モジュラーグループ

数学において、モジュラー群は射影特殊線形群である。 $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ の $2×2$ 整数係数と行列式を持つ行列 $1$ 行列が $A$ そして $-A$ が特定される。モジュラー群は、線形分数変換によって複素平面の上半分に作用する。「モジュラー群」という名称は、モジュラー空間との関係に由来するものであり、モジュラー算術に由来するものではない。

意味

モジュラー群 $Γは、$ 複素上半平面の分数線形変換の群であり、その形式は次のようになる。

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},

どこ $a,b,c,d$ は整数であり、 $ad-bc=1$ グループ演算は関数合成です。

この変換群は射影特殊線形群と同型である $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ これは、2次元特殊線形群の商である。 $\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )$ その中心によって $\{I,-I\}$ 。言い換えると、 $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ すべての行列から構成される

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

どこ $a,b,c,d$ は整数です。 $ad-bc=1$ 、および行列のペア $A$ そして $-A$ これらは同一とみなされます。群演算は通常の行列乗算です。

一部の著者はモジュラー群を次のように定義しています。 $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ また、モジュラー群をより大きな群と定義する人もいる。 $\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )$ 。

いくつかの数学的関係では群の考慮が必要となる $\operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} )$ 行列式がプラスマイナス1の行列。 $\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )$ （このグループのサブグループです。）同様に、 $\operatorname {PGL} (2,\mathbb {Z} )$ 商群は $\operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} )/\{I,-I\}$ 。

すべて $2×2$ 行列式が 1 の行列はシンプレクティック行列であり、 $\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )=\operatorname {Sp} (2,\mathbb {Z} )$ シンプレクティック群 $2\times 2$ 行列。

要素を見つける

明示的な行列を見つける

{\begin{pmatrix}a&x\\b&y\end{pmatrix}}

で $\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )$ 互いに素な2つの整数から始めます $a,b$ 行列式方程式を解く $ay-bx=1$ [ ^a^]

例えば、 $a=7,{\text{ }}b=6$ すると、行列式の式は次のようになる。

7y-6x=1,

それから $y=-5$ そして $x=-6$ 与える $-35-(-36)=1$ したがって

{\begin{pmatrix}7&-6\\6&-5\end{pmatrix}}

は行列です $\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )$ 。次に、射影を使用して、これらの行列は要素を定義します。 $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ 。

数論的性質

単位行列式

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

これは、分数_{$⁠ a / b ⁠$}、_$⁠$_$a$_$/$_$c$_$⁠$、_$⁠$_$c$_$/$_$d$_$⁠$、_$⁠$_$b$_$/$_$d$_$⁠$がすべて既約分数、つまり共通因数を持たないことを意味します（もちろん、分母がゼロでない場合に限ります）。より一般的には、 $⁠$ $p$ $/$ $q$ $⁠$ が既約分数である場合、

{\frac {ap+bq}{cp+dq}}

も既約です（ただし、分母がゼロでない場合に限ります）。任意の既約分数のペアはこのように関連付けることができます。つまり、任意の既約分数のペア $⁠$ $p$ $/$ $q$ $⁠$ と $⁠$ $r$ $/$ $s$ $⁠$ に対して、要素が存在します。

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )

そのため

r=ap+bq\quad {\mbox{ and }}\quad s=cp+dq.

$モジュラー群の要素は、$ 2次元格子上に対称性を与える。ω $1$ と $ω 2$ を、その比が実数でない2つの複素数とする。このとき、点の集合は

\Lambda (\omega _{1},\omega _{2})=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}

は平面上の平行四辺形の格子である。異なるベクトルのペア $α 1$ と $α 2$ がまったく同じ格子を生成するのは、次の場合に限る。

{\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}}

$GL(2, Z)$ のある行列に対して。このため、楕円関数などの二重周期関数はモジュラー群対称性を持つ。

有理数に対するモジュラー群の作用は、正方形のグリッドを想像すると最も簡単に理解できます。グリッド点 $(p, q)$ は分数 $⁠$ $p$ $/$ $q$ $⁠$ に対応します(ユークリッドの果樹園を参照)。既約分数とは、原点から見える分数のことです。モジュラー群が分数に作用しても、見える(既約)分数が隠れた(既約) 分数になることはなく、その逆もありません。

