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数学、より正確には位相幾何学と微分幾何学において、双曲3次元多様体とは、双曲計量を備えた次元3の多様体であり、その断面曲率がすべてに等しいリーマン計量である。−1 。一般に、この計量も完全であることが求められます。この場合、多様体は、3 次元双曲空間を離散的な等長変換群(クライン群)で割った商空間として実現できます。
有限体積の双曲型3次元多様体は、ペレルマンによって証明されたサーストンの幾何化予想からわかるように、3次元トポロジーにおいて特に重要である。クライン群の研究もまた、幾何学的群論において重要なテーマである。
双曲幾何学は、3 次元の 8 つの幾何学の中で最も豊かで、最も理解されていないものです (例えば、他のすべての幾何学では、この幾何学を持つ有限体積多様体の明示的な列挙を与えることは難しくありませんが、双曲多様体の場合はそうではありません)。 幾何化予想の証明後、双曲 3 次元多様体の位相的性質を理解することは、3 次元位相幾何学の主要な目標となっています。 Kahn – Markovic、Wise、Agol らによる最近の画期的な研究は、このトピックに関する長年の未解決問題のほとんどに答えていますが、まだ解決されていないあまり目立たない問題が数多く残っています。[ 1 ]
2 次元では、ほとんどすべての閉曲面は双曲的です (球面、射影平面、トーラス、クラインの壺を除くすべて)。3 次元ではこれは全く当てはまりません。無限に多くの非双曲的な閉多様体を構成する方法がたくさんあります。一方、「一般的な 3 次元多様体は双曲的になる傾向がある」という経験的な記述は、多くの文脈で検証されています。たとえば、衛星結び目でもトーラス結び目でもない結び目はすべて双曲的です。[ 2 ] :系 2.5さらに、双曲結び目に対するほとんどすべてのデーン手術は双曲多様体を生成します。同様の結果はリンクにも当てはまります (サーストンの双曲デーン手術定理)。すべての 3 次元多様体は 3 次元球面内のリンクに対する手術として得られるため、この非公式な記述に、より正確な意味が与えられます。次元 3 において「ほぼすべての」多様体が双曲的であるもう一つの意味は、ランダム モデルの場合である。例えば、種数が 2 以上のランダムHeegaard 分割は、ほぼ確実に双曲的である (接着写像の複雑さが無限大になるとき)。[ 3 ]
3次元多様体の双曲幾何学がその位相幾何学と密接に関係しているのは、モストウの剛性定理からも明らかである。この定理によれば、有限体積を持つ双曲3次元多様体の双曲構造は、そのホモトピー型によって一意に決定される。特に、体積などの幾何学的不変量を用いて、新たな位相的不変量を定義することができる。
この場合、多様体の幾何学を理解するための重要なツールの1つは、厚薄分解です。これは、有限体積の双曲型3次元多様体が2つの部分に分解されることを示しています。
厚い部分と薄い部分の分解は、すべての双曲 3 次元多様体に対して有効ですが、一般に薄い部分は上記のようにはなっていません。双曲 3 次元多様体は、それが引き込まれる凸部分多様体 (その凸コア) を含み、その厚い部分がコンパクトである場合に、幾何学的に有限であると言われます (すべての多様体は凸コアを持ちますが、一般にコンパクトではありません)。 [ 4 ] :定理 12.7.2最も単純なケースは、多様体に「尖点」がない場合 (つまり、基本群に放物型要素が含まれていない場合) で、この場合、多様体は、双曲空間の閉じた凸部分集合を、この部分集合にコンパクトに作用する群で割った商である場合に限り、幾何学的に有限です。
これは、満足のいく構造理論が存在する双曲型3次元多様体のより大きなクラスである。それは2つの定理に基づいている。
双曲多様体の最も古い構成法は、少なくともポアンカレにまで遡り、次のように行われます。まず、有限個の3次元双曲有限多面体から始めます。これらの多面体の2次元面間に側面ペアリングが存在すると仮定します（つまり、各面は互いに異なる別の面とペアになっており、2次元双曲多角形として等長です）。そして、ペアになった面を貼り合わせて得られる空間を考えます（形式的には、これは商空間として得られます）。この空間は、多面体の1-スケルトンの像の外側で明確に定義された双曲計量を持っています。この計量は、次の2つの条件が満たされる場合、空間全体で双曲計量に拡張されます。[ 4 ]：定理10.1.2および10.1.3
