分数

分数（ラテン語のfractus 、「壊れた」に由来）は、全体の一部、またはより一般的には、任意の数の等しい部分を表します。日常英語で話される場合、分数は、たとえば、2分の1、8分の5、4分の3など、特定のサイズの部分がいくつあるかを表します。一般的な分数、俗な分数、または単純な分数（例：および）は、線の上（または1 ⁄ 2のようにスラッシュの前）に表示される整数分子と、その線の下（または後）に表示されるゼロ以外の整数分母で構成されます。これらの整数が正の場合、分子は等しい部分の数を表し、分母はそれらの部分がいくつで単位または全体が構成されているかを示します。たとえば、分数⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {17}{3}}}$3/4⁠、分子の 3 は分数が 3 つの等しい部分を表すことを示し、分母の 4 は 4 つの部分が全体を構成していることを示します。右の図は、⁠3/4⁠ケーキの。

分数は比や割り算を表すのに使えます。^[1]したがって分数は3/4⁠ は、比率 3:4 (部分と全体の比率) や、割り算3 ÷ 4 (3 を 4 で割る) を表すために使用できます。

正の分数の反対を表す負の分数も書くことができます。例えば、1/2⁠ は0.5ドルの利益を表す場合、 − ⁠1/2⁠ は0.5 ドルの損失を表します。符号付きの数の割り算の規則 (負の数を正の数で割ると負の数になるという規則) により、− ⁠1/2⁠、⁠−1/2⁠と⁠1/−2⁠すべて同じ分数、つまり負の半分を表します。そして、負の数を負の数で割ると正の数になるため、⁠−1/−2⁠ は正の半分を表します。

数学において、有理数とは、次の形式の分数で表せる数のことである。1つの/b⁠、ここでaとb は整数で、bはゼロではありません。すべての有理数の集合は、一般に記号Qまたは⁠ ⁠で表され、これは${\displaystyle \mathbb {Q} }$商を表します。分数という用語と表記⁠1つの/b⁠ は、有理数を表さない数式 ( など) や、数を表さない数式 (有理分数など) にも使用できます。 ${\displaystyle \textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x}}}$

分数では、記述される等しい部分の数が分子（ラテン語：numerātor、「カウンター」または「番号付けする」から）であり、部分の種類または種類が分母（ラテン語：dēnōminātor、「名前を付けたり指定したりするもの」から）です。 [ ^{2] [3]}例として、分数⁠8/5⁠ は8 つの部分に分かれており、各部分は「5 番目」と呼ばれるタイプです。除算では、分子は被除数に対応し、分母は除数に対応します。

非公式には、分子と分母は配置だけで区別されることもありますが、正式な文脈では通常、分数線で区切られます。分数線は水平になることもあります（⁠1/3分数には、縦棒（ ⁠）、斜線（ 2/5 ）、対角線（4 ⁄ 9）などがある。^[4]これらの記号はそれぞれ、水平バー、バーギュル、スラッシュ（米国）、ストローク（英国）、分数バー、ソリダス^[5]または分数スラッシュと呼ばれる。^{[n 1]}タイポグラフィでは、分数を縦に積み重ねたものは「en」または「nut fractions 」、対角線は「em」または「 mutton fractions 」とも呼ばれ、分子と分母が1桁の分数が狭いen square の比率を占めるか、より広いem square の比率を占めるかに基づいている。^{[4]伝統的な}活字鋳造では、完全な分数（例⁠1/2⁠）は「格分数」と呼ばれ、分数の一部のみを表すものは「部分分数」と呼ばれていました。

英語の分数の分母は一般に序数で表され、分子が1でない場合は複数形になります。（たとえば、⁠2/5⁠と⁠3/5⁠はどちらも「5分の1」の数として読みます。) 例外として、分母 2 は常に「半分」または「半分ずつ」と読みます。分母 4 は「4分の1」/「4分の1」または「4分の1」/「4分の1」と表現される可能性があり、分母 100 は「100分の1」/「100分の1」または「パーセント」と表現される可能性もあります。

分母が 1 の場合、整数で表すこともできますが、通常は無視され、分子は整数として読み上げられます。たとえば、⁠3/1⁠ は「three wholes」または単に「three」と記述されることがあります。分子が 1 の場合、省略されることがあります (「a tenth」または「each quarter」など)。

分数全体は、単一の構成として表すこともできますが、その場合はハイフンで区切られます。また、分子が 1 である複数の分数として表すこともできますが、その場合はハイフンで区切られません。(たとえば、「5 分の 2」は分数です⁠2/5⁠そして「5分の2」は、 ⁠の2つのインスタンスとして理解される同じ分数です。1/5⁠。) 分数を形容詞として使用する場合は、常にハイフンで区切る必要があります。または、分数を分子と分母で読み上げ、分母を基数で表すこともできます。 (例: ⁠3/1⁠ は「3÷1」と表すこともできます。)スラッシュの左右に数字を置く分数でも、「over」という語が使用されます。(たとえば、1/2 は「one-half」、「one half」、「one over two」と読むことができます。) 分母が 10 の累乗ではない大きな分数は、多くの場合この方法で表されます (例: ⁠1/117⁠ は「117分の1」として読み上げられますが、分母が10で割り切れるものは通常の序数形式で読み上げられます（例：⁠6/1000000⁠「6百万分の1」、「6百万分の1」、または「6百万分の1」など）。