モジュラー群の任意の要素は、射影的に拡張された実数直線をそれ自身に一対一で写像し、さらに射影的に拡張された有理数直線（無限大を持つ有理数）をそれ自身に、無理数を無理数に、超越数を超越数に、非実数を非実数に、上半平面を上半平面に、といったように全単射で写像することに注意してください。

$⁠$ $p$ $n$ $-1$ $/$ $q$ $n$ $-1$ $⁠$ と $⁠$ $p$ $n$ $/$ $q$ $n$ $⁠$ が連分数の 2 つの連続収束である場合、行列は

{\begin{pmatrix}p_{n-1}&p_{n}\\q_{n-1}&q_{n}\end{pmatrix}}

$GL(2, Z)$ に属します。特に、 $a$ $<$ $b$ かつ $c$ $<$ $d$ $を$ 満たす正の整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ に対して $bc - ad = 1$ であれば $、$ $a$ $/$ $b$ $と$ $c$ $/$ $d$ は $次数$ $max($ $b$ $、$ $d$ $)$ のFarey 列で隣接します。連分数収束の重要な特殊ケースには、フィボナッチ数列とPell 方程式の解が含まれます。どちらの場合も、数を並べるとモジュラー群の半群部分集合を形成できます。

群論的性質

プレゼンテーション

モジュラー群は、2つの変換によって生成されることが示される。

{\begin{aligned}S&:z\mapsto -{\frac {1}{z}}\\T&:z\mapsto z+1\end{aligned}}

$これにより、モジュラー群のすべての要素は、 S$ と $T$ のべき乗の合成によって（一意ではない方法で）表現できます。幾何学的には、 $Sは$ 単位円内での反転とそれに続く虚軸に関する鏡映を表し、 $Tは$ 右方向への単位平行移動を表します。

生成元 $S$ と $Tは、$ $S 2 = 1$ および $(ST) 3 = 1$ の関係を満たす。これらの関係は完全な集合であることが^{[ 1 ]}で示されており、モジュラー群は次のように表現される。

\Gamma \cong \left\langle S,T\mid S^{2}=I,\left(ST\right)^{3}=I\right\rangle

このプレゼンテーションでは、モジュラー群を回転三角形群 $D(2, 3, \infty) ($ $T$ には関係がないため無限大) として説明し、例えば合同部分群 $Γ($ $n$ $)$ に関係 $T$ $n$ $= 1$ を追加することで、すべての三角形群 $(2, 3, n)$ に写像します。

$S$ と $T$ の代わりに生成子 $S$ と $ST$ $を$ 使用すると、モジュラー群が巡回群C2とC3の自由積と同型 $で$ ある $こと$ が $示さ$ れます。

\Gamma \cong C_{2}*C_{3}

$T : z \mapsto z + 1$ の $H$ への作用
$S : z \mapsto - ⁠ 1 / z ⁠$ の $H$ への作用

編み込みグループ

ブレイド群 $B 3$ はモジュラー群の普遍中心拡大であり、これらは（位相的）普遍被覆群 $SL 2 (R) \to PSL 2 (R)$ の内部に格子として存在します。さらに、モジュラー群は自明な中心を持ち、したがってモジュラー群は $B$ $3$ の中心を法とする商群と同型です。言い換えれば、 $B$ $3$ の内部自己同型群と同型です。

組紐群 $B 3$ は、三つ葉結びの結び目群と同型である。

商

合同部分群による商は、非常に興味深い。

その他の重要な商は、 $(2, 3, n)$ 三角形群であり、これは幾何学的には円筒に降下することに対応し、 $x$ 座標を $nで割った商は$ $T n = (z \mapsto z + n)$ となります。 $(2, 3, 5)は$ 正二十面体対称群であり、 $(2, 3, 7)$ 三角形群(および関連するタイリング) はすべてのフルヴィッツ曲面の被覆です。

マトリックスグループとして提示

グループ ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ 2 つの行列^{[ 2 ]によって生成できます}

S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},{\text{ }}T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}

以来

S^{2}=-I_{2},{\text{ }}(ST)^{3}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}}^{3}=-I_{2}

投影 ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ これらの行列をジェネレーターに変換する ${\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ グループ発表と同様の関係性を持つ。

双曲幾何学との関係

モジュラー群は、双曲平面の等長変換群の部分群を形成するため重要である。双曲平面幾何学の上半平面モデル $H$ を考えると、 $H$ のすべての向き保存等長変換群は、次の形式のすべてのメビウス変換から構成される。

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}

ここで、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ は実数である。射影座標の観点から、群 $PSL(2, R)$ は射影性によって上半平面 $H$ に作用する。

[z,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\,=\,[az+b,\ cz+d]\,\thicksim \,\left[{\frac {az+b}{cz+d}},\ 1\right].

