座屈

構造工学において、座屈とは、圧縮を受けた柱の曲がりやせん断を受けた板のしわなど、荷重を受けた構造部材の形状（変形）が突然変化することを指します。構造物が徐々に増加する荷重を受けると、荷重が臨界レベルに達すると、部材が突然形状を変え、構造物と部材が座屈したと言われます。^[2]オイラーの臨界荷重とジョンソンの放物線式は、柱の座屈応力を決定するために使用されます。

構造に生じる応力が、構造を構成する材料の破損を引き起こすのに必要な応力よりはるかに低い場合でも、座屈が発生することがあります。さらに荷重がかかると、かなり予測できない変形が発生し、部材の耐荷重能力が完全に失われる可能性があります。ただし、座屈後に発生する変形によってその部材が完全に崩壊しない場合は、その部材は座屈の原因となった荷重を支え続けます。座屈した部材が建物などのより大きな部品の集合体の一部である場合、部材の座屈の原因となった荷重を超えて構造の座屈部分にかかる荷重は、構造内で再分配されます。航空機の中には、座屈状態でも荷重を支え続けるように薄い外皮パネルが設計されているものもあります。

柱の有効長さと断面の最小回転半径の比は、細長比と呼ばれます(ギリシャ文字のラムダ (λ) で表されることもあります)。この比は、柱とその破損モードを分類する手段となります。細長比は設計上の考慮事項として重要です。以下はすべて、便宜上使用される概算値です。

柱にかかる荷重が柱の断面の重心(図心) を通じて適用される場合、その荷重は軸荷重と呼ばれます。断面の他の点にかかる荷重は偏心荷重として知られています。軸荷重の作用を受ける短い柱は、座屈する前に直接圧縮によって破損しますが、同じ荷重を受けた長い柱は、曲げモードで突然横方向に跳ね返って破損します (座屈)。たわみの座屈モードは破損モードと見なされ、通常、軸圧縮応力 (直接圧縮) によって圧縮部材が降伏または破損して材料が破損する前に発生します。ただし、中程度の長さの柱は、直接圧縮応力と曲げの組み合わせによって破損します。

特に：

• 短い鋼柱は、細長比が 50 を超えないものです。中程度の長さの鋼柱は、細長比が約 50 から 200 の範囲にあり、その動作は材料の強度限界によって支配されます。一方、長い鋼柱は、細長比が 200 を超えると想定され、その動作は材料の弾性係数によって支配されます。
• 短いコンクリート柱とは、支持されていない長さと断面の最小寸法の比率が 10 以下である柱のことです。比率が 10 より大きい場合は、長い柱 (細柱と呼ばれることもあります) と見なされます。
• 木材柱は、長さと断面の最小寸法の比が 10 以下の場合、短柱として分類できます。中程度の木材柱と長い木材柱の境界線は簡単には判断できません。長い木材柱の下限を定義する 1 つの方法は、材料の特定の定数 K をちょうど超える長さと最小断面積の比の最小値として設定することです。K は弾性係数と木目と平行な許容圧縮応力に依存するため、この任意の制限は木材の種類によって異なることがわかります。K の値は、ほとんどの構造ハンドブックに記載されています。

柱の挙動の理論は、1757 年に数学者レオンハルト オイラーによって研究されました。彼は、長くて細い理想的な柱が座屈することなく支えることができる最大軸荷重を与える、オイラーの臨界荷重と呼ばれる式を導き出しました。理想的な柱とは、次のような柱です。

