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正三角形とは、 3辺の長さがすべて等しく、3つの角がすべて等しい三角形のことです。これらの性質から、正三角形は正多角形であり、正三角形とも呼ばれます。現代の定義では、正三角形は二等辺三角形の特殊な場合であり、さらに特別な性質を持ちます。
正三角形は、様々なタイル張りや、デルタ面体や反角柱などの多面体に見られます。また、現実世界では、大衆文化、建築、立体化学の研究などにも登場し、三角平面分子構造として知られる分子構造に類似しています。
三角形は、3辺が等しく、3つの内角が等しい場合に限り、正三角形であると言われます。これらの内角は60°です。[ 1 ]現代の定義では、正三角形は二等辺三角形の特殊な場合であり、二等辺三角形は少なくとも2辺が等しいと定義されます。[ 2 ]現代の定義に基づくと、これは3辺のうち1辺を底辺とみなせる正三角形につながります。[ 3 ]したがって、二等辺三角形の周長は2辺と底辺の合計であるため、正三角形は辺の長さの3倍として定式化されます。[ 4 ] [ 5 ] これらの特徴から、正三角形は正多角形である。正三角形のチェビアンはすべて長さが等しく、底辺の選択に応じて、中線と角の二等分線を高さとみなすと、それらの長さが等しくなる。[ 1 ]正三角形は記号で次のように表される。シュレーフリ記法による。[ 6 ]
辺の長さが 1 の正三角形の面積は この公式は、ピタゴラスの定理 による二等辺三角形の公式から導き出すことができる。三角形の高さは、一辺の二乗と底辺の半分との差の平方根です。[ 4 ]底辺と脚は等しいので、高さは次のようになります。[ 7 ] 一般に、三角形の面積は底辺と高さの積の半分である。正三角形の面積の公式は、高さの公式を代入することで得られる。[ 7 ]
三角形の等周不等式の変形版では、与えられた周長を持つすべての三角形の中で面積が最大の三角形は正三角形であると述べている。つまり、周長がおよびエリア正三角形の場合、等式が成り立つ。[ 8 ]
正三角形は二面体群の対称性を持つ。位数6の群: この群は、頂点を通る線を辺の中点に反転させることで 3 回の反射を行い、中心を 1/3回転(0°、120°、240°) することで、その外観を維持することができます。[ 9 ]
正三角形の内接円とは、正三角形の辺に接するように内側に収まる円のことです。内接円の半径の公式は、円の重心（つまり、正三角形の重心）から正三角形の任意の辺の中点までの距離です。正三角形の外接円とは、正三角形の3つの頂点すべてに接する円のことです。外接円の半径は、正三角形の重心からその三角形の任意の頂点までの距離です。[ 10 ]
オイラーの定理によれば、距離は外心と内心の間の距離は次のように定式化されます。このことから、正三角形は外接円の半径の比率が最小となる。内半径へ任意の三角形について。つまり：[ 11 ]
ポンペイウスの定理によれば、正三角形の平面上の任意の点しかし、その外接円上にはないならば、辺の長さが の三角形が存在する。、、 そしてつまり、、、 そして三角形の不等式、すなわち、それらのうちの任意の２つの和が３つ目より大きいという不等式を満たす。が外接円上にある場合、2 つの小さい辺の合計は最も長い辺に等しくなり、三角形は直線に退化します。このケースはファン・シューテンの定理として知られています。[ 12 ]
正三角形は、人工建造物や大衆文化に頻繁に登場します。建築では、ゲートウェイ・アーチの断面[ 13 ]、ベグレヴィルの卵の表面[ 14 ]、サンティヴォ・アッラ・サピエンツァ大聖堂の平面図[15 ]に例が見られます。ニカラグアの国旗とフィリピンの国旗にも登場します[ 16 ] [ 17 ]。一時停止標識を含むさまざまな道路標識の形状でもあります[ 18 ] 。8ボールプールのキュー・スポーツでは、 15個の的球が正三角形のラックに並べられます[ 19 ]。 1986年にジョージ・R・デクル・シニアによって考案されたチェスの変種、すなわちトライチェスとトライアングル・チェスは、正三角形のグリッドを持つ盤を使用します。[ 20 ] [ 21 ]。
三元図は、正三角形を使用して、3 つの変数の比率を正三角形内の位置としてグラフィカルに表現します。応用分野は、物理化学、岩石学、鉱物学、冶金学、およびその他の物理科学で、3 つの種で構成されるシステムの構成を示すことです。この図には、集団遺伝学の数学的モデリングにおけるde Finetti 図[ 22 ]や、ゲーム理論および凸最適化におけるシンプレックス図など、さまざまな名前があります。
正三角形は科学の研究で用いられます。立体化学の研究では、中心の1つの原子が平面上の他の3つの原子と結合する分子構造、すなわち三角平面分子構造として記述できます。[ 23 ]心電図では、胸を中心として両腕と脚で仮想の逆三角形が形成され、この三角形はオランダの医師で心理学者のウィレム・アイントホーフェンにちなんでアイントホーフェンの三角形と呼ばれています。[ 24 ]トムソン問題では、最小エネルギー配置に関して、球面上の荷電粒子、および点間の最小距離を最大化する球面コードを構築するタムス問題に対して、知られている最良の解は点を球に内接する正三角形の頂点に配置する。この構成はタムス問題に対して最適であることが証明されているが、このトムソン問題のインスタンスに対する厳密な解は知られていない。[ 25 ]
