モジュラー方程式

数学において、モジュラ方程式は、モジュライによって満たされる代数方程式であり、^[1]モジュライ問題の意味で使用されます。つまり、モジュライ空間上のいくつかの関数が与えられた場合、モジュラ方程式はそれらの間で成り立つ方程式、つまりモジュライの恒等式です。

モジュラー方程式という用語が最も頻繁に使用されるのは、楕円曲線のモジュライ問題に関連しているときです。その場合、モジュライ空間自体は次元 1 です。これは、モジュラー曲線の関数体における任意の 2 つの有理関数 FとG が、複素数上の 2 変数の非ゼロ多項式P を基準として、モジュラー方程式P ( F , G ) = 0 を満たすことを意味します。 FとG を適切に非退化的に選択すると、方程式P ( X , Y ) = 0 が実際にモジュラー曲線を定義します。

これは、最悪の場合、P は高次になり、それが定義する平面曲線は特異点を持ち、Pの係数は非常に大きな数になる可能性があると言うことで限定できます。さらに、モジュライ問題の「尖点」は、正直な楕円曲線ではなく退化したケースに対応するモジュラー曲線の点であり、 Pの知識から読み取るのは難しい場合があります。

その意味で、モジュラー方程式はモジュラー曲線の方程式になります。このような方程式は、複素解析の観点から表現された楕円関数の乗法（幾何学的には、基礎群上の写像x → n · xによって与えられる、 2次元トーラスからそれ自体へのn ²重被覆写像）の理論で初めて生まれました。

• モジュラーラムダ関数
• ラマヌジャンの失われたノート