が前の 10 分の 1 であるため、約 0.087 になります。細菌が 5 時間から 5.0001 時間の間に死ぬ確率は約 0.0087 になるはずです。
この例では、比率 (間隔中に生存する確率) / (間隔の持続時間) はほぼ一定で、1 時間あたり 2 (または 2 時間 −1 ) に等しくなります。たとえば、5 時間から 5.01 時間までの 0.01 時間間隔で死亡する確率は 0.02 で、(0.02 確率 / 0.01 時間) = 2 時間 −1 です。この量 2 時間 −1 は、約 5 時間で死亡する確率密度と呼ばれます。したがって、細菌が 5 時間で死亡する確率は、(2 時間 −1 ) dt と表記できます 。これは、細菌が 5 時間前後の微小な時間枠内で死亡する確率です。ここで、 dt は この時間枠の持続時間です。たとえば、細菌が 5 時間より長く生存するが、(5 時間 + 1 ナノ秒) より短く生存する確率は、(2 時間 −1 )×(1 ナノ秒) ≈です。 6 × 10 −13 （ 単位変換を使用） 3.6 × 10 12 ナノ秒 = 1 時間)。
確率密度関数 f は f (5 時間) = 2 時間 −1 です。任意の時間枠 (微小な時間枠だけでなく大きな時間枠も含む) にわたる f の 積分は 、その時間枠内で細菌が死ぬ確率です。
絶対連続一変量分布 確率密度関数は、絶対連続な 一変量分布 に最もよく関連付けられます 。 ランダム変数 の密度 は で、 は 非負の ルベーグ積分 関数です。
X
{\displaystyle X}
f
X
{\displaystyle f_{X}}
f
X
{\displaystyle f_{X}}
Pr
[
a
≤
X
≤
b
]
=
∫
a
b
f
X
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \Pr[a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx.}
したがって、 が の 累積分布関数 である場合 、次の式が成り立ちます。
（ が で連続である場合 ）
F
X
{\displaystyle F_{X}}
X
{\displaystyle X}
F
X
(
x
)
=
∫
−
∞
x
f
X
(
u
)
d
u
,
{\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(u)\,du,}
f
X
{\displaystyle f_{X}}
x
{\displaystyle x}
f
X
(
x
)
=
d
d
x
F
X
(
x
)
.
{\displaystyle f_{X}(x)={\frac {d}{dx}}F_{X}(x).}
直感的には、 は無限小 間隔 内に入る確率であると 考えることができます 。
f
X
(
x
)
d
x
{\displaystyle f_{X}(x)\,dx}
X
{\displaystyle X}
[
x
,
x
+
d
x
]
{\displaystyle [x,x+dx]}
(この定義は、 測度論的な 確率の定義を 使用して任意の確率分布に拡張できます 。 )
測定可能な空間 （通常は測定可能な部分集合として ボレル集合 を持つ ） に値を持つ ランダム変数は 、 確率分布 として上の 測度 X ∗ P を 持ちます。 上の 参照測度に関する の 密度は、 ラドン・ニコディム導関数 です 。
X
{\displaystyle X}
(
X
,
A
)
{\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
(
X
,
A
)
{\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}
X
{\displaystyle X}
μ
{\displaystyle \mu }
(
X
,
A
)
{\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}
f
=
d
X
∗
P
d
μ
.
{\displaystyle f={\frac {dX_{*}P}{d\mu }}.}
つまり、 f は、任意の測定可能な集合に対して
、
Pr
[
X
∈
A
]
=
∫
X
−
1
A
d
P
=
∫
A
f
d
μ
{\displaystyle \Pr[X\in A]=\int _{X^{-1}A}\,dP=\int _{A}f\,d\mu }
A
∈
A
.
