単位円

数学において、単位円は単位半径、つまり半径 1 の円です。[ 1 ^]特に三角法 では、単位円はユークリッド平面の直交座標系の原点 (0, 0) を中心とする半径 1 の円です。位相幾何学では、単位円は1 次元の単位n球面であるため、 S ¹と表記されることがよくあります。^{[2] [注 1]}

( x , y )が単位円の円周上の点である場合、| x |と| y | は、斜辺の長さが 1 である直角三角形の脚の長さです。したがって、ピタゴラスの定理により、xとy は次の式を満たします。 $${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$$

すべてのxに対してx ² = (− x ) ²であり、単位円上の任意の点のx軸またはy軸の周りの反射も単位円上にあるため、上記の式は第 1 象限にある点だけでなく、単位円上の すべての点( x、y )に対して成立します。

単位円の内部は開いた単位円と呼ばれ、単位円自体と組み合わされた単位円の内部は閉じた単位円と呼ばれます。

また、「距離」の他の概念を使用して、リーマン円などの他の「単位円」を定義することもできます。追加の例については、 数学的規範に関する記事を参照してください。

複素平面では、単位の大きさの数は単位複素数と呼ばれます。これは、実数と虚数に分解すると、次の条件を満たす複素数 zの集合です。${\displaystyle |z|=1.}$${\displaystyle z=x+iy,}$${\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}=1.}$

複素単位円は、複素指数関数を使用して、正の実軸からの角度の測定によってパラメータ化できます(オイラーの公式を参照)。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$

複素乗算演算では、単位複素数は円群と呼ばれる群を形成し、通常は と表記されます。量子力学では、単位複素数は位相因子と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {T} .}$

角度θの三角関数の余弦と正弦は、単位円上で次のように定義できます。( x , y )が単位円上の点であり、原点(0, 0)から( x , y )への光線が正のx軸から角度θをなす場合(反時計回りの回転が正)、 $${\displaystyle \cos \theta =x\quad {\text{および}}\quad \sin \theta =y.}$$

x ² + y ² = 1という式は、次の関係を与える 。$${\displaystyle \cos^{2}\theta +\sin^{2}\theta =1.}$$

単位円は、正弦関数と余弦関数が周期関数であり、任意の 整数k に対して恒等関数であることを示しています。 $${\displaystyle \cos \theta =\cos(2\pi k+\theta )}$$ $${\displaystyle \sin \theta =\sin(2\pi k+\theta )}$$

単位円上に作られた三角形は、三角関数の周期性を示すためにも使用できます。まず、原点Oから単位円上の点P( x ₁ , y ₁ )までの半径OPを描きます。角度tは0 < t < ⁠π/2⁠ はx軸の正の腕で形成されます。ここで、点Q( x ₁ ,0)と線分PQ ⊥ OQについて考えます。結果は、 ∠QOP = tの直角三角形△OPQ になります。PQ長さはy ₁、 OQ の長さはx ₁、 OPの長さは単位円上の半径として 1 であるため、 sin( t ) = y ₁およびcos( t ) = x ₁です。これらの同値性を確立したら、原点から 円上の点R(− x ₁ , y ₁ )への別の半径OR を取り、 x軸の負の腕と同じ角度tを形成します。ここで、点S(− x ₁ ,0)と線分RS ⊥ OSについて考えます。結果は、 ∠SOR = tの直角三角形△ORSになります。したがって、 ∠ROQ = π − tなので、 R は(cos(π − t ), sin(π − t ))にあると同様に、 P は(cos( t ), sin( t ))にあることがわかります。結論として、 (− x ₁ , y ₁ )は(cos(π − t ), sin(π − t ))と同じであり、 ( x ₁ , y ₁ )は(cos( t ),sin( t ))と同じであるため、 sin( t ) = sin(π − t )および−cos( t ) = cos(π − t )は真です。同様に、 tan(π − t ) = −tan( t )であることが推論できます。これは、 tan ( t ) = ⁠であるためです。1 ₁/x ₁⁠そしてtan(π − t ) = ⁠1 ₁/− × ₁上記の簡単な証明は等式sin( ⁠π/4⁠ ) = sin( ⁠3π/4⁠ ) = ⁠1/√2​⁠ .

直角三角形を扱う場合、正弦関数、余弦関数、その他の三角関数は、角度の測定値が0より大きく、 ⁠ より小さい場合にのみ意味を持ちます。π/2⁠ただし、単位円で定義すると、これらの関数は、 2 πより大きい場合でも、任意の実数値の角度測定に対して意味のある値を生成します。実際、正弦、余弦、正接、余接、割線、余割線の 6 つの標準的な三角関数と、正弦や余割線などの古い関数は 、右に示すように、単位円で幾何学的に定義できます。

単位円を使用すると、ラベルの付いている角度以外の多くの角度に対する三角関数の値を、角度の和と差の公式を使用して手作業で簡単に計算できます。

進化関数を持つ離散非線形動的システムのジュリア集合は単位円です。 これは最も単純なケースなので、動的システムの研究で広く使用されています。 $${\displaystyle f_{0}(x)=x^{2}}$$

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