単純分数（普通分数または俗分数とも呼ばれ、俗はラテン語で「普通」の意味）は、a / bまたは⁠ ⁠と表記される有理数で、aとbは両方とも整数です。^[9]他の分数と同様に、分母（b）はゼロにできません。例としては、⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$1/2⁠、 − ⁠8/5⁠、⁠−8/5⁠、および⁠8/−5この用語はもともと、このタイプの分数を天文学で使用される60進分数と区別するために使用されました。^[10]

常分数は正または負になる可能性があり、また、真または偽になる可能性もあります (下記参照)。複合分数、複素分数、帯分数、小数 (下記参照) は常分数ではありませんが、無理数でない限り、常分数として評価できます。

• 単位分数は分子が1である通常の分数です（例：1/7⁠）。単位分数は、負の指数を使用して表すこともできます。たとえば、 2 ⁻¹は 1/2 を表し、 2 ⁻²は 1/(2 ² ) または 1/4 を表します。
• 二分分数とは、分母が2の累乗である分数のことです。例:1/8⁠ = ⁠1/2 ³⁠ .

Unicode では、事前合成された分数文字は数値形式ブロックにあります。

普通分数は、正分数と仮分数に分類できる。分子と分母が両方とも正の場合、分子が分母より小さい場合は正分数、そうでない場合は仮分数と呼ばれる。^[11]「仮分数」という概念は後になって生まれたもので、「分数」が「一片」を意味することからこの用語が生まれた。したがって、正分数は1未満でなければならない。^[10]これは17世紀の教科書『芸術の基盤』で説明されている。^{[12] [13]}

一般に、常分数は、その分数の絶対値が厳密に1未満である場合、つまり分数が-1より大きく1未満である場合、真分数と呼ばれます。 ^{[14] [15]分数の絶対値が1以上の場合は、}仮分数、またはトップヘビー分数と呼ばれることもあります。^[16]真分数の例としては、2/3、-3/4、4/9があり、仮分数の例としては、9/4、-4/3、3/3があります。

分数の逆数は、分子と分母を入れ替えた別の分数です。3/7たとえば、⁠は⁠7/3⁠。非ゼロ分数とその逆数の積は 1 なので、逆数は分数の逆数です。真分数の逆数は不真分数であり、1 に等しくない (つまり、分子と分母が等しくない) 偽分数の逆数は真分数です。

分数の分子と分母が等しい場合（例えば、⁠7/7⁠）、その値は 1 なので、この分数は不適切です。その逆数も同一なので、やはり 1 に等しく、不適切です。

任意の整数は、1を分母とする分数として表すことができます。たとえば、17は次のように表すことができます。17/1⁠ 、ここで1は見えない分母と呼ばれることもあります。^[17]したがって、ゼロを除くすべての分数や整数には逆数があります。たとえば、17の逆数は⁠1/17⁠ .

比率とは、2つ以上の数値の関係であり、分数で表すこともできます。通常、いくつかの項目をグループ化して比率で比較し、各グループ間の関係を数値で指定します。比率は「グループ1対グループ2 ...対グループn」のように表されます。たとえば、自動車販売店に12台の自動車があり、そのうちの1台が

• 2人は白人で、
• 6つは赤で、
• 4つは黄色、

赤い車、白い車、黄色い車の比率は 6 対 2 対 4 です。黄色い車と白い車の比率は 4 対 2 で、4:2 または 2:1 と表すことができます。

比率は、全体に対する比率として表現されるときに分数に変換されることがよくあります。上記の例では、黄色の車と駐車場にあるすべての車の比率は 4:12 または 1:3 です。これらの比率を分数に変換すると、次のようになります。4/12⁠車のまたは⁠1/3⁠駐車場にある車のうち 1 台は黄色です。したがって、人が駐車場にある車を 1 台ランダムに選んだ場合、その車が黄色である 可能性または確率は3 分の 1 です。

小数とは、分母が明示的に与えられていないが、10 の整数乗であると理解される分数のことです。小数は通常、小数点表記法を使用して表現されます。小数点表記法では、暗黙の分母は小数点の右側の桁数によって決まります。小数点の外観(ピリオド、句読点(·)、カンマなど) はロケールによって異なります (例については、小数点を参照してください)。したがって、0.75 の場合、分子は 75 で、暗黙の分母は 10 の 2 乗、つまり 100 です。これは、小数点の右側に 2 桁あるためです。1 より大きい小数 (3.75 など) では、数値の小数部分は小数点の右側の桁 (この場合は 0.75 の値) によって表現されます。 3.75は仮分数375/100としても表すことができ、帯分数3としても表すことができます。+75/100⁠ .

小数は、負の指数を使った科学的記数法で表現することもできます。6.023 × 10 ⁻⁷であり、0.0000006023を表します。10 ^{−7 は}分母を表す10 ⁷ . 割る10 ^{7 は}小数点を 7 桁左に移動します。

小数点の右側に無限の桁数を持つ小数は、無限級数を表します。たとえば、⁠1/3⁠ = 0.333... は、無限級数 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ... を表します。

別の種類の分数はパーセンテージです(ラテン語のper centumに由来し、「100 分の 1」を意味し、% 記号で表されます)。この場合、暗黙の分母は常に 100 です。したがって、51% は 51/100 を意味します。100 より大きいパーセンテージや 0 より小さいパーセンテージも同様に扱われます。たとえば、311% は 311/100 に等しく、-27% は -27/100 に等しくなります。

関連する概念であるパー​​ミルまたは千分率(ppt) には暗黙の分母 1000 が含まれますが、より一般的なパーツパー表記法、たとえば 75百万分率(ppm) は、比率が 75/1,000,000 であることを意味します。