• 完全にまっすぐ
• 均質な材料で作られた
• 初期のストレスから解放されます。

加えられた荷重がオイラー荷重（臨界荷重とも呼ばれる）に達すると、柱は不安定な平衡状態になります。その荷重では、わずかな横方向の力を加えると、柱は突然新しい形状に「ジャンプ」して破損し、座屈したと言われます。これは、人が空のアルミ缶の上に立ち、側面を軽くたたくと、缶が瞬時に押しつぶされるときに起こることです（缶の垂直側面は、極端に細い柱の無限の連続として理解できます）。^{[引用が必要]}細長い柱についてオイラーが導き出した式は、

$${\displaystyle F_{c}={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}$$

どこ

• ${\displaystyle F_{c}}$、最大または臨界力（柱にかかる垂直荷重）、
• ${\displaystyle E}$、弾性係数、
• ${\displaystyle I}$柱の断面の最小断面二次モーメント（断面二次モーメント）、
• ${\displaystyle L}$、サポートされていない列の長さ、
• ${\displaystyle K}$柱有効長さ係数は、柱の端部支持条件に応じて次のように決まります。
  • 両端がピン留め（ヒンジ付き、自由に回転）されている場合。${\displaystyle K=1.0}$
  • 両端を固定した場合、.${\displaystyle K=0.50}$
  • 一方の端を固定し、もう一方の端をピンで留めます。${\displaystyle K\approx 0.699}$
  • 一方の端が固定され、もう一方の端が横方向に自由に動く場合、.${\displaystyle K=2.0}$
• ${\displaystyle KL}$列の有効長さです。

この式を調べると、細長い柱の耐荷重能力に関して以下の事実が明らかになります。

• 柱の座屈荷重は、柱の材料の圧縮強度ではなく、柱の材料の弾性によって決まります。
• 座屈荷重は、断面の二次モーメントに正比例します。
• 境界条件は、細い柱の臨界荷重にかなりの影響を与えます。境界条件は、柱の曲げモードと、たわんだ柱の変位曲線上の変曲点間の距離を決定します。柱のたわみ形状の変曲点は、柱の曲率が符号を変える点であり、柱の内部曲げモーメントがゼロになる点でもあります。変曲点が近いほど、柱の軸方向荷重容量 (座屈荷重) が大きくなります。

以上のことから、柱の座屈荷重は、材料を弾性係数 (E) の高いものに変更するか、柱の断面の設計を変更して慣性モーメントを増やすことによって増加できるという結論が導き出されます。後者は、柱の断面の主軸からできるだけ離れた位置に材料を分散させることで、柱の重量を増やすことなく行うことができます。ほとんどの目的において、柱の材料を最も効果的に使用する方法は、管状セクションを使用することです。

この方程式から得られるもう 1 つの知見は、長さが臨界荷重に与える影響です。柱の支持されていない長さを 2 倍にすると、許容荷重は 4 分の 1 になります。柱の端部接続によって生じる拘束も臨界荷重に影響します。接続が完全に固定されている場合 (端部の回転を許さない)、臨界荷重は、端部が固定されている (端部の回転を許す) 同様の柱の 4 倍になります。

回転半径は、柱の軸周りの慣性モーメントと断面積の比の平方根として定義されるため、上記のオイラーの式は、回転半径を次のように置き換えることで書き直すことができます。 ${\displaystyle Ar^{2}}$${\displaystyle I}$

$${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}={\frac {\pi ^{2}E}{(l/r)^{2}}}}$$

ここで、は柱の座屈を引き起こす応力であり、は細長比です。 ${\displaystyle \sigma =F/A}$${\displaystyle l/r}$

構造柱は一般に中程度の長さであるため、オイラーの公式は通常の設計にはほとんど実用的ではありません。純粋なオイラーの柱の挙動からの逸脱を引き起こす問題には、柱の形状の不完全性と柱の材料の塑性/非線形応力ひずみ挙動の組み合わせが含まれます。その結果、テスト データと一致する経験的な柱の公式がいくつか開発され、そのすべてが細長比を組み込んでいます。柱の挙動の不確実性のため、設計では、これらの公式に適切な安全係数が導入されています。そのような公式の 1 つが、Perry Robertson の公式です。これは、想定される小さな初期曲率、つまり軸荷重の偏心に基づいて、臨界座屈荷重を推​​定します。William John Macquorn Rankineと Perry Hugesworth Gordon (1899 – 1966) にちなんで名付けられた Rankine Gordon の公式も実験結果に基づいており、柱は次式で与えられる荷重F _maxで座屈すると示唆しています。 $${\displaystyle {\frac {1}{F_{\max}}}={\frac {1}{F_{e}}}+{\frac {1}{F_{c}}}}$$