この作用は忠実である。PSL $(2, Z)は$ $PSL(2, R)$ の部分群であるため、モジュラー群は $H$ の向き保存等長変換群の部分群である。^{[ 3 ]}

双曲平面のテセレーション

モジュラー群 $Γ$ は ${\textstyle \mathbb {H} }$ 離散的なサブグループとして ${\textstyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ つまり、各 $z$ について ${\textstyle \mathbb {H} }$ $z$ の軌道の他の要素を一切含まない $z$ の近傍を見つけることができます。これはまた、 $H$ 内のすべての $z$ の軌道から（おおよそ）ちょうど 1 つの代表要素を含む基本領域を構築できることを意味します。（領域の境界には注意が必要です。）

基本領域を構築する方法は数多くあるが、一般的な選択肢は領域である。

R=\left\{z\in \mathbb {H} \colon \left|z\right|>1,\,\left|\operatorname {Re} (z)\right|<{\tfrac {1}{2}}\right\}

垂直線 $Re(z) = 1 / 2 と$ $Re(z$ $)$ $= -$ $1$ $/$ $2$ $、$ および円 $| z | = 1$ で囲ま $れ$ た領域。この領域は双曲三角形です。頂点は $1$ $/$ $2$ $+$ $i$ $\sqrt$ $3$ $/$ $2$ $と$ $-$ $1$ $/$ $2$ $+$ $i$ $\sqrt$ $3$ $/$ $2$ にあり、辺の間の角度は π / 3 です $。$ $また$ $、$ $3$ $番目$ $の$ $頂点$ $は$ $無限$ $遠に$ $あり$ 、辺の間の角度は0 $です。$

モジュラー群と楕円曲線の間には強い関連性がある。各点 $z$ 上半平面では楕円曲線、すなわち商は $\mathbb {C}$ 1とによって生成される格子によって $z$ 上半平面上の2点が同型な楕円曲線となるのは、それらがモジュラー群における変換によって関連付けられている場合に限る。したがって、上半平面をモジュラー群の作用によって割った商空間は、いわゆる楕円曲線のモジュライ空間と呼ばれる。この空間の点は、楕円曲線の同型類を表す。これはしばしば、上述の基本領域に境界上のいくつかの点を同一視した形で視覚化される。

モジュラー群とその部分群は、双曲平面の興味深いタイリングの源でもあります。この基本領域をモジュラー群の各要素で順に変換することにより、V6.6.∞無限次三角形タイリングとして知られる、合同な双曲三角形による双曲平面の正則なテセレーションが作成されます。このような三角形はそれぞれ、無限遠または実軸 $Im($ $z$ $) = 0$ 上に 1 つの頂点を持つことに注意してください。

このタイリングはポアンカレ円盤に拡張することができ、そこではすべての双曲三角形の頂点の1つが円盤の境界上にあります。ポアンカレ円盤のタイリングは、モジュラー群の下で不変であり、これらの領域の各三角形ですべての複素数を一度ずつ得る $J$ 不変量によって自然な形で与えられます。

このテセレーションは、方向反転マップを追加することで、各領域を 2 つの半分 (慣例的に黒と白で色付け) に分割して少し改良できます。すると、色は領域の方向に対応します。 $(x, y) \mapsto (- x, y)$ を追加し、領域 $R$ ( $Re(z) \geq 0 ) の右半分を取ると、通常のテセレーションが得られます。このテセレーションは、$ ( Klein & 1878/79a ) ^{[ 4 ]}で初めて印刷物として登場し、そこで( Dedekind 1877 )を参照してRichard Dedekindに帰属されています。^[⁴^]^[⁵^]

群のマップ $(2, 3, \infty) \to (2, 3, n)$ (モジュラー群から三角形群へ) は、右のビデオに示されているように、このタイリング (モジュラー曲線上のタイリングを生成する) の観点から視覚化できます。