常分数と小分数のどちらを使用するかは、多くの場合、好みと状況の問題です。 常分数は、分母が比較的小さい場合に最もよく使用されます。暗算で 16 を 3/16 で乗算する方が、分数の小数 (0.1875) を使用して同じ計算をするよりも簡単です。 また、たとえば 15 を 1/3 で乗算する方が、15 を 1/3 の 10 進近似値で乗算するよりも正確です。 通貨価値は、通常、分母が 100 の小数、つまり 2 桁の小数で表されます (たとえば $3.75)。 ただし、前述のように、10 進法以前の英国の通貨では、シリングとペンスは分数の形 (意味ではなく) で表されることがよくありました。 たとえば、「3/6」(「3 と 6」と読みます) は 3 シリングと 6 ペンスを意味し、分数 3/6 とは関係がありません。

帯分数（帯分数または帯数字とも呼ばれる）は、ゼロ以外の整数と真分数の合計であり、通常、中間のプラス（+）またはマイナス（-）記号を使用せずに、2つの部分を並置（または連結）して表されます。分数を水平に書く場合は、整数と分数の間にスペースを入れて区切ります。

基本的な例として、2つのケーキ全体と別のケーキの4分の3は、cakesまたはcakesと表記され、数字はケーキ全体を表し、分数は追加の部分的なケーキを表します。これは、より明確な表記であるcakesよりも簡潔です。混合数2${\displaystyle 2{\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle 2\ \,3/4}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle 2+{\tfrac {3}{4}}}$+3/4⁠ は「2と3/4」と発音され、整数部分と分数部分は単語「and」で結ばれる。^[18]減算または否定は混合数全体に適用され、つまり${\displaystyle -2{\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle -{\bigl (}2+{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}.}$

異数の数を足し合わせる規則を適用することで、どんな帯分数も仮分数に変換できます。たとえば、逆に、仮分数は余り の割り算を使用して帯分数に変換できます。この場合、正分数は余りを除数で割ったものになります。たとえば、4 は 11 に 2 回入るので、3 が余ります。${\displaystyle 2+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {8}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {11}{4}}.}$${\displaystyle {\tfrac {11}{4}}=2+{\tfrac {3}{4}}.}$

小学校では、分数の結果は帯分数で表すべきだと教師が主張することが多い。^[19]学校以外では、帯分数は測定値を表すためによく使われる。例えば、⁠2+1/2⁠時間または 5 3/16インチで、日常生活や取引で広く普及しており、特に十進法のメートル法を使用していない地域では広く使用されています。ただし、科学的な測定では、通常、小数に基づくメートル法が使用され、中等学校レベルから、数学の教育では、すべての分数を一律に有理数として扱い、商⁠p/q⁠整数の「仮分数」と「帯分数」の概念を捨て去りました。^{[20]何年も数学の訓練を受けた大学生は、}代数式での並置は乗算を意味するという慣習に慣れているため、帯分数に再び遭遇すると混乱することがあります。^[21]

エジプト分数は、異なる正の単位分数の合計です。たとえば、 です。この定義は、古代エジプト人が 、、を除くすべての分数を次のように表現したという事実に由来しています。すべての正の有理数はエジプト分数として展開できます。たとえば、 はと書くことができます。すべての正の有理数は、単位分数の和として無限の方法で書くことができます。と という2 つの書き方があります。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {5}{7}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{21}}.}$${\displaystyle {\tfrac {13}{17}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{68}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{68}}}$

複素分数では、分子か分母のいずれか、あるいはその両方が分数または帯分数であり、^{[22] [23]}分数の割り算に対応します。たとえば、およびは複素分数です。水平の分数線で「積み重ねて」書かれた入れ子になった分数を解釈するには、短い線が長い線の中に入れ子になっているものとして扱います。複素分数は、以下の § 割り算で説明するように、逆数を掛けることによって簡略化できます。たとえば、 ${\displaystyle {\tfrac {1/2}{1/3}}}$${\displaystyle {\bigl (}12{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}{\big /}26}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\;\!{\tfrac {1}{2}}\;\!}{\tfrac {1}{3}}}&={\frac {1}{2}}\div {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}},\qquad {\frac {\;\!{\tfrac {3}{2}}\;\!}{5}}={\frac {3}{2}}\div 5={\frac {3}{2}}\times {\frac {1}{5}}={\frac {3}{10}},\\[10mu]{\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}&={\frac {12\times 4+3}{4}}\div 26={\frac {12\times 4+3}{4}}\times {\frac {1}{26}}={\frac {51}{104}}.\end{aligned}}}$

複雑な分数は、どの分数が他の分数の中に入れ子になっているかを示す明確なマーカーなしでは書かないでください。そのような表現は曖昧です。たとえば、この表現は、またはとして解釈される可能性があります。意味は、分数を明確な区切り文字で書くか、または明示的に括弧を追加することで明確にすることができます。この例では、または${\displaystyle 5/10/20}$${\displaystyle {\tfrac {5}{10}}{\big /}20={\tfrac {1}{40}}}$${\displaystyle 5{\big /}{\tfrac {10}{20}}=10.}$${\displaystyle (5/10){\big /}20}$${\displaystyle 5{\big /}(10/20).}$