ここで、はオイラー最大荷重、 は最大圧縮荷重です。この式では通常、 という控えめな推定値が生成されます。 ${\displaystyle F_{e}}$${\displaystyle F_{c}}$${\displaystyle F_{\max}}$

密度、ヤング率、断面積を持つ自立型の垂直柱は、高さが一定の臨界値を超えると自重で座屈する：^{[3] [4] [5]}${\displaystyle \rho}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$

$${\displaystyle h_{\text{crit}}=\left({\frac {9B^{2}}{4}}\,{\frac {EI}{\rho gA}}\right)^{\frac {1}{3}}}$$

ここで、は重力加速度、は梁の断面積の二次モーメント、は第 1 種 ベッセル関数の −1/3 次最初の零点で、1.86635086 に等しくなります...${\displaystyle g}$${\displaystyle I}$${\displaystyle B}$

プレートは、長さと同程度の大きさの幅を持ち、他の 2 つの次元に比べて厚さが非常に薄い 3 次元構造です。柱と同様に、薄いプレートは臨界荷重を受けると面外座屈変形を起こします。ただし、柱の座屈とは対照的に、座屈荷重を受けたプレートは荷重を支え続けることができます。これをローカル座屈と呼びます。この現象は、システムを設計してより大きな荷重容量を実現できるため、多くのシステムで非常に役立ちます。

長方形の板がすべての辺に沿って支えられ、単位長さあたり均一な圧縮力がかかっている場合、導かれる支配方程式は次のように表される。^[6]

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\frac {12\left(1-\nu ^{2}\right)}{Et^{3}}}\left(-N_{x}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)}$$

どこ

• ${\displaystyle w}$、面外たわみ
• ${\displaystyle N_{x}}$、均一に分布した圧縮荷重
• ${\displaystyle \nu }$、ポアソン比
• ${\displaystyle E}$、弾性係数
• ${\displaystyle t}$、厚さ

たわみの解は、以下に示す2つの調和関数に展開できる: ^[6]

$${\displaystyle w=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }w_{mn}\sin \left({\frac {m\pi x}{a}}\right)\sin \left({\frac {n\pi y}{b}}\right)}$$

どこ

• ${\displaystyle m}$、長さ方向に発生する半正弦曲率の数
• ${\displaystyle n}$幅方向に発生する半正弦曲率の数
• ${\displaystyle a}$、試料の長さ
• ${\displaystyle b}$、試験片の幅

前の式は、1に等しい先の微分方程式に代入することができる。分離して、板の臨界圧縮荷重の式を提供することができる：^[6]${\displaystyle n}$${\displaystyle N_{x}}$

$${\displaystyle N_{x,cr}=k_{cr}{\frac {\pi ^{2}Et^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}\right)b^{2}}}}$$

ここで、座屈係数は次のように与えられる: ^[6]${\displaystyle k_{cr}}$ $${\displaystyle k_{cr}=\left({\frac {mb}{a}}+{\frac {a}{mb}}\right)^{2}}$$

座屈係数は、試験片のアスペクト比、/ 、および長さ方向の曲率の数によって影響を受けます。曲率の数が増えると、アスペクト比によって座屈係数が変化しますが、各関係は各に対して最小値を提供します。この最小値は、アスペクト比との両方に依存しない定数として使用できます。^[6]${\displaystyle a}$${\displaystyle {b}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