一致サブグループ

モジュラー群 $Γ$ の重要な部分群は、合同部分群と呼ばれ、関連する行列に合同関係を課すことによって与えられる。

$SL(2,$ $Z$ $) \to SL(2,$ $Z$ $/$ $N$ $Z$ $)$ という自然な準同型写像が、 $N$ を法として要素を縮小することによって得られます。これは、モジュラー群 $PSL(2,$ $Z$ $) \to PSL(2,$ $Z$ $/$ $N$ $Z$ $)$ 上の準同型写像を誘導します。この準同型写像の核は、レベル $N$ の主合同部分群と呼ばれ、 $Γ($ $N$ $)と表記されます。次の$ 短完全列が得られます。

1\to \Gamma (N)\to \Gamma \to \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )\to 1.

$準同型写像Γ(N)$ の核であるΓ(N)は、モジュラー群 $Γの$ 正規部分群である。群 $Γ($ $N$ $)$ は、すべてのモジュラー変換の集合として与えられる。

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}

ただし、 $a \equiv d \equiv \pm1 (mod N)$ および $b \equiv c \equiv 0 (mod N)$ とする。

$Γ($ $N$ $)$ の要素を表す行列のトレースが-1、0、1になることはあり得ないことは容易に示せるので、これらの部分群はねじれのない群である。（他にもねじれのない部分群は存在する。）

レベル 2 の主合同部分群 $Γ(2)は、$ モジュラー群 $Λ$ とも呼ばれます。PSL $(2, Z /2 Z)は$ $S 3$ と同型であるため、 $Λは$ 指数6の部分群です。群 $Λは、$ $a$ と $d$ が奇数で $b$ と $c が$ 偶数であるすべてのモジュラー変換から構成されます。

合同部分群のもう 1 つの重要な族は、 $c$ $\equiv 0 (mod$ $N$ $)$ となるすべてのモジュラー変換の集合として定義されるモジュラー群 $Γ 0 (N) 、または同等に、$ $N$ を法とする縮約によって行列が上三角行列になる部分群として定義されるモジュラー群です。Γ $($ $N$ $)は$ $Γ$ $0$ $($ $N$ $)$ の部分群であることに注意してください。これらの群に関連付けられたモジュラー曲線は、怪物の月光の一側面です。素数 $p$ に対して、正規化群のモジュラー曲線は、 $p$ が怪物群の位数を割り切る場合、または同等に、 $p が$ 超特異素数である場合に限り、種数がゼロになります。

二進モノイド

モジュラー群の重要な部分集合の1つは、ダイアディックモノイドです。これは、正の整数 $n$ $i$ $に対してST$ $n$ $1$ $ST$ $n$ $2$ $ST$ $n$ $3$ $...$ の形式のすべての文字列のモノイドです。このモノイドは、フラクタル曲線の研究において自然に現れ、カントール関数、ミンコフスキーの疑問符関数、およびコッホ雪片の自己相似対称性を記述します。これらはそれぞれ、一般的なド・ラーム曲線の特殊な場合です。モノイドには、より高次元の線形表現もあります。たとえば、 $N$ $= 3 の表現は、$ ブランマンジェ曲線の自己対称性を記述するものと理解できます。

トーラスの地図

グループ $GL(2, Z)は標準格子$ $Z 2$ を保存する線形写像であり、 $SL(2, Z)$ はこの格子を保存する向き保存写像です。したがって、これらはトーラスの自己同相写像(SL は向き保存写像に写像) に降り、実際にはトーラスの (拡張)写像類群に同型写像されます。つまり、トーラスのすべての自己同相写像はこの形式の写像と同位です。GL $(2,$ $Z$ $)$ の要素としての行列の代数的性質は、トーラスの誘導写像のダイナミクスに対応します。

ヘッケグループ

モジュラー群は、エーリッヒ・ヘッケにちなんで名付けられたヘッケ群に一般化することができ、次のように定義される。^[⁷^]

$q$ $\geq 3$ のHecke 群 $H q$ は、によって生成される離散群です。

{\begin{aligned}z&\mapsto -{\frac {1}{z}}\\z&\mapsto z+\lambda _{q},\end{aligned}}

ここで、 $λ q = 2 cos π$ $/ q です。q \geq 3 の$ $小さな$ $値$ の場合、次のようになります。

{\begin{aligned}\lambda _{3}&=1,\\\lambda _{4}&={\sqrt {2}},\\\lambda _{5}&={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\\\lambda _{6}&={\sqrt {3}},\\\lambda _{8}&={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}.\end{aligned}}