複合分数とは、分数の分数、またはという語でつながれた任意の数の分数であり、^{[22] [23]}分数の乗算に相当します。複合分数を単純分数に約すには、乗算を実行するだけです（§ 乗算を参照）。たとえば、は複合分数で、 に相当します。複合分数と複素分数という用語は密接に関連しており、一方が他方の同義語として使用されることもあります。（たとえば、複合分数は複素分数⁠ ⁠と同等です。） ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {5}{7}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}={\tfrac {15}{28}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}}$${\displaystyle {\tfrac {3/4}{7/5}}}$

それにもかかわらず、「複素分数」と「複合分数」はどちらも時代遅れであると考えられており^[24]、現在では明確な定義のない方法で使用されており、部分的には互いに同義語として、または混合数詞として解釈されています^[25]。^[26]これらは専門用語としての意味を失い、「複雑な」と「複合的な」という属性は、「部分からなる」という日常的な意味で使われる傾向があります。

整数と同様に、分数は交換法則、結合法則、分配法則、およびゼロ除算禁止規則に従います。

帯分数の演算は、各帯分数を仮分数に変換するか、各帯分数を整数部分と小数部分の合計として扱うことによって実行できます。

分数の分子と分母に同じ数（ゼロでない数）を掛けると、元の分数と同じ分数になります。これは、ゼロでない数であれば、分数が1 になるためです。したがって、 を掛けることは1 を掛けることと同じであり、1 を掛けた数はすべて元の数と同じ値になります。例として、分数⁠ ⁠から始めます。分子と分母の両方に 2 を掛けると、結果は⁠ になります。${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tfrac {n}{n}}}$${\displaystyle {\tfrac {n}{n}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$2/4⁠ 、これは⁠と同じ値（0.5）を持ちます。1/2これを視覚的にイメージするには、ケーキを4つに切り分け、そのうち2つを合わせると（⁠2/4⁠）ケーキの半分を占める（⁠1/2⁠）。

分数の分子と分母を同じ非ゼロ数で割ると、同値な分数になります。分数の分子と分母が両方とも 1 より大きい数 (因数と呼ばれる) で割り切れる場合、その分数は分子と分母が小さい同値な分数に約分できます。たとえば、分数の分子と分母が両方とも⁠ ⁠で割り切れる場合、それらは、と表記され、分数は⁠になります。${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a=cd}$${\displaystyle b=ce}$CD/ce⁠、これは分子と分母の両方をcで割ることで約分でき、約分分数⁠ になります。d/e⁠ .

分子と分母の最大公約数を c とすると、分子と分母の絶対値が最小になる分数が得られます。この分数は最小の項まで約分されたといいます。

分子と分母に 1 より大きい因数がない場合は、分数はすでに最小の項まで約分されており、約分不可能、約分、または最も単純な項であると言われます。たとえば、は最小の項ではありません。3 と 9 はどちらも 3 で割り切れるからです。対照的に、は最小の項であり、3 と 8 の両方に均等に入る唯一の正の整数は 1 です。 ${\displaystyle {\tfrac {3}{9}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}$

これらの規則を使用すると、次のことが示されます。5/10⁠ = ⁠1/2⁠ = ⁠10/20⁠ = ⁠50/100たとえば、 ⁠ 。

別の例として、63と462の最大公約数は21なので、分数は63/462⁠ は分子と分母を 21 で割ることで最小の項に簡約できます。

${\displaystyle {\frac {63}{462}}={\frac {63\,\div \,21}{462\,\div \,21}}={\frac {3}{22}}.}$

ユークリッドの互除法は、任意の 2 つの整数の最大公約数を見つける方法を提供します。

同じ正の分母を持つ分数を比較すると、分子を比較した場合と同じ結果になります。

${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}>{\tfrac {2}{4}}}$なぜなら3 > 2であり、等しい分母は正だからです。${\displaystyle 4}$

等しい分母が負の場合、分子を比較すると逆の結果が分数に当てはまります。

${\displaystyle {\tfrac {3}{-4}}<{\tfrac {2}{-4}}{\text{ because }}{\tfrac {a}{-b}}={\tfrac {-a}{b}}{\text{ and }}-3<-2.}$

2 つの正の分数の分子が同じである場合、分母が小さい方の分数が大きい数になります。全体を均等に分割する場合、全体を構成するために必要な均等な部分の数が少なければ、各部分は大きくなければなりません。2 つの正の分数の分子が同じである場合、それらは同じ数の部分を表しますが、分母が小さい方の分数では、部分は大きくなります。

分子と分母が異なる分数を比較する 1 つの方法は、共通分母を見つけることです。と を比較するには、これらをおよびに変換します(ここで、ドットは乗算を表し、 は × の代替記号です)。すると、bd が共通分母となり、分子adとbc を比較できるようになります。分数を比較するために共通分母の値を決定する必要はありません。bd を評価せずにadとbc を比較するだけで済みます。たとえば、 を比較する とになります。 ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$${\displaystyle {\tfrac {a\cdot d}{b\cdot d}}}$${\displaystyle {\tfrac {b\cdot c}{b\cdot d}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {4}{6}}>{\tfrac {3}{6}}}$

より面倒な質問 「 ?」については、各分数の上下をもう一方の分数の分母で乗算して共通分母を求めると 「 ?」になります。計算する必要はなく、分子だけを比較すればよいのです。5×17 (= 85) は 4×18 (= 72) より大きいので、比較の結果は⁠ ⁠です。 ${\displaystyle {\tfrac {5}{18}}}$${\displaystyle {\tfrac {4}{17}},}$${\displaystyle {\tfrac {5\times 17}{18\times 17}}}$${\displaystyle {\tfrac {18\times 4}{18\times 17}}}$${\displaystyle 18\times 17}$${\displaystyle {\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}}$