させて、、 そして任意の三角形の辺上に構築されたいくつかの正三角形である。3 つの正三角形の中心は、すべて外側または内側のいずれかです。、、 そしてそれぞれ正三角形を形成する。この結果は多くの数学者によってフランス皇帝ナポレオン・ボナパルトに帰せられており、そのためナポレオンの定理と呼ばれているが、ナポレオン自身はこの数学的研究とは何の関係もなかった。[ 26 ]コンパスによる円とその中心の作図問題という同様の出来事とともに、これら2つはイタリアの幾何学者で数学者のロレンツォ・マスケローニによって発見され、彼は皇帝にそれらを自分のものとして主張させた。[ 27 ] 1825年に出版された『婦人日記』にはナポレオンの定理の証明が示されている。[ 26 ]
ユークリッドの『原論』の最初の命題は、ある半径の円を描き、コンパスの針をその円上に置き、同じ半径の別の円を描くことから始まります。2つの円は2点で交わります。2つの円の中心と交点の1つを結ぶことで正三角形を作図できます。[ 28 ]
正多角形は、辺の数の奇素因数が互いに異なるフェルマー素数である場合に限り、コンパスと定規で作図可能です。既知のフェルマー素数は 3、5、17、257、65537 の 5 つです。[ 29 ] 同様に、任意の線分を1 辺として始め、コンパスの針を線の端に置き、その点から線分のもう一方の点まで弧を描きます。これを線のもう一方の辺で繰り返し、その結果、2 つの弧が交わる点と線分の両端を結びます。
パッキング問題では、円を可能な限り最小の正三角形に詰め込む。最適な解は、詰め込みに関して知られている。円を正三角形に分割し、推測される最適解は[ 30 ]
モーリーの三等分線定理は、任意の三角形において、隣接する角の三等分線の3つの交点が正三角形を形成することを述べている。
させて正三角形であり、内部の任意の点。 させて、、 そして正三角形がいくつかある3 つの三角形の高さを、三角形間の距離から描きます。中点へ、、 そしてそれぞれ。これらの線分を垂直に回転させると、、、 そしては高度に等しいこの結果は、イタリアの数学者ヴィンチェンツォ・ヴィヴィアーニにちなんで名付けられたヴィヴィアーニの定理によるものである。[ 31 ]
正三角形は、3 つの有理角を度で表した整数辺を持つことができます。 [ 32 ]正三角形は、垂線の足に頂点がある直交三角形と相似な唯一の鋭角三角形として知られています。[ 33 ]また、シュタイナー内接楕円が円である唯一の三角形でもあります（具体的には、内接円）。与えられた円に内接するすべての三角形の中で面積が最大の三角形は正三角形であり、与えられた円に外接するすべての三角形の中で面積が最小の三角形も正三角形です。[ 34 ]正方形を除けば、他の正多角形の内側に内接できる唯一の正多角形です。
ある点が与えられた場合正三角形の内部において、頂点からの距離の合計と辺からの距離の合計の比は2以上であり、等号は、は重心です。他のどの三角形にも、この比率が 2 ほど小さくなる点は存在しません。[ 35 ]これはエルデシュ・モルデルの不等式です。そのより強い変形がバローの不等式で、辺への垂線距離を からの距離に置き換えています。角の二等分線が、、 そして側面を横切る（、、 そして（頂点である）。三角形が正三角形である場合に限り等号が成り立つ三角形の不等式は他にも多数存在する。
パドヴァンのシーケンスは、与えられた初期値を持つ整数の列です。そして漸化式[ 36 ] その結果得られる漸化式は、最初の数個の数値からなる数列を生成する。
パドバン数列は、 1994年のエッセイでオランダの建築家ハンス・ファン・デル・ラーンによる発見だとしたリチャード・パドバンにちなんで名付けられました。 [ 37 ]幾何学的には、この数列は辺の長さに基づいて正三角形を順に敷き詰めて螺旋を作るものとして説明できます。その結果は、正方形を敷き詰めるフィボナッチ数列0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... に似ています。[ 38 ]
特に、正三角形は、1つの頂点で交わる6つの三角形でユークリッド平面をタイル張りします。このテセレーションの双対は六角形タイリングです。切頂六角形タイリング、菱形三角形タイリング、三角形タイリング、スナブ正方形タイリング、スナブ六角形タイリングはすべて、正三角形で構成された半正則テセレーションです。[ 39 ]正三角形から構築された他の2次元オブジェクトには、シェルピンスキー三角形（正三角形を再帰的に小さな正三角形に分割することによって構築されたフラクタル形状）とルーロー三角形（正三角形の各辺を丸めることによって構築された一定の幅の曲線三角形）があります。[ 12 ]
正三角形は、3 次元で多面体を形成することもあります。すべての面が正三角形である多面体をデルタ面と呼びます。厳密に凸なデルタ面は8 つあります。5 つのプラトン立体(正四面体、正八面体、正二十面体) のうち 3 つと、92 個のジョンソン立体(三角両錐、五角両錐、ねじれ二面体、三角拡大三角柱、ジャイロ伸長四角両錐) のうち 5 つです。[ 40 ]より一般的には、すべてのジョンソン立体は、その面の中に正三角形を持っていますが、ほとんどは他の正多角形も持っています。[ 41 ]反角柱は、交互に並んだ三角形の帯を含む多面体の族です。反角柱が均一な場合、その底面は正で、すべての三角形の面は正三角形です。[ 42 ]
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