{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}.}
議論 上記の連続一変量の場合、基準測度は ルベーグ測度 です。 離散ランダム変数 の 確率質量関数は、標本空間（通常は 整数 の集合 、またはそのサブセット）
上の 計数測度 に関する密度です。
任意の測度を参照して密度を定義することはできません (たとえば、連続ランダム変数の参照として計数測度を選択することはできません)。さらに、密度が存在する場合、密度はほぼ一意であり、任意の 2 つの密度が ほぼすべての場所で 一致することを意味します。
詳細情報 確率とは異なり、確率密度関数は 1 より大きい値を取ることができます。たとえば、 区間 [0, 1/2]上の 連続一様分布では、 0 ≤ x ≤ 1/2 の場合に 確率密度 f ( x ) = 2 となり、それ以外の場合は f ( x ) = 0 と なります。
標準 正規分布の 確率密度は
f
(
x
)
=
1
2
π
e
−
x
2
/
2
.
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-x^{2}/2}.}
確率変数 X が与えられ、その分布が確率密度関数 f を許容する場合、 X の 期待値 （期待値が存在する場合）は次のように計算できます。
E
[
X
]
=
∫
−
∞
∞
x
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx.}
すべての確率分布が密度関数を持つわけではありません。離散確率変数 の分布は密度関数を 持ちません。また、 カントール分布は 離散成分を持たない、つまり個々の点に正の確率を割り当てないにもかかわらず、密度関数を持ちません。
分布が密度関数を持つのは、その 累積分布関数 F ( x ) が 絶対連続で ある場合のみです。この場合、 F は ほぼどこでも 微分可能で あり、その導関数は確率密度として使用できます。
d
d
x
F
(
x
)
=
f
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)=f(x).}
確率分布が密度を許容する場合、すべての 1 点集合 { a } の確率はゼロになります。有限集合と可算集合についても同様です。
2 つの確率密度 f と g は、 ルベーグ 測度 0 の集合上でのみ異なる場合、正確に 同じ 確率分布 を表します。
統計物理学 の分野では、 累積分布関数 の導関数と確率密度関数の関係を非形式的に再定式化したものが、 確率密度関数の定義として一般的に用いられている。この別の定義は以下のとおりである。
dt が 無限に小さい数である 場合、 X が区間 ( t 、 t + dt )内に含まれる確率は f ( t ) dt に等しくなります 。つまり、
Pr
(
t
<
X
<
t
+
d
t
)
=
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \Pr(t<X<t+dt)=f(t)\,dt.}
離散分布と連続分布のリンク ディラックのデルタ関数 を使用すると、 特定の離散ランダム変数や、連続部分と離散部分の両方を含むランダム変数を 一般化確率密度関数で表すことができます。(これは、上で定義した意味での確率密度関数では不可能ですが、 分布 では可能です 。) たとえば、 ラデマッハ分布 、つまり 、値が -1 または 1 で、確率がそれぞれ 1 ⁄ 2 である 2 進離散ランダム変数 を考えます。この変数に関連付けられた確率密度は次のとおりです。
f
(
t
)
=
1
2
(
δ
(
t
+
1
)
+
δ
(
t
−
1
)
)
.