負の分数を含むすべての負の数はゼロより小さく、正の分数を含むすべての正の数はゼロより大きいため、負の分数は正の分数より小さくなります。これにより、上記の規則と合わせて、すべての可能な分数を比較できます。

加算の第一のルールは、同量のみを加算できるということです。たとえば、さまざまな量の 25 セント硬貨です。異なる量、たとえば 25 セント硬貨に 3 分の 1 を加える場合は、まず、次のように同量に変換する必要があります。ポケットに 25 セント硬貨が 2 枚、別のポケットに 35 セント硬貨が 3 枚入っているとします。合計で 5 枚の 25 セント硬貨があります。4 枚の 25 セント硬貨は 1 枚 (ドル) に相当するため、次のように表すことができます。

${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {5}{4}}=1{\tfrac {1}{4}}}$。

異なる数量 (たとえば、4 分の 1 と 3 分の 1) を含む分数を加算するには、すべての量を同じ数量に変換する必要があります。変換する分数の種類を選択するのは簡単です。各分数の 2 つの分母 (下の数) を掛け合わせるだけです。整数の場合は、見えない分母 1 を適用します。

4分の1と3分の1を加算する場合、両方のタイプの分数は12分の1に変換されます。

${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1\times 3}{4\times 3}}+{\frac {1\times 4}{3\times 4}}={\frac {3}{12}}+{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.}$

次の 2 つの量を追加することを検討してください。

${\displaystyle {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}.}$

まず、分子と分母の両方に3を掛けて15分の1に変換します。${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}\times {\tfrac {3}{3}}={\tfrac {9}{15}}}$3/3⁠ は1 に等しく、⁠を掛け合わせたもの3/3⁠ は分数の値は変更しません。

次に、変換する⁠2/3⁠を分子と分母の両方に 5 を掛けて 15 分の 1に${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {5}{5}}={\tfrac {10}{15}}}$分け ます。

今では、

${\displaystyle {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}}$

は、

${\displaystyle {\frac {9}{15}}+{\frac {10}{15}}={\frac {19}{15}}=1{\frac {4}{15}}.}$

この方法は代数的に表現できます。

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}.}$

この代数的方法は常に機能し、それによって単純な分数の和が常に単純な分数になることが保証されます。ただし、単一の分母に共通因数が含まれている場合は、これらの積よりも小さい分母を使用できます。たとえば、とを加算する場合、単一の分母には共通因数 2 があるため、分母 24 (4 × 6) の代わりに、半分の分母 12 を使用できます。これにより、結果の分母が減るだけでなく、分子の因数も減ります。 ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {5}{6}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {3}{4}}+{\frac {5}{6}}&={\frac {3\cdot 6}{4\cdot 6}}+{\frac {4\cdot 5}{4\cdot 6}}={\frac {18}{24}}+{\frac {20}{24}}&&={\frac {19}{12}}\\[10mu]&={\frac {3\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 5}{2\cdot 6}}={\frac {9}{12}}+{\frac {10}{12}}&&={\frac {19}{12}}.\end{alignedat}}}$

最小の分母は、分母の最小公倍数で表されます。これは、分母の倍数を分母のすべての共通因数で割った結果です。これを最小公分母と呼びます。

分数の引き算の手順は、本質的には足し算と同じです。つまり、共通の分母を見つけ、各分数を、選択した共通の分母を持つ同等の分数に変更します。結果として得られる分数はその分母を持ち、その分子は元の分数の分子を引いた結果になります。たとえば、

${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {4}{6}}-{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{6}}.}$

帯分数を減算するには、被減数から1を余分に借りることができます。たとえば、

${\displaystyle 4-2{\tfrac {3}{4}}=(4-2-1)+{\bigl (}1-{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}=1{\tfrac {1}{4}}.}$

分数を掛け算するには、分子を掛け算し、分母を掛け算します。つまり、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {6}{12}}.}$

このプロセスを説明するために、1/4 の 1/3 を考えてみましょう。ケーキの例で言うと、同じ大きさの 3 つの小さなスライスが 1/4 を構成し、4 つの 4/4 が全体を構成する場合、これらの小さな同じスライス 12 個が全体を構成します。したがって、1/4 の 1/3 は 12 分の 1 です。次に、分子について考えます。最初の分数である 2/3 は、1/3 の 2 倍の大きさです。1/4 の 1/3 は 12 分の 1 なので、1/4 の 2/3 は 2/12 です。2 番目の分数である 3/4 は、1/4 の 3 倍の大きさなので、3/4 の 2/3 は、1/4 の 2/3 の 3 倍の大きさです。したがって、2/3 を 3/4 倍すると、6/12 になります。

分数を掛け算するショートカットは「キャンセル」と呼ばれます。掛け算中に答えが最小の項に減算されるのが実効です。例:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {{\color {RoyalBlue}{\cancel {\color {Black}2}}}^{~1}}{{\color {RedOrange}{\cancel {\color {Black}3}}}^{~1}}}\times {\frac {{\color {RedOrange}{\cancel {\color {Black}3}}}^{~1}}{{\color {RoyalBlue}{\cancel {\color {Black}4}}}^{~2}}}={\frac {1}{1}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}.}$

2 は、左の分数の分子と右の分母の両方に共通する因数であり、両方から割り算されます。3 は、左の分母と右の分子に共通する因数であり、両方から割り算されます。

整数は1で割った数として書き直すことができるため、通常の分数の掛け算の規則も適用できます。たとえば、

${\displaystyle 6\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{1}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {18}{4}}.}$