応力は単位面積あたりの荷重によって求められるため、臨界応力は次の式で表されます。 $${\displaystyle \sigma _{cr}=k_{cr}{\frac {\pi ^{2}E}{12\left(1-\nu ^{2}\right)\left({\frac {b}{t}}\right)^{2}}}}$$

導出された方程式から、柱と板の臨界応力の間には密接な類似点があることがわかります。幅が縮むと、板は板の幅に沿って座屈に対する抵抗が増加するため、柱のように機能します。 の増加により、長さに沿った座屈によって生成される正弦波の数が増加しますが、幅に沿った座屈による抵抗も増加します。^[6]これにより、幅と長さの両方に沿った曲率の数に等しくなるように板が座屈する傾向があります。境界条件により、板に臨界応力が負荷されて座屈すると、荷重に垂直なエッジは面外に変形できず、したがって応力を負担し続けます。これにより、端に沿って不均一な圧縮荷重が発生し、応力は試験片の両側の有効幅の半分に課され、次のように表されます。^[6]${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$

$${\displaystyle {\frac {b_{\text{eff}}}{b}}\approx {\sqrt {{\frac {\sigma _{cr}}{\sigma _{y}}}\left(1-1.022{\sqrt {\frac {\sigma _{cr}}{\sigma _{y}}}}\right)}}}$$

どこ

• ${\displaystyle b_{\text{eff}}}$有効幅
• ${\displaystyle \sigma _{y}}$、降伏応力

負荷応力が増加すると、有効幅は縮小し続けます。端部の応力が降伏応力に達すると、プレートは破損します。これにより、座屈構造は荷重を支え続けることができます。臨界荷重を超える軸方向荷重を変位に対してプロットすると、基本経路が表示されます。これは、プレートが座屈している柱に似ていることを示しています。ただし、座屈荷重を超えると、基本経路は上向きに曲がる二次経路に分岐し、臨界荷重を超えるより高い荷重を受ける能力を提供します。

曲げねじり座屈は、圧縮された部材の曲げとねじりの反応の組み合わせとして説明できます。このようなたわみモードは、設計の目的で考慮する必要があります。これは主に、チャネル、構造 T 型、二重角形、等脚単一角など、ねじり剛性が低い「開いた」断面を持つ柱で発生します。円形断面では、このような座屈モードは発生しません。

単純支持梁に曲げ荷重が加わると、上側は圧縮され、下側は引張されます。梁が横方向（曲げ平面に対して垂直）に支持されておらず、曲げ荷重が臨界限界まで増加すると、梁は圧縮フランジが局所的に座屈して横方向にたわみます。圧縮フランジの横方向のたわみは梁ウェブと引張フランジによって抑制されますが、開放断面の場合、ねじりモードの方が柔軟であるため、梁は横方向にねじれとたわみの両方を起こし、横方向ねじり座屈と呼ばれる破損モードが発生します。フランジの広い断面（横方向の曲げ剛性が高い）では、たわみモードは主にねじりとねじりになります。フランジの狭い断面では、曲げ剛性が低く、柱のたわみは横方向の座屈たわみモードに近くなります。

角形中空断面などの閉断面を使用すると、高いねじり剛性により横ねじり座屈の影響が緩和されます。

C _{b は、}横ねじり座屈を決定する際に公称曲げ強度の式で使用される修正係数です。この係数を使用する理由は、梁セグメントの端がブレースされている場合に、不均一なモーメント図を考慮に入れるためです。C _bの保守的な値は、梁の構成や荷重に関係なく 1 とすることができますが、場合によっては過度に保守的になることがあります。C _{b は}常に1以上であり、それ未満になることはありません。自由端がブレースされていない片持ち梁または張り出し梁の場合、C _bは 1 です。単純支持梁のC _bの値の表が存在します。

C _bの適切な値が表に示されていない場合は、次の式で取得できます。

$${\displaystyle C_{b}={\frac {12.5M_{\max }}{2.5M_{\max }+3M_{A}+4M_{B}+3M_{C}}}}$$