{\displaystyle f(t)={\frac {1}{2}}(\delta (t+1)+\delta (t-1)).}
より一般的には、離散変数が 実数の中で
n 個 の異なる値をとることができる場合、関連する確率密度関数は次のようになります。
ここで、 は 変数にアクセスできる離散値であり、 は これらの値に関連付けられた確率です。
f
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
p
i
δ
(
t
−
x
i
)
,
{\displaystyle f(t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,\delta (t-x_{i}),}
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
p
1
,
…
,
p
n
{\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}
これにより、離散確率分布と連続確率分布の扱いが実質的に統一されます。上記の式により、確率の連続分布に与えられた式から始めて、このような離散変数の統計特性 (平均、 分散 、 尖度 など ) を決定できます。
密度のファミリー 確率密度関数 (および確率質量関数 ) は、パラメータ化されること、つまり、指定されていない パラメータ によって特徴付けられること が一般的です 。たとえば、 正規分布は 平均 と 分散 でパラメータ化され 、それぞれ および で表され 、密度族 が得られます。
パラメータの異なる値は、 同じ 標本空間(変数のすべての可能な値の同じ集合) 上の異なる ランダム変数 の異なる分布を表します。この標本空間は、この分布族が表すランダム変数族のドメインです。特定のパラメータ セットは、密度の関数形式を共有する族内の単一の分布を表します。特定の分布の観点からは、パラメータは定数であり、密度関数でパラメータのみを含み変数を含まない項は、分布の 正規化係数 (密度の下の領域 (ドメイン内で 何かが 発生する確率) が 1 に等しくなるようにする乗法係数) の一部です。この正規化係数は 、分布の
カーネル の外側にあります。
μ
{\displaystyle \mu }
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
f
(
x
;
μ
,
σ
2
)
=
1
σ
2
π
e
−
1
2
(
x
−
μ
σ
)
2
.
{\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.}
パラメータは定数であるため、異なるパラメータに関して密度を再パラメータ化して、ファミリ内の異なるランダム変数の特性を与えることは、単に新しいパラメータ値を古い値の代わりに式に代入することを意味します。
複数の変数に関連する密度 連続したランダム変数 X 1 、...、 X n については 、集合全体に関連付けられた確率密度関数を定義することも可能であり、これはしばしば 結合確率密度関数 と呼ばれる。この密度関数は n 個の変数の関数として定義され、変数 X 1 、...、 X n の値のn 次元空間内の 任意のドメイン D について、集合変数の実現がドメイン D 内に含まれる確率は、
Pr
(
X
1
,
…
,
X
n
∈
D
)
=
∫
D
f
X
1
,
…
,
X
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
d
x
1
⋯
d
x
n
.
{\displaystyle \Pr \left(X_{1},\ldots ,X_{n}\in D\right)=\int _{D}f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{n}.}
F ( x 1 , ..., x n ) = Pr( X 1 ≤ x 1 , ..., X n ≤ x n ) がベクトル ( X 1 , ..., X n )の 累積分布関数 である 場合 、結合確率密度関数は偏微分として計算できます。
f
(
x
)
=
∂
n
F
∂
x
1
⋯
∂
x
n
|
x
{\displaystyle f(x)=\left.{\frac {\partial ^{n}F}{\partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}}\right|_{x}}
限界密度 i = 1, 2, ..., n に対して 、 f X i ( x i ) を変数 X i のみに関連付けられた確率密度関数とします。これは限界密度関数と呼ばれ、ランダム変数X 1 、 ..., X n に関連付けられた確率密度から、他の n − 1 個 の変数のすべての値を積分することで推定できます 。
f
X
i
(
x
i
)
=
∫
f
(
x
1
,
…
,
x
n
)
d
x
1
⋯
d
x
i
−
1
d
x
i
+
1
⋯
d
x
n
.
{\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})=\int f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{i-1}\,dx_{i+1}\cdots dx_{n}.}
独立 結合密度を許容する 連続確率変数 X 1 , ..., X n が 互いに
独立である場合、そしてその場合のみ、
f
X
1
,
…
,
X
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
f
X
1
(
x
1
)
⋯
f
X
n
(
x
n
)
.