この方法が機能するのは、分数 6/1 が 6 つの等しい部分を意味し、それぞれが全体であるためです。

帯分数の積は、それぞれを仮分数に変換することで計算できます。^[27]例えば、

${\displaystyle 3\times 2{\frac {3}{4}}={\frac {3}{1}}\times {\frac {2\times 4+3}{4}}={\frac {33}{4}}=8{\frac {1}{4}}.}$

あるいは、帯分数を和として扱い、二項式として掛け合わせることもできます。この例では、

${\displaystyle 3\times 2{\frac {3}{4}}=3\times 2+3\times {\frac {3}{4}}=6+{\frac {9}{4}}=8{\frac {1}{4}}.}$

分数を整数で割るには、分子をその数で割るか（分子に入る数の場合）、分母をその数で掛けます。たとえば、 は に等しく、 にも等しいため、 になります。数を分数で割るには、その数にその分数の逆数を掛けます。つまり、 です。 ${\displaystyle {\tfrac {10}{3}}\div 5}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {10}{3\cdot 5}}={\tfrac {10}{15}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\div {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {4}{3}}={\tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{3}}}$

常分数を小数に変換するには、分子の小数表現を分母で長除算し（慣用的には「分母を分子で割る」とも言います）、答えを必要な精度に丸めます。たとえば、1/4⁠小数点以下を割る1.00作成者4（"4に1.00」）、取得する0.25 . 変更するには⁠1/3⁠小数点以下を割る1.000...によって3（"3に1.000...」）、そして所望の精度が得られたところで停止する。例えば、小数点4桁0.3333。分数⁠1/4⁠ は2桁の小数で正確に表記できますが、分数⁠1/3⁠ は有限桁数の小数として正確に表記することはできません。小数を分数にするには、分母に1の後に小数点の右側の桁と同じ数のゼロを続けて、分子に小数点を除いた元の小数のすべての桁を書きます。つまり${\displaystyle 12.3456={\tfrac {123456}{10000}}.}$

小数は、計算を行うときに使用すると便利であると言えますが、分数ほどの精度に欠ける場合があります。同じ精度に達するには、無限循環小数が必要になる場合があります。そのため、循環小数を分数に変換すると便利な場合がよくあります。

循環小数を表す従来の方法は、繰り返される数字の上にバー ( vinculumと呼ばれる) を配置することです。たとえば、 0.789 = 0.789789789... 小数点の直後から始まる循環パターンの場合、変換の結果は、そのパターンを分子とし、同じ数の 9 を分母とする分数になります。たとえば、次のようになります。

0. 5 = 5/9

0. 62 = 62/99

0. 264 = 264/999

0. 6291 = 6291/9999

先頭のゼロがパターンの前にある場合、9 の後に同じ数の末尾のゼロが付きます。

0.0 5 = 5/90

0.000 392 = 392/999000

0.00 12 = 12/9900

パターンの前に繰り返されない小数点のセットがある場合（0.1523 987など）、その数値はそれぞれ繰り返されない部分と繰り返される部分の合計として表記されます。

0.1523 + 0.0000 987

次に、両方の部分を分数に変換し、上記の方法を使用して加算します。

1523 / 10000 + 987 / 9990000 = 1522464 / 9990000

あるいは、以下のように代数を使用することもできます。

1. x = 循環小数 とします。

   x = 0.1523 987

2. 両辺に、小数点が小数部の直前に移動するのに 十分な大きさの 10 の累乗 (この場合は 10 ^{4 ) を掛けます。}

   10,000 x = 1,523.987

3. 両辺に、繰り返される場所の数と同じ 10 の累乗 (この場合は 10 ^{3 ) を掛けます。}

   10,000,000 x = 1,523,987. 987

4. 2 つの方程式を互いに引きます ( a = bかつc = d の場合、a − c = b − dとなります)。

   10,000,000 x − 10,000 x = 1,523,987. 987 − 1,523. 987

5. 減算演算を続けて循環小数をクリアします。

   9,990,000 x = 1,523,987 − 1,523

   9,990,000 x = 1,522,464

6. 両辺を9,990,000で割ってxを分数として 表す

   x = ⁠1522464/9990000⁠

分数は実用上非常に重要であるだけでなく、数学者によっても研究されており、上で示した分数の規則が一貫しており信頼できるものであるかどうかがチェックされています。数学者は分数を整数の順序付きペアとして定義し、加算、減算、乗算、除算の演算は次のように定義されています。^[28]${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b\neq 0,}$

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)\,}$

${\displaystyle (a,b)-(c,d)=(ad-bc,bd)\,}$

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)}$

${\displaystyle (a,b)\div (c,d)=(ad,bc)\quad ({\text{with, additionally, }}c\neq 0)}$

これらの定義は、表記法が異なるだけで、すべてのケースで上記の定義と一致します。あるいは、減算と除算を演算として定義する代わりに、加算と乗算に関する「逆」分数を次のように定義することもできます。

${\displaystyle {\begin{aligned}-(a,b)&=(-a,b)&&{\text{additive inverse fractions,}}\\&&&{\text{with }}(0,b){\text{ as additive unities, and}}\\(a,b)^{-1}&=(b,a)&&{\text{multiplicative inverse fractions, for }}a\neq 0,\\&&&{\text{with }}(b,b){\text{ as multiplicative unities}}.\end{aligned}}}$