モジュラー群 $Γは$ $H3$ と同型であり、性質や応用例を共有している。例えば、巡回群の自由積が存在するのと同様である $。$

\Gamma \cong C_{2}*C_{3},

より一般的には

H_{q}\cong C_{2}*C_{q},

これは三角形群 $(2, q, \infty)に対応します。同様に、$ $Z [λ]$ の主イデアルに関連付けられた主合同部分群の概念があります。

歴史

モジュラー群とその部分群は、1870年代にリヒャルト・デデキントとフェリックス・クラインがエアランゲン研究計画の一環として初めて詳細に研究した。しかし、密接に関連する楕円関数は、1785年にジョセフ・ルイ・ラグランジュによって研究され、楕円関数に関するさらなる研究成果は、 1827年にカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビとニールス・ヘンリク・アーベルによって発表された。

注記

↑行列式方程式の力に注目してください $a,b$ 互いに素でなければ因数が存在することになる $c>1$ そのため $ca'=a$ そして $cb'=b$ したがって $c(a'y-b'x)=1$ 整数解は存在しない。

参考文献

↑ Alperin, Roger C. (1993 年 4 月). " $PSL 2 (Z) = Z 2 * Z 3$ ". Amer. Math. Monthly . 100 (4): 385– 386. doi : 10.2307/2324963 . JSTOR 2324963 .
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↑ McCreary, Paul R.; Murphy, Teri Jo; Carter, Christian. "The Modular Group" (PDF) . The Mathematica Journal . 9 (3).
1 2ル・ブリュイン、リーヴェン (2008 年 4 月 22 日)、デデキント、それともクライン?
↑ Stillwell, John (2001 年 1 月). "モジュラーの奇跡". The American Mathematical Monthly . 108 (1): 70– 76. doi : 10.2307/2695682 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2695682 .
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↑ローゼンバーガー、ゲルハルト；ファイン、ベンジャミン；ガリオーネ、アンソニー M.；スペルマン、デニス (2006)。『組合せ群論、離散群、数論』アメリカ数学会、p. 65。ISBN 9780821839850。

アポストル、トム・M. (1990).数論におけるモジュラー関数とディリクレ級数(第2 版). ニューヨーク: スプリンガー. 第2章. ISBN 0-387-97127-0。
Klein, Felix (1878–1879)、「Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades (楕円関数の変換と...)」、Math. Annalen、14 (1): 13– 75、doi : 10.1007/BF02297507、S2CID 121056952 、オリジナルから2011 年 7 月 19 日にアーカイブされ、2010 年6 月 3 日に取得
リチャード・デデキント(1877 年 9 月)、「Schreiben an Herrn Borchardt über die Theorie der elliptische Modul-Functionen」、Crelle 's Journal、83 : 265–292。

[1] 行列式方程式の力に注目してください $a,b$ 互いに素でなければ因数が存在することになる $c>1$ そのため $ca'=a$ そして $cb'=b$ したがって $c(a'y-b'x)=1$ 整数解は存在しない。

[2] Alperin, Roger C. (1993 年 4 月). " $PSL 2 (Z) = Z 2 * Z 3$ ". Amer. Math. Monthly . 100 (4): 385– 386. doi : 10.2307/2324963 . JSTOR 2324963 .

[3] コンラッド、キース。「SL(2,Z)」(PDF)。

[4] McCreary, Paul R.; Murphy, Teri Jo; Carter, Christian. "The Modular Group" (PDF) . The Mathematica Journal . 9 (3).

[lebruyn-5] 1 2ル・ブリュイン、リーヴェン (2008 年 4 月 22 日)、デデキント、それともクライン?

[6] Stillwell, John (2001 年 1 月). "モジュラーの奇跡". The American Mathematical Monthly . 108 (1): 70– 76. doi : 10.2307/2695682 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2695682 .

[westendorp-7] Westendorp, Gerard. "リーマン面のプラトン的テセレーション" . westy31.nl .

[8] ローゼンバーガー、ゲルハルト；ファイン、ベンジャミン；ガリオーネ、アンソニー M.；スペルマン、デニス (2006)。『組合せ群論、離散群、数論』アメリカ数学会、p. 65。ISBN 9780821839850。

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[ 1 ]

[ 2 ]によって生成できます

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