ディリクレエネルギー

数学において、ディリクレエネルギーは関数の可変性を示す尺度です。より抽象的に言えば、ソボレフ空間H ¹上の2 次関数です。ディリクレエネルギーはラプラス方程式と密接に関連しており、ドイツの数学者ピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレにちなんで名付けられました。

開集合 Ω⊆Rnと関数u  :Ω→ R^が与えられたとき、関数 uのディリクレエネルギーは実数である。

${\displaystyle E[u]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\|\nabla u(x)\|^{2}\,dx,}$

ここで∇ u  : Ω → R ^{n は}関数 uの勾配 ベクトル場を表します。

ディリクレエネルギーは非負量の積分であるため、それ自体は非負です。つまり、すべての関数uに対して E [ u ] ≥ 0 です。

適切な境界条件を前提として、すべての についてラプラス方程式を解くことは、境界条件を満たし、ディリクレ エネルギーが最小となる 関数 u を見つける変分問題を解くことと同等です。${\displaystyle -\Delta u(x)=0}$${\displaystyle x\in \Omega }$

このような解は調和関数と呼ばれ、ポテンシャル理論の研究対象となっています。

より一般的な設定では、Ω ⊆ R ^{n が}任意のリーマン多様体 Mに置き換えられ、u  : Ω → R が別の（異なる）リーマン多様体Φに対してu  : M → Φに置き換えられると、ディリクレ エネルギーはシグマ モデルによって与えられます。シグマ モデル ラグランジアンに対するラグランジュ方程式の解は、ディリクレ エネルギーを最小化/最大化する関数 uです。この一般的なケースをu  : Ω → Rの特定のケースに制限すると、ラグランジュ方程式（または同等のハミルトン-ヤコビ方程式）が極値解を得るための基本的なツールを提供することがわかります。

• ディリクレの原理 – ポテンシャル理論における概念
• ディリクレ固有値 – 与えられた形状を持つ理想化されたドラムの振動の基本モードフォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 総変動 – 局所振動挙動の測定
• 有界平均振動 – 平均振動が有界である実数値関数フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 調和写像 – ディリクレエネルギー関数の臨界点となる滑らかな写像フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 集合の容量 - ユークリッド空間における、その集合の「大きさ」の尺度フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ

• ローレンス・C・エヴァンス（1998年）。偏微分方程式。アメリカ数学会。ISBN 978-0821807729。