{\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{1}}(x_{1})\cdots f_{X_{n}}(x_{n}).}
帰結 n個 のランダム変数のベクトルの結合確率密度関数が、 1変数の
n 個の関数の積に因数分解できる場合
（各 f i は 必ずしも密度ではない）、その 集合内の n個の変数はすべて互いに 独立しており 、それぞれの限界確率密度関数は次のように与えられる。
f
X
1
,
…
,
X
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
f
1
(
x
1
)
⋯
f
n
(
x
n
)
,
{\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n}),}
f
X
i
(
x
i
)
=
f
i
(
x
i
)
∫
f
i
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})={\frac {f_{i}(x_{i})}{\int f_{i}(x)\,dx}}.}
例 この基本的な例は、2つの変数の集合の関数という単純なケースにおける多次元確率密度関数の上記の定義を示しています。座標 ( X 、 Y ) の2次元ランダムベクトルを呼ぶと、正の x と y の1/4平面で 得られる確率 は
R
→
{\displaystyle {\vec {R}}}
R
→
{\displaystyle {\vec {R}}}
Pr
(
X
>
0
,
Y
>
0
)
=
∫
0
∞
∫
0
∞
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle \Pr \left(X>0,Y>0\right)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy.}
確率変数の関数と確率密度関数における変数の変化 ランダム変数（またはベクトル） X の確率密度関数が f X ( x ) として与えられている場合、何らかの変数 Y = g ( X ) の確率密度関数を計算することが可能です（ただし、多くの場合は計算する必要はありません。以下を参照） 。これは「変数の変更」とも呼ばれ、実際には 既知の（たとえば、一様）乱数ジェネレータを使用して
任意の形状のランダム変数 f g ( X ) = f Yを生成するために使用されます。
期待値E( g ( X )) を求めるには、まず 新しいランダム変数 Y = g ( X ) の確率密度 f g ( X ) を求め
なければならないと考えるのは魅力的である
。しかし、計算する代わりに、
E
(
g
(
X
)
)
=
∫
−
∞
∞
y
f
g
(
X
)
(
y
)
d
y
,
{\displaystyle \operatorname {E} {\big (}g(X){\big )}=\int _{-\infty }^{\infty }yf_{g(X)}(y)\,dy,}
E
(
g
(
X
)
)
=
∫
−
∞
∞
g
(
x
)
f
X
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \operatorname {E} {\big (}g(X){\big )}=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx.}
2つの積分の値は、 X と g ( X )の両方が実際に確率密度関数を持つすべてのケースで同じです。g が 1対1の関数 である 必要はありません。場合によっては、後者の積分の方が前者の積分よりもはるかに簡単に計算されます。 無意識の統計学者の法則 を参照してください 。
スカラーからスカラー を単調関数 と する と、結果として得られる密度関数は [5]となる。
g
:
R
→
R
{\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
f
Y
(
y
)
=
f
X
(
g
−
1
(
y
)
)
|
d
d
y
(
g
−
1
(
y
)
)
|
.
{\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\left|{\frac {d}{dy}}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\right|.}
ここで g −1は 逆関数 を表す 。
これは、微分領域に含まれる確率は変数の変化に対して不変でなければならないという事実から導かれる。つまり
、
|
f
Y
(
y
)
d
y
|
=
|
f
X
(
x
)
d
x
|
,
{\displaystyle \left|f_{Y}(y)\,dy\right|=\left|f_{X}(x)\,dx\right|,}
f
Y
(
y
)
=
|
d
x
d
y
|
f
X
(
x
)
=
|
d
d
y
(
x
)
|
f
X
(
x
)
=
|
d
d
y
(
g
−
1
(
y
)
)
|
f
X
(
g
−
1
(
y
)
)
=
|
(
g
−
1
)
′
(
y
)
|
⋅
f
X
(
g
−
1
(
y
)
)
.