どこ

• ${\displaystyle M_{\max }}$、ブレースなしセグメントの最大モーメントの絶対値、
• ${\displaystyle M_{A}}$、ブレースなしセグメントの1/4点における最大モーメントの絶対値、
• ${\displaystyle M_{B}}$、ブレースなしセグメントの中心線における最大モーメントの絶対値、
• ${\displaystyle M_{C}}$、ブレースなしセグメントの4分の3の点における最大モーメントの絶対値、

結果はすべての単位系で同じになります。

部材の座屈強度は、部材の材料が弾性材料範囲を超えて非線形 (塑性) 材料挙動範囲に応力を受けると、構造体の弾性座屈強度よりも低くなります。圧縮荷重が座屈荷重に近い場合、構造体は大きく曲がり、柱の材料は線形応力-ひずみ挙動から逸脱します。材料の応力-ひずみ挙動は降伏点以下でも厳密には線形ではないため、応力が増加すると弾性係数は低下し、応力が材料の降伏強度に近づくと大幅に低下します。材料の剛性が低下すると、構造体の座屈強度が低下し、線形弾性挙動の仮定によって予測されるよりも座屈荷重が低くなります。

_{弾性弾性率の代わりに、弾性係数より小さい接線弾性係数 E t}を使用すると、座屈荷重をより正確に近似できます。接線は弾性係数に等しく、比例限界を超えると減少します。接線弾性係数は、特定のひずみ値で応力-ひずみ曲線に接して引かれる線です (応力-ひずみ曲線の弾性部分では、接線弾性係数は弾性係数に等しくなります)。さまざまな材料の接線弾性係数のグラフは、標準の参考文献で入手できます。

チャンネルなどのフランジプレートで構成されたセクションは、フランジが局所的に座屈した後も、コーナーで荷重を支えることができます。クリッピングとは、セクション全体が破損することです。^[1]

航空宇宙用途で一般的に使用される薄い外板のため、外板は低荷重レベルで座屈する可能性があります。しかし、一度座屈すると、せん断力を伝達することができなくなり、ウェブの対角線張力(DT) 応力によって荷重を支えることができます。このため、これらの部品の荷重支持挙動は非線形になります。実際の荷重と座屈が発生する荷重の比率は、シートの座屈率として知られています。 ^{[1]座屈率が高いと、シートに過度のしわが生じ、しわが}降伏して破損する可能性があります。薄いシートは座屈する可能性がありますが、適用された荷重が除去されると、永久に変形せず、座屈していない状態に戻るように設計されています。座屈が繰り返されると、疲労破損につながる可能性があります。

斜めの張力を受けるシートは補強材によって支えられていますが、シートの座屈により補強材の長さに沿って分散荷重がかかるため、結果としてこれらの構造部材が座屈により破損する可能性があります。

厚いプレートは部分的にのみ斜め張力場を形成し、せん断によって荷重の一部を支え続ける場合があります。これは不完全斜め張力(IDT) として知られています。この動作はワグナーによって研究され、これらの梁はワグナー梁と呼ばれることもあります。^[1]

斜めの張力により、ウェブを支持部材に固定するために使用されるリベットなどの留め具に引っ張り力が生じることもあります。留め具とシートは、サポートから引き抜かれるのを防ぐように設計する必要があります。

柱に突然荷重がかかり、その後荷重が解放されると、柱は静的 (ゆっくりと加えられた) 座屈荷重よりもはるかに高い荷重に耐えることができます。これは、ドロップ ハンマーとして使用される、長くて支えのない柱で発生することがあります。衝撃端での圧縮時間は、応力波が柱に沿ってもう一方の (自由) 端まで伝わり、解放波として戻るのに必要な時間です。最大の座屈は、ロッドの長さよりもはるかに短い波長で衝撃端近くで発生し、静的に荷重がかかった柱の座屈応力の何倍もの応力で発生します。座屈振幅が座屈波長でのロッドの有効真直度の不完全性の約 25 倍未満にとどまるための臨界条件は、次のとおりです。

$${\displaystyle \sigma L=\rho c^{2}h}$$

ここで、は衝撃応力、は棒の長さ、は弾性波の速度、 は長方形棒の小さい方の横方向の寸法です。座屈波長は と のみに依存するため、この同じ式は厚さ の薄い円筒形のシェルにも当てはまります。^[7]${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle L}$${\displaystyle c}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$

