弧の長さ

パラメトリック曲線の弧長の最も基本的な定式化では（位置を持つ平面内を移動する粒子の軌跡として考えられます）${\displaystyle (x(t),y(t))}$その時${\displaystyle t}$弧長は、曲線に沿って速度（速度ベクトルの大きさ）を時間に関して積分することによって得られます。したがって、ユークリッド平面上の連続微分可能な曲線の長さは、次のようにパラメータ化されます。${\displaystyle (x(t),y(t))}$、 のために${\displaystyle a\leq t\leq b}$は積分として与えられる^{[ 1 ]}$${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,dt.}$$ ここで、被積分関数（積分内の平方根）は粒子の速度です。弧長を定義するこの積分は、必ずしも閉じた形式で表現できるとは限らず、代わりに数値積分を用いて弧長の数値を求めることができます。

より一般的には、必ずしも平面上にあるとは限らない曲線については、${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$連続的に微分可能である（つまり、導関数が連続関数である）関数。曲線の長さは次の式で与えられる。 $${\displaystyle L(f)=\int _{a}^{b}|f'(t)|\,dt}$$ どこ${\displaystyle |f'(t)|}$は接線ベクトルのユークリッドノルムである。${\displaystyle f'(t)}$曲線に沿って。

曲線は無限に多くの方法でパラメータ化できる。曲線を定義するために用いられるパラメータ化方法に関わらず、曲線の弧長は常に同じである。

平面上の曲線は、曲線上の有限個の点を連続する順序で（直線）線分で結び、多角形の連鎖を作成することによって近似できます。各線分の長さはピタゴラスの定理を使用して計算し、これらの長さを合計することで連鎖の全長が得られます。その近似値は（累積）弦距離として知られています。^{[ 2 ]}

曲線に沿って点を追加しても、弦距離は減少しません。鎖の中で最も長いセグメントの長さがゼロに近づく極限では、弦距離は有限の範囲まで増加するか、無限に増加する可能性があります。精緻化された多角形鎖の長さが有限の範囲まで増加する場合、この範囲は曲線の長さになります。有限長の滑らかな曲線の場合、この極限の長さは常に積分によって得られる長さと等しくなりますが、この極限に基づく長さの定義は、特定の滑らかでない曲線にも適用されます。このように測定した場合、曲線の2点間のすべての弧の長さが有限であるという性質を持つ曲線は、曲線全体が無限長であっても、可測曲線と呼ばれます。

符号付き弧長は、曲線の原点として取られた基準点に対する方向または「方向」の感覚を伝えるために定義できます（曲線の向きと符号付き距離も参照）。^{[ 3 ]}

ほとんどの場合、単純な曲線であっても、弧長の閉形式解は存在せず、数値積分が必要となります。弧長の公式における微分のため、被積分関数のテイラー級数は弧自体に比べて精度が1桁低下し、それに伴って精度も低下します。しかし、無限に滑らかな関数であれば、弧長積分の数値積分は通常非常に効率的です。例えば、弧長積分を数値積分して単位円の4分の1の長さを求める問題を考えてみましょう。単位円の上半分は次のようにパラメータ化できます。${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}.}$ 間隔${\displaystyle x\in \left[-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right]}$円の4分の1に相当する。$\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$そして${\textstyle 1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {1}{1-x^{2}}},}$単位円の4分の1の長さは

$${\displaystyle \int _{-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}^{\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.}$$

被積分関数は収束テイラー級数で対象領域全体で無限に滑らかであるため、この積分の15 点ガウス・クロンロッド則評価は次のようになります。1.570 796 326 808 177は、実際の長さと異なります。

$${\displaystyle \arcsin x{\bigg |}_{-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}^{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {\pi }{2}}}$$

による1.3 × 10 ⁻¹¹および 16 点ガウス求積法による推定値1.570 796 326 794 727は、真の長さとわずかだけ異なります。1.7 × 10 ⁻¹³ 。これは、わずか16回の被積分関数の評価で、この積分をほぼ機械精度で評価できることを意味します。