{\displaystyle f_{Y}(y)=\left|{\frac {dx}{dy}}\right|f_{X}(x)=\left|{\frac {d}{dy}}(x)\right|f_{X}(x)=\left|{\frac {d}{dy}}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\right|f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}={\left|\left(g^{-1}\right)'(y)\right|}\cdot f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}.}
単調でない関数の場合、 y の確率密度関数は、
n ( y ) は 方程式 に対する x の解の数 、および はこれらの解です。
∑
k
=
1
n
(
y
)
|
d
d
y
g
k
−
1
(
y
)
|
⋅
f
X
(
g
k
−
1
(
y
)
)
,
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n(y)}\left|{\frac {d}{dy}}g_{k}^{-1}(y)\right|\cdot f_{X}{\big (}g_{k}^{-1}(y){\big )},}
g
(
x
)
=
y
{\displaystyle g(x)=y}
g
k
−
1
(
y
)
{\displaystyle g_{k}^{-1}(y)}
ベクトルからベクトルへ x が結合密度 f を 持つn 次元のランダム変数 である とする 。 y = G ( x ) （ G は全単射で 微分 可能 な関数 ）のとき、 y の 密度は p Y :
を持ち、微分は y で評価された G (⋅) の逆関数の ヤコビ行列
とみなされる 。 [6]
p
Y
(
y
)
=
f
(
G
−
1
(
y
)
)
|
det
[
d
G
−
1
(
z
)
d
z
|
z
=
y
]
|
{\displaystyle p_{Y}(\mathbf {y} )=f{\Bigl (}G^{-1}(\mathbf {y} ){\Bigr )}\left|\det \left[\left.{\frac {dG^{-1}(\mathbf {z} )}{d\mathbf {z} }}\right|_{\mathbf {z} =\mathbf {y} }\right]\right|}
例えば、2次元の場合 x = ( x 1 , x 2 ) 、変換 Gが y 1 = G 1 ( x 1 , x 2 ) 、 y 2 = G 2 ( x 1 , x 2 ) と与えられ、逆変換が x 1 = G 1 −1 ( y 1 , y 2 ) 、 x 2 = G 2 −1 ( y 1 , y 2 ) であるとする。 y = ( y 1 , y 2 )の結合分布の密度は [7] である。
p
Y
1
,
Y
2
(
y
1
,
y
2
)
=
f
X
1
,
X
2
(
G
1
−
1
(
y
1
,
y
2
)
,
G
2
−
1
(
y
1
,
y
2
)
)
|
∂
G
1
−
1
∂
y
1
∂
G
2
−
1
∂
y
2
−
∂
G
1
−
1
∂
y
2
∂
G
2
−
1
∂
y
1
|
.
{\displaystyle p_{Y_{1},Y_{2}}(y_{1},y_{2})=f_{X_{1},X_{2}}{\big (}G_{1}^{-1}(y_{1},y_{2}),G_{2}^{-1}(y_{1},y_{2}){\big )}\left\vert {\frac {\partial G_{1}^{-1}}{\partial y_{1}}}{\frac {\partial G_{2}^{-1}}{\partial y_{2}}}-{\frac {\partial G_{1}^{-1}}{\partial y_{2}}}{\frac {\partial G_{2}^{-1}}{\partial y_{1}}}\right\vert .}
ベクトルからスカラー を微分可能関数、 を の範囲の値を取るランダムベクトルとし 、 を の確率密度関数 、を ディラックのデルタ 関数 とします 。上記の公式を使用して の確率密度関数を決定することができ 、これは次のように与えられます。
V
:
R
n
→
R
{\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
X
{\displaystyle X}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
f
X
{\displaystyle f_{X}}
X
{\displaystyle X}
δ
(
⋅
)
{\displaystyle \delta (\cdot )}
f
Y
{\displaystyle f_{Y}}
Y
=
V
(
X
)
{\displaystyle Y=V(X)}
f
Y
(
y
)
=
∫
R
n
f
X
(
x
)
δ
(
y
−
V
(
x
)
)
d
x
.
{\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} .}
この結果は、 無意識の統計学者の法則 につながります。
E
Y
[
Y
]
=
∫
R
y
f
Y
(
y
)
d
y
=
∫
R
y
∫
R
n
f
X
(
x
)
δ
(
y
−
V
(
x
)
)
d
x
d
y
=
∫
R
n
∫
R
y
f
X
(
x
)
δ
(
y
−
V
(
x
)
)
d
y
d
x
=
∫
R
n
V
(
x
)
f
X
(
x
)
d
x
=
E
X
[
V
(
X
)
]
.