多くの場合、定数 K を決定するのが難しいため、オイラーの公式を使用して複雑な構造の正確な座屈荷重を決定することは非常に困難です。そのため、最大座屈荷重はエネルギー保存則を使用して近似されることが多く、構造解析ではエネルギー法と呼ばれます。

この方法の最初のステップは、変位モードとその変位を表す関数を想定することです。この関数は、変位や回転などの最も重要な境界条件を満たす必要があります。変位関数が正確であればあるほど、結果も正確になります。

この方法では、システム (柱) はエネルギーが熱として消散しない保存システムであると想定しており、そのため、加えられた外力によって柱に追加されたエネルギーは、ひずみエネルギーの形で柱に蓄えられます。

$${\displaystyle U_{\text{applied}}=U_{\text{strain}}}$$

この方法では、「ひずみ」エネルギー（構造の弾性変形として蓄えられる位置エネルギー）と「適用」エネルギー（外部の力によってシステムに加えられる仕事）を近似するために、2 つの方程式（小さな変形の場合）が使用されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{\text{strain}}&={\frac {E}{2}}\int I(x)(w_{xx}(x))^{2}\,\mathrm {d} x\\U_{\text{applied}}&={\frac {P_{\text{crit}}}{2}}\int (w_{x}(x))^{2}\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$$

ここで、は変位関数であり、下付き文字とは変位の 1 次導関数と 2 次導関数を表します。 ${\displaystyle w(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle xx}$

全位置エネルギーの概念を用いると、自由度 1 の構造モデルに見られる座屈の 4 つの基本的な形態を識別することができます。まず、 は構造に蓄えられたひずみエネルギー、 は適用された保存荷重、 はその方向に だけ移動した距離を表します 。弾性不安定性理論の公理を用いると、平衡は自由度を測定する座標に関して静止している任意の点であり、これらの点はが極小値である場合にのみ安定し、それ以外の場合 (最大値や変曲点など) は不安定になります。^[8]${\displaystyle V}$$${\displaystyle V=U-P\Delta }$$${\displaystyle U}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle P}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

弾性座屈の 4 つの形態は、鞍点分岐または限界点、超臨界または安定対称分岐、亜臨界または不安定対称分岐、および超臨界または非対称分岐です。最初の例を除くすべての例は、ピッチフォーク分岐の一種です。これらの各タイプの座屈挙動の簡単なモデルが、関連する分岐図とともに以下の図に示されています。

従来の自転車の車輪は、多数のスポークの（ほぼ通常の）内向きの引っ張りによって高い圧縮応力がかかった薄いリムで構成されています。これは、円形に曲げられた荷重のかかった柱と考えることができます。スポークの張力が安全なレベルを超えて増加したり、リムの一部に一定の横方向の力がかかったりすると、車輪は自然に、3 次元のオイラー柱のような特徴的な鞍型（「タコ」または「プリングル」と呼ばれることもあります）に変形します。これが純粋な弾性変形である場合、スポークの張力が減少するか、反対方向から横方向の力が加えられると、リムは元の適切な平面形状に戻ります。

座屈は舗装材の破損モードであり、アスファルトの方が柔軟性が高いため、主にコンクリートで発生します。太陽からの放射熱が路面によって吸収され、路面が膨張して、隣接する破片が互いに押し付けられます。応力が十分であれば、舗装が突然持ち上がり、ひび割れが生じる可能性があります。座屈した部分を横切ることは、自動車の運転手にとって衝撃的であり、高速道路で スピードバンプを走行しているような衝撃です。