さらに、関係 は次のように定義される。

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\quad \iff \quad ad=bc,}$

は分数の同値関係である。1つの同値類からの各分数は、その類全体の代表とみなすことができ、各類全体は1つの抽象分数とみなすことができる。この同値性は、上で定義された演算によって保持される。つまり、分数に対する演算の結果は、その同値類からの代表の選択とは無関係である。正式には、分数の加算について

${\displaystyle (a,b)\sim (a',b')\quad }$そして暗示する ${\displaystyle \quad (c,d)\sim (c',d')\quad }$

${\displaystyle ((a,b)+(c,d))\sim ((a',b')+(c',d'))}$

他の操作についても同様です。

整数の分数の場合、分数は⁠1つの/b⁠ aとb が 互いに素で、b > 0の場合、それらは同じ有理数であると考えられる同値な分数の一意に決定された代表としてとらえられることが多い。このようにして、整数の分数は有理数の体を構成する。

より一般的には、aとb は任意の整域 Rの元になることができ、その場合、分数はRの分数体の元になります。たとえば、ある不定元内の多項式は、何らかの整域Dからの係数を持ち、それ自体が整域であり、これをPと呼びます。したがって、Pのaとb の元に対して、生成される分数体は有理分数体（有理関数体とも呼ばれます）です。

代数的分数は、 2 つの代数式の指定された商です。整数の分数と同様に、代数的分数の分母は 0 にできません。代数的分数の 2 つの例は、とです。代数的分数は、算術的分数と同じ体の特性に従います。 ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$

⁠ ⁠のように分子と分母が多項式である場合、その代数的分数は有理分数（または有理式）と呼ばれます。無理分数とは、たとえば⁠ ⁠のように分数指数または分数根の下に変数を含む分数のように、有理数ではない分数です。 ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$

代数的分数を表す用語は、通常の分数を表す用語と似ています。たとえば、分子と分母に共通する因数が 1 と -1 だけの場合、代数的分数は最小分数です。分子または分母、あるいはその両方に分数 ( ⁠ ⁠ ) が含まれる代数的分数は、${\displaystyle {\frac {1+{\tfrac {1}{x}}}{1-{\tfrac {1}{x}}}}}$複素分数と呼ばれます。

有理数体とは整数の分数の体ですが、整数自体は体ではなく整域 です。同様に、体に係数を持つ有理分数は、その体 に係数を持つ多項式の分数の体を形成します。実係数を持つ有理分数を考えると、⁠ ⁠などの数を表す根号式も有理分数であり、 などの超越数も有理分数です。これは、 と はすべて実数であり、したがって係数と見なされるためです。ただし、これらの同じ数は、整数係数を持つ有理分数ではありません。 ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}/2}$${\textstyle \pi /2,}$${\displaystyle {\sqrt {2}},\pi ,}$${\displaystyle 2}$

部分分数という用語は、有理分数を単純な分数の和に分解するときに使用されます。たとえば、有理分数は2 つの分数の和として分解できます: ⁠ ⁠ 。これは、有理関数の不定積分の計算に役立ちます(詳細については、部分分数分解を参照してください)。 ${\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}}$${\displaystyle {\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x-1}}}$

分数の分子または分母に根号が含まれる場合もあります。分母に根号が含まれる場合、分数を有理化すると便利です(根号式の簡略化された形式を参照)。特に、分数を加算したり、別の分数と比較したりするなどの操作をさらに実行する必要がある場合に便利です。また、手動で除算を行う場合にも便利です。分母が単項式の平方根である場合、分数の上端と下端の両方に分母を掛けることで有理化できます。

${\displaystyle {\frac {3}{\sqrt {7}}}={\frac {3}{\sqrt {7}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {3{\sqrt {7}}}{7}}.}$

二項分母の有理化のプロセスでは、分数の上端と下端に分母の共役を掛けて、分母が有理数になるようにします。例:

${\displaystyle {\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3+2{\sqrt {5}}}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9+6{\sqrt {5}}}{11}},}$

${\displaystyle {\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3-2{\sqrt {5}}}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9-6{\sqrt {5}}}{11}}.}$

このプロセスによって分子が無理数になったとしても、上記の例のように、分母で処理しなければならない無理数の数が減るため、その後の操作が容易になる可能性があります。

コンピュータのディスプレイや印刷では、単純な分数は ½ (半分)のように 1 つの文字として印刷されることがあります。Unicodeでこれを行う方法については、数値形式に関する記事を参照してください。

科学出版では、分数の表記方法を4種類に区別しており、その使用ガイドラインも定められている。^[29]

• 特殊分数: 斜めのバーが付いた 1 つの文字として表される分数で、テキスト内の他の文字とほぼ同じ高さと幅を持ちます。通常、½、⅓、⅔、¼、¾ などの単純な分数に使用されます。数字が小さいため、特に小さいサイズのフォントでは読みやすさが問題になることがあります。これらは現代の数学表記法では使用されませんが、他のコンテキストでは使用されます。
• 大文字小文字: 特殊分数と同様に、これらは単一の印刷文字として表示されますが、水平バーが付いているため、垂直になります。例は次のようになります。1/2⁠ですが、他の文字と同じ高さでレンダリングされます。一部の資料では、バーの方向に関係なく、分数が1つの印刷スペースしか占有しない場合は、分数をすべて大文字小文字としてレンダリングしています。 ^[30]
• シリング分数またはソリダス分数: 1/2。この表記法は10進法以前のイギリスの通貨 ( £sd ) で使用されていたため、このように呼ばれています。たとえば、ハーフクラウンは「2/6」で、2シリング6ペンスを意味します。「2シリング6ペンス」という表記は分数を表していませんでした。現在では分数、特に文章中の分数 (画面に表示される分数ではなく) では、行が不均等になるのを避けるためにスラッシュが使用されています。また、分数内の分数 (複素分数) や指数内で読みやすくするためにも使用されます。このように書かれた分数はピース分数とも呼ばれ、^[31] 1行の印刷行にすべて書かれますが、3つ以上の印刷スペースが必要です。
• 組立分数:この表記法では、通常のテキストを 2 行以上使用し、他のテキスト内に含まれる場合、行間の間隔が変化します。大きくて読みやすいですが、特に単純な分数や複雑な分数では、見にくくなることがあります。${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