{\displaystyle \operatorname {E} _{Y}[Y]=\int _{\mathbb {R} }yf_{Y}(y)\,dy=\int _{\mathbb {R} }y\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} \,dy=\int _{{\mathbb {R} }^{n}}\int _{\mathbb {R} }yf_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,dy\,d\mathbf {x} =\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(\mathbf {x} )f_{X}(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} =\operatorname {E} _{X}[V(X)].}
証拠：
を確率密度関数（つまり、定数がゼロ）を持つ縮約されたランダム変数とする 。 ランダムベクトル と変換を 次のように定義する。
Z
{\displaystyle Z}
p
Z
(
z
)
=
δ
(
z
)
{\displaystyle p_{Z}(z)=\delta (z)}
X
~
{\displaystyle {\tilde {X}}}
H
{\displaystyle H}
H
(
Z
,
X
)
=
[
Z
+
V
(
X
)
X
]
=
[
Y
X
~
]
.
{\displaystyle H(Z,X)={\begin{bmatrix}Z+V(X)\\X\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y\\{\tilde {X}}\end{bmatrix}}.}
は全単射である ことは明らかで、 のヤコビアンは次 のように与えられます。
これは主対角線上に 1 がある上三角行列なので、その行列式は 1 です。前のセクションの変数変換定理を適用すると、 が得られ、
これを に対して周辺化すると 、目的の確率密度関数が得られます。
H
{\displaystyle H}
H
−
1
{\displaystyle H^{-1}}
d
H
−
1
(
y
,
x
~
)
d
y
d
x
~
=
[
1
−
d
V
(
x
~
)
d
x
~
0
n
×
1
I
n
×
n
]
,
{\displaystyle {\frac {dH^{-1}(y,{\tilde {\mathbf {x} }})}{dy\,d{\tilde {\mathbf {x} }}}}={\begin{bmatrix}1&-{\frac {dV({\tilde {\mathbf {x} }})}{d{\tilde {\mathbf {x} }}}}\\\mathbf {0} _{n\times 1}&\mathbf {I} _{n\times n}\end{bmatrix}},}
f
Y
,
X
(
y
,
x
)
=
f
X
(
x
)
δ
(
y
−
V
(
x
)
)
,
{\displaystyle f_{Y,X}(y,x)=f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )},}
x
{\displaystyle x}
独立した確率変数の合計 それぞれ確率密度関数を持つ 2 つの 独立した ランダム変数 U と V の合計の確率密度関数は、それらの個別の密度関数の 畳み込み です。
f
U
+
V
(
x
)
=
∫
−
∞
∞
f
U
(
y
)
f
V
(
x
−
y
)
d
y
=
(
f
U
∗
f
V
)
(
x
)
{\displaystyle f_{U+V}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{U}(y)f_{V}(x-y)\,dy=\left(f_{U}*f_{V}\right)(x)}
前述の関係を、密度がU 1 、...、 U N であるN個の独立したランダム変数の合計に一般化することができます 。
f
U
1
+
⋯
+
U
(
x
)
=
(
f
U
1
∗
⋯
∗
f
U
N
)
(
x
)
{\displaystyle f_{U_{1}+\cdots +U}(x)=\left(f_{U_{1}}*\cdots *f_{U_{N}}\right)(x)}
これは、独立したランダム変数の商に関する以下の例と同様に、
Y = U + V および Z = V を 含む変数の双方向変更から導くことができます。
独立確率変数の積と商 それぞれ確率密度関数を持つ2 つの独立したランダム変数 U と V が与えられた場合、積 Y = UV と商 Y = U / V の密度は変数の変更によって計算できます。
例: 商分布 2 つの独立したランダム変数 U と V の商 Y = U / V を計算するには、次の変換を定義します。
Y
=
U
/
V
Z
=
V
{\displaystyle {\begin{aligned}Y&=U/V\\[1ex]Z&=V\end{aligned}}}
次に、変数をU 、 Vから Y 、 Z に変更することで 結合密度 p ( y 、 z ) を計算し 、 結合密度から
Z を 周辺化することで Y を 導出できます。
逆変換は
U
=
Y
Z
V
=
Z
{\displaystyle {\begin{aligned}U&=YZ\\V&=Z\end{aligned}}}
この変換の
ヤコビ行列式 の絶対値は 次のようになります。
J
(
U
,
V
∣
Y
,
Z
)
{\displaystyle J(U,V\mid Y,Z)}
|
det
[
∂
u
∂
y
∂
u
∂
z
∂
v
∂
y
∂
v
∂
z
]
|
=
|
det
[
z
y
0
1
]
|
=
|
z
|
.