同様に、線路も加熱されると膨張し、座屈して破損する可能性があり、この現象はサンキンクと呼ばれます。^{[9]レールが横方向に動くことはより一般的であり、その下の}枕木（枕木）を引っ張ることがよくあります。^[10]

太陽の屈曲により鉄道は列車の速度を大幅に落とし、遅延や運休につながる可能性があります。これは脱線を避けるために行われます。気候変動による猛暑により、2023年の熱波による遅延時間は2018年に比べて2倍になりました。^[11]

これらの事故は、太陽のねじれに関連したものとみなされました（詳細については、鉄道事故一覧（2000～2009年）をご覧ください）。

• 2002年4月18日、フロリダ州クレセントシティ近郊でアムトラックの オートトレインが脱線。CSX線路から外れた。^[12]
• 2002年7月29日、メリーランド州ケンジントン近郊でアムトラック・ キャピトル・リミテッドが脱線。CSX線路外。^[13]
• 2010年7月8日、ノースカロライナ州ワックスホーでCSX列車が脱線した。^[14]
• 2012年7月6日、メリーランド州ウェストハイアッツビル駅付近でWMATAメトロレールの列車が脱線した。[ 15 ^]

連邦鉄道局は2012年7月11日に安全勧告を発行し、鉄道事業者に線路の「座屈しやすい状態」を検査するよう警告した。この勧告には、6月23日から7月4日の間に発生した「熱関連の事故」と思われる4件の脱線事故の簡単な概要が含まれていた。^[16]

パイプや圧力容器は、例えばパイプ内で蒸気が冷却されて水に凝縮し、その後に大幅な圧力低下が生じるなど、外部からの過圧を受けると、圧縮フープ応力によって座屈する危険があります。必要な壁厚や補強リングを計算するための設計ルールは、さまざまな配管および圧力容器の規格に記載されています。

超音速および極超音速の航空宇宙機（高速航空機、ロケット、再突入機など）では、空力加熱によって表面パネルが座屈する可能性がある。^[17]座屈が空力負荷によって引き起こされる場合、構造が流れ場に向かって変形する領域での熱伝達が強化され、状況がさらに複雑になる可能性がある。^[18]

• オイラーの臨界荷重 – 与えられた荷重下での柱の座屈を定量化する式
• 形状および材料の座屈 – 原子炉材料による中性子の吸収と透過
• ペリー・ロバートソン式
• レールのストレス
• 補強 – 材料や物体の剛性と構造的完全性を高める方法Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• ウッド法 – 構造解析における方法Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 吉村座屈 – 機械工学で使用される座屈のパターン

• Timoshenko, SP ; Gere, JM (1961).弾性安定理論(第 2 版). McGraw-Hill.
• Nenezich, M. (2004). 「熱可塑性連続体力学」.航空宇宙構造ジャーナル. 4 .
• Koiter, WT (1945). 弾性平衡の安定性(PDF) (博士論文).
• Rajesh, Dhakal; Maekawa, Koichi (2002). 「鉄筋コンクリート部​​材の補強安定性とかぶりコンクリートの破壊」構造工学ジャーナル. 128 (10): 1253–1262. doi :10.1061/(ASCE)0733-9445(2002)128:10(1253). hdl : 10092/4229 .
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• Bruhn, EF (1973)。『飛行体構造の解析と設計』インディアナポリス：ジェイコブス。
• エリシャコフ、I. (2004)。弾性安定性における20世紀の難問の解決。シンガポール：ワールドサイエンティフィック/インペリアルカレッジプレス。ISBN 978-981-4583-53-4。

• 長いカラムの完全な理論と実験結果の例は、39 ページの PDF ドキュメントとして http://lindberglce.com/tech/buklbook.htm で入手できます。