させて${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)}$を表面マッピングとし、${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(u(t),v(t))}$この曲面上の曲線とする。弧長積分の被積分関数は${\displaystyle \left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.}$ 導関数を評価するには、ベクトル場の連鎖律が必要です。

$${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=(\mathbf {x} _{u}\ \mathbf {x} _{v}){\binom {u'}{v'}}=\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'。}$$

このベクトルの二乗ノルムは

$${\displaystyle \left(\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'\right)\cdot (\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v')=g_{11}\left(u'\right)^{2}+2g_{12}u'v'+g_{22}\left(v'\right)^{2}}$$

（どこ${\displaystyle g_{ij}}$は第一基本形式係数であるため、弧長積分の被積分関数は次のように書ける。${\displaystyle {\sqrt {g_{ab}\left(u^{a}\right)'\left(u^{b}\right)'\,}}}$（どこ${\displaystyle u^{1}=u}$そして$u^2=v$)

させて${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))}$は極座標で表された曲線とする。極座標から直交座標への変換写像は

$${\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta )。}$$

弧長積分の被積分関数は ${\displaystyle \left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.}$ ベクトル場の連鎖律は、${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '.}$ したがって、弧長積分の被積分関数の二乗は次のようになります。

$${\displaystyle \left(\mathbf {x_{r}} \cdot \mathbf {x_{r}} \right)\left(r'\right)^{2}+2\left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)r'\theta '+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}.}$$

極座標で表された曲線の場合、弧長は次のようになります。 $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\,}}dt=\int _{\theta (t_{1})}^{\theta (t_{2})}{\sqrt {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+r^{2}\,}}d\theta .}$$

2番目の式は極座標グラフを表すものです。${\displaystyle r=r(\theta )}$パラメータ化${\displaystyle t=\theta }$。

さあ${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t),\phi (t))}$球面座標で表された曲線で、${\displaystyle \theta }$正の極角から測定した極角は${\displaystyle x}$-軸と${\displaystyle \phi }$は方位角です。球面座標から直交座標に変換するマッピングは $${\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta ,\phi )=(r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta ).}$$

連鎖律を再び用いると、${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '+\mathbf {x} _{\phi }\phi '.}$ すべてのドット積${\displaystyle \mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} _{j}}$どこ${\displaystyle i}$そして${\displaystyle j}$差はゼロなので、このベクトルの二乗ノルムは $${\displaystyle \left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{r}\right)\left(r'^{2}\right)+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}+\left(\mathbf {x} _{\phi }\cdot \mathbf {x} _{\phi }\right)\left(\phi '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left(\phi '\right)^{2}.}$$

したがって、球面座標で表された曲線の場合、弧長は $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}\,}}dt.}$$

非常によく似た計算により、円筒座標で表された曲線の弧長は次のようになる。 $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\,}}dt.}$$

弧の長さはsで表されます。これは、長さ（または大きさ）を表すラテン語がspatium であるためです。

以下の行では、${\displaystyle r}$円の半径を表します。${\displaystyle d}$直径は、${\displaystyle C}$その円周は、${\displaystyle s}$は円弧の長さであり、${\displaystyle \theta }$は、円弧が円の中心でなす角度です。距離${\displaystyle r,d,C,}$そして${\displaystyle s}$同じ単位で表されます。