{\displaystyle \left|\det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial y}}&{\frac {\partial u}{\partial z}}\\{\frac {\partial v}{\partial y}}&{\frac {\partial v}{\partial z}}\end{bmatrix}}\right|=\left|\det {\begin{bmatrix}z&y\\0&1\end{bmatrix}}\right|=|z|.}
したがって：
p
(
y
,
z
)
=
p
(
u
,
v
)
J
(
u
,
v
∣
y
,
z
)
=
p
(
u
)
p
(
v
)
J
(
u
,
v
∣
y
,
z
)
=
p
U
(
y
z
)
p
V
(
z
)
|
z
|
.
{\displaystyle p(y,z)=p(u,v)\,J(u,v\mid y,z)=p(u)\,p(v)\,J(u,v\mid y,z)=p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|.}
Y の分布は Z を 周辺化する ことで計算できます 。
p
(
y
)
=
∫
−
∞
∞
p
U
(
y
z
)
p
V
(
z
)
|
z
|
d
z
{\displaystyle p(y)=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\,dz}
この方法では、 U 、 Vから Y 、 Z への変換が 全単射で ある ことが不可欠です 。上記の変換は、 Z を V に直接マッピングでき 、与えられた V に対して商 U / V が 単調であるため、この要件を満たしています。これは、和 U + V 、差 U − V 、積 UV の場合も同様です 。
まったく同じ方法を使用して、複数の独立したランダム変数の他の関数の分布を計算することもできます。
例: 2つの標準正規分布の商 2 つの 標準正規 変数 U と V が与えられた場合、商は次のように計算できます。まず、変数には次の密度関数があります。
p
(
u
)
=
1
2
π
e
−
u
2
/
2
p
(
v
)
=
1
2
π
e
−
v
2
/
2
{\displaystyle {\begin{aligned}p(u)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{u^{2}}/{2}}\\[1ex]p(v)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{v^{2}}/{2}}\end{aligned}}}
上記のように変換します。
Y
=
U
/
V
Z
=
V
{\displaystyle {\begin{aligned}Y&=U/V\\[1ex]Z&=V\end{aligned}}}
これは次の結果につながります:
p
(
y
)
=
∫
−
∞
∞
p
U
(
y
z
)
p
V
(
z
)
|
z
|
d
z
=
∫
−
∞
∞
1
2
π
e
−
1
2
y
2
z
2
1
2
π
e
−
1
2
z
2
|
z
|
d
z
=
∫
−
∞
∞
1
2
π
e
−
1
2
(
y
2
+
1
)
z
2
|
z
|
d
z
=
2
∫
0
∞
1
2
π
e
−
1
2
(
y
2
+
1
)
z
2
z
d
z
=
∫
0
∞
1
π
e
−
(
y
2
+
1
)
u
d
u
u
=
1
2
z
2
=
−
1
π
(
y
2
+
1
)
e
−
(
y
2
+
1
)
u
|
u
=
0
∞
=
1
π
(
y
2
+
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}p(y)&=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}z^{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}z\,dz\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\,du&&u={\tfrac {1}{2}}z^{2}\\[5pt]&=\left.-{\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\right|_{u=0}^{\infty }\\[5pt]&={\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}\end{aligned}}}
これは標準コーシー分布 の密度です 。
参照 密度推定 – 観測不可能な基礎確率密度関数の推定 カーネル密度推定 – Estimator Pages displaying short descriptions with no spaces 尤度関数 – 統計学と確率論に関連する関数 確率分布の一覧 確率振幅 – 絶対値の二乗が確率となる複素数 確率質量関数 – 離散変数確率分布 二次対策 位置確率密度 として使用します 。
原子軌道 – 原子内の電子を表す関数 行動圏 – 動物が生活し、定期的に移動する領域
参考文献
^ 「AP Statistics Review - Density Curves and the Normal Distributions」。2015年4月2日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2015年 3月16日 閲覧。 ^ グリンステッド、チャールズ M.、スネル、J. ローリー (2009)。「条件付き確率 - 離散条件」 (PDF) 。 グリンステッドとスネルの確率入門 。オレンジ グローブ テキスト 。ISBN 978-1616100469 . 2003年4月25日時点のオリジナルより アーカイブ （PDF） . 2019年7月25日 閲覧。 ^ 「確率 - 実数直線上の一様乱数は有効な分布か？」 Cross Validated 。 2021年10月6日 閲覧 。 ^ Ord, JK ( 1972) Families of Frequency Distributions 、Griffin。ISBN 0-85264-137-0 （例えば、表5.1と例5.4） ^ Siegrist, Kyle. 「ランダム変数の変換」。LibreTexts Statistics 。 2023年 12月22日 閲覧 。 ^ Devore, Jay L.; Berk, Kenneth N. (2007). 現代数理統計学とその応用. Cengage. p. 263. ISBN 978-0-534-40473-4 。 ^ デイビッド・スターザカー（2007年1月1日）。 『初等確率論 』ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 978-0521534284 . OCLC 851313783.