最も古い分数は整数の逆数で、古代の記号は2の1、3の1、4の1などを表していた。^[32]エジプト人は紀元前 1000年頃にエジプト分数を使用していた。約4000年前、エジプト人は分数の割り算をわずかに異なる方法で行っていた。彼らは単位分数 の最小公倍数を使用していた。彼らの方法は現代の方法と同じ答えを与えた。^[33]エジプト人はまた、特定の度量衡システムに使用される2分数に対して異なる表記法を使用していた。 ^[34]

ギリシャ人は単位分数と（後に）単純な連分数を使用しました。ギリシャの哲学者ピタゴラス（紀元前 530 年頃）の信奉者は、2の平方根は整数の分数として表すことができないことを発見しました。（これは、この事実を明らかにしたために処刑されたと言われているメタポントゥムのヒッパソスによく見られる誤りですが）紀元前150年にインドのジャイナ教の数学者が「スタンガン・スートラ」を著しました。これには、数の理論、算術演算、分数を使った演算に関する著作が含まれています。

現代の分数表現であるビンナラシは、インドのアーリヤバータ（紀元 500年頃） ^{[要出典]、} ブラフマグプタ（ 628年頃）、バースカラ（ 1150年頃）の著作に由来すると思われる。^[35]彼らの著作では、分子（サンスクリット語：アムサ）を分母（チェダ）の上に置いて分数を形成しているが、間に線は入れていない。^[35]サンスクリット文学では、分数は常に整数への加算または減算として表現された。^[要出典]整数は1行に書かれ、分数は2つの部分に分かれて次の行に書かれる。分数が小さな円⟨०⟩または十字⟨+⟩でマークされている場合は、整数から減算されている。そのような記号が付いていない場合は、加算されていると理解される。例えば、バースカラ1世は次のように書いている。^[36]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

१ १ १ _०

४ ५ ९

これは次の式と同等である

6 1 2

1 1 −1

4 5 9

現代の記法では6と表記される。1/4⁠、1 ⁠1/5⁠、および 2 −  ⁠1/9⁠（つまり、1 ⁠8/9⁠）。

水平方向の分数線は、モロッコのフェズ出身のイスラム数学者^で、イスラムの相続法を専門とするアル・ハッサール（ 1200年頃活躍）の著作に初めて登場する。彼はその論考の中で、「例えば、5分の3と5分の3を書くように言われたら、このように書く」と書いている。^[37]同じ分数表記法（分数が整数の前に置かれる）^[35]は、その後すぐに13世紀のレオナルド・フィボナッチの著作にも登場する。 ^[38]${\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}}$

ディルク・ヤン・ストルイクは小数の起源について次のように述べている。[ ^39]

小数が一般的な計算方法として導入されたのは、1585年にライデンで出版されたフランドルのパンフレット『De Thiende』に遡る。これは当時北ネーデルラントに定住していたフランドルの数学者シモン・ステヴィン（1548-1620）によるフランス語訳『 La Disme』と合わせて出版された。ステヴィンより何世紀も前に中国で小数が使用されていたことや、ペルシャの天文学者アル・カーシーが『算術の鍵』 （サマルカンド、15世紀初頭）で小数と60進法の分数を非常に簡単に使用していたことは事実である。^[40]

ペルシャの数学者ジャムシード・アル＝カーシーは15世紀に小数を自ら発見したと主張したが、J・レナート・ベルグレンによれば、小数は5世紀前の10世紀にバグダッドの数学者アブル＝ハサン・アル＝ウクリディシによって初めて使用されていたため、彼の主張は誤りであったという。^{[41] [n 2]}

小学校では、分数は、キュイズネール棒、分数バー、分数ストリップ、分数円、紙（折り曲げ用または切り取り用）、パターンブロック、パイ型のピース、プラスチックの長方形、方眼紙、ドット紙、ジオボード、カウンター、コンピューターソフトウェアを通じて説明されてきました。

米国のいくつかの州では、Common Core State Standards Initiativeの数学教育ガイドラインの学習経路を採用しています。分数と分数を使った演算の学習順序の他に、この文書では分数を次のように定義しています。「次の形式で表現できる数」${\displaystyle a}$/${\displaystyle b}$⁠ここで、は整数であり、は正の整数です。（これらの標準では、分数という語は常に負でない数を指します。）" ^[43]この文書自体も負の分数について言及しています。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

• クロス乗算
• 0.999...
• 複数
• フラクトラン

ワイススタイン、エリック(2003)。「CRC 簡潔数学百科事典、第 2 版」。CRC簡潔数学百科事典。チャップマン & ホール/CRC。p. 1925。ISBN 1-58488-347-2。

• 「算術分数」。オンライン数学百科事典。
• 「分数」。ブリタニカ百科事典。2024年1月5日。