• ${\displaystyle C=2\pi r,}$これは、${\displaystyle C=\pi d.}$ この方程式は、${\displaystyle \pi .}$
• 弧が半円であれば、${\displaystyle s=\pi r.}$
• 任意の円弧の場合：
  • もし${\displaystyle \theta }$ラジアンの場合${\displaystyle s=r\theta .}$これはラジアンの定義です。
  • もし${\displaystyle \theta }$度数で表すと、${\displaystyle s={\frac {\pi r\theta }{180^{\circ }}},}$これは、${\displaystyle s={\frac {C\theta }{360^{\circ }}}.}$
  • もし${\displaystyle \theta }$はグラジアン単位（100グラジアンは1直角）で、${\displaystyle s={\frac {\pi r\theta }{200{\text{ grad}}}},}$これは、${\displaystyle s={\frac {C\theta }{400{\text{ grad}}}}.}$
  • もし${\displaystyle \theta }$は回転数で表されます（1回転は完全な回転、つまり360°、または400度、または${\displaystyle 2\pi }$ラジアン）、次に${\displaystyle s=C\theta /1{\text{ turn}}}$。

• アルキメデス螺旋 § 弧長
• サイクロイド§ 弧長
• 楕円 § 弧長
• らせん§ 弧長
• 放物線 § 弧長
• 正弦と余弦 § 弧長
• 三角波 § 弧長

数学の歴史の大部分において、最も偉大な思想家でさえ、不規則な弧の長さを計算することは不可能だと考えていました。アルキメデスは「除去法」によって曲線の下の面積を求める方法を開拓しましたが、直線のように曲線にも明確な長さがあると信じていた人はほとんどいませんでした。この分野で最初の突破口が開かれたのは、微積分学でよくあるように、近似によるものでした。人々は曲線の中に多角形を内接させ、辺の長さを計算して、ある程度正確な長さの測定を始めました。より多くのセグメントを使用し、各セグメントの長さを短くすることで、より正確な近似値を得ることができました。特に、円の中に多くの辺を持つ多角形を内接させることで、πの近似値を見つけることができました。^{[ 6 ] [ 7 ]}

17世紀には、精算法によって、いくつかの超越曲線が幾何学的手法で修正された。例えば、1645年にエヴァンジェリスタ・トリチェリが対数螺旋を、1650年代にジョン・ウォリスが修正したとする資料もある。また、1658年にはクリストファー・レンがサイクロイドを、 1691年にはゴットフリート・ライプニッツが懸垂線をそれぞれ修正した。

1659年、ウォリスは、非自明な代数曲線である半立方放物線の最初の修正を発見したとしてウィリアム・ニールを称賛した。^{[ 8 ]}付随する図は145ページに掲載されている。91ページでは、ウィリアム・ニールはグリエルムス・ネリウスとして言及されている。

微積分学が完全に正式に発展する以前に、弧長に関する現代的な積分形式の基礎は、ヘンドリック・ファン・ヘウラートとピエール・ド・フェルマーによってそれぞれ独立に発見された。

1659年、ファン・ヘウラートは、弧長の決定問題を曲線の下の面積（すなわち積分）の決定問題に変換できることを示す構成法を発表した。彼の方法の例として、彼は半立方放物線の弧長を決定したが、これには放物線の下の面積を求める必要があった。^{[ 9 ]} 1660年、フェルマーは、同じ結果を含むより一般的な理論を『曲線と直線の比較に関する幾何学的論文』（De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica ）で発表した。 ^{[ 10 ]}

フェルマーは接線に関するこれまでの研究を基に、曲線

${\displaystyle y=x^{\frac {3}{2}}\,}$

x = aにおける接線の傾きは​

${\displaystyle {3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}}$

したがって、接線は次の式になります。

${\displaystyle y={3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}(x-a)+f(a).}$

次に、彼はa をわずかに増やしてa + εとし、線分AC がAからDまでの曲線の長さの比較的良い近似値となるようにした。線分ACの長さを求めるために、彼はピタゴラスの定理を使用した。

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}&=AB^{2}+BC^{2}\\&=\varepsilon ^{2}+{9 \over 4}a\varepsilon ^{2}\\&=\varepsilon ^{2}\left(1+{9 \over 4}a\right)\end{aligned}}}$

これを解くと、

${\displaystyle AC=\varepsilon {\sqrt {1+{9 \over 4}a\,}}.}$

長さを近似するために、フェルマーは一連の短い区間を合計した。