さらに読む
外部リンク
![{\displaystyle \Pr[a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45fd7691b5fbd323f64834d8e5b8d4f54c73a6f8)
![{\displaystyle [x,x+dx]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f07271dbe3f8967834a2eaf143decd7e41c61d7a)
![{\displaystyle \Pr[X\in A]=\int _{X^{-1}A}\,dP=\int _{A}f\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591b4a96fefea18b28fe8eb36d3469ad6b33a9db)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ce7a00fac378eafc98afb88de88d619e15e996)
![{\displaystyle p_{Y}(\mathbf {y} )=f{\Bigl (}G^{-1}(\mathbf {y} ){\Bigr )}\left|\det \left[\left. {\frac {dG^{-1}(\mathbf {z} )}{d\mathbf {z} }}\right|_{\mathbf {z} =\mathbf {y} }\right]\right| }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48cc1c800c9d64079df336d91594f175aa00dfa0)
![{\displaystyle \operatorname {E} _{Y}[Y]=\int _{\mathbb {R} }yf_{Y}(y)\,dy=\int _{\mathbb {R} }y\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}yV(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} \,dy=\int _{{\mathbb {R} }^{n}}\int _{\mathbb {R} }yf_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}yV(\mathbf {x} ){\big )}\,dy\,d\mathbf {x} =\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(\mathbf {x} )f_{X}(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} =\operatorname {E} _{X}[V(X)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad5325e96f2d76c533cb1a21d2095e8cf16e6fc7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Y&=U/V\\[1ex]Z&=V\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878eef546b1fb56d8cd6843edf0d6666642a77e2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}p(u)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{u^{2}}/{2}}\\[1ex]p(v)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{v^{2}}/{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1edf70beff1658f6db7cafd4dd84111b4d3c0c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}p(y)&=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\ ,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2 }}y^{2}z^{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}| z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}z\,dz \\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\、 du&&u={\tfrac {1}{2}}z^{2}\\[5pt]&=\left.-{\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right) }}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\right|_{u=0}^{\infty }\\[5pt]&={\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63983efb2501c35f094487a9c6473a30e9405551)