この構成の顕著な例として、正十二面体の対向する面を貼り合わせることによって得られるザイフェルト・ウェーバー空間が挙げられる。
この構成の変形として、双曲コクセター多面体（二面角が次の形式である多面体）を使用する方法がある。このような多面体はクライン反射群を生み出し、これは双曲空間の等長変換の離散部分群である。ねじれのない有限指数部分群を取ると、双曲多様体が得られる（これは、適切なシュライアー剰余類グラフによって規定される方法で元のコクセター多面体のコピーを貼り合わせる前の構成によって復元できる）。
前述の構成では、得られる多様体は常にコンパクトです。尖点を持つ多様体を得るには、理想頂点（すなわち、無限遠の球面上にある頂点）を持つ多面体を使用する必要があります。この設定では、接着構成によって必ずしも完全な多様体が得られるとは限りません。完全性は、理想頂点に隣接する辺の二面角を含む方程式系によって検出されます。この方程式系は一般にサーストンの接着方程式と呼ばれます。接着が完全な場合、理想頂点は多様体の尖点になります。このようにして得られる非コンパクトな有限体積双曲多様体の例として、正の理想双曲四面体の面を接着して構成されるギーゼキング多様体があります。
接着が完全でない場合でも、有限体積の完全双曲多様体を構成することが可能です。この場合、得られる計量空間の完備化はトーラス境界を持つ多様体となり、いくつかの（一般的ではない）条件下では、各境界成分に双曲ソリッドトーラスを接着することで、結果として得られる空間が完全双曲計量を持つようになります。位相的には、この多様体は、完全接着によって得られる完全双曲多様体に対する双曲デーン手術によって得られます。
有限体積を持つすべての双曲3次元多様体がこの方法で構築できるかどうかは不明である。[ 5 ]しかし実際には、SnapPeaやReginaなどの計算ソフトウェアは双曲多様体をこのように格納している。[ 6 ]
四元数環から算術的クライン群を構成すると、特に興味深い双曲多様体が得られる。一方で、それらはある意味で双曲3次元多様体の中では「稀」である（例えば、固定された多様体に対する双曲的デーン手術は、ほぼすべてのパラメータに対して非算術的多様体をもたらす）。
上記の明示的な構成とは対照的に、3次元多様体上の完全な双曲構造の存在は、位相情報のみから推論することが可能です。これは幾何化予想の結果であり、次のように述べることができます（この記述は「双曲化定理」と呼ばれることもあり、サーストンによってハーケン多様体の特殊な場合において証明されました）。
トーリック境界を持つコンパクトな3次元多様体が既約かつ代数的にアトーリックである場合（つまり、π 1に単射的に埋め込まれたすべてのトーラスが境界成分とホモトピックである場合）、その内部は有限体積の完全な双曲計量を持つ。
円上の曲面束の特殊なケースとして、このような多様体は常に既約であり、モノドロミーが擬似アノソフ写像である場合に限り、完全な双曲計量を持つ。
幾何化予想のもう一つの帰結は、負の断面曲率を持つリーマン計量を持つ任意の閉じた3次元多様体は、実際には一定の断面曲率-1を持つリーマン計量を持つということである。これは高次元では当てはまらない。[ 7 ]
3 次元多様体の位相的性質は非常に複雑であるため、多くの場合、ある性質が多様体のクラスに対して実質的に成り立つこと、つまり、そのクラスの任意の多様体に対して、その性質を持つ多様体の有限被覆空間が存在することを知ることは興味深い。双曲 3 次元多様体の実質は、Waldhausen と Thurston による一連の予想の対象であり、それらは最近、Jeremy Kahn、Vlad Markovic、Frédéric Haglund、Dani Wise らの研究に続いて Ian Agol によってすべて証明された。予想の最初の部分は、実質的に Haken 予想と論理的に関連していた。強さの順に、それらは次のとおりである。 [ 1 ]
上記1～3を暗示するが、4とは先験的には何の関係もない別の推測（これもアゴルによって証明されている）は次のとおりである 。
クライン群の列は、シャボーティ位相において収束する場合、幾何学的に収束すると言われる。商多様体として得られる多様体の場合、これはそれらが点付きグロモフ・ハウスドルフ計量において収束することに相当する。
双曲体積は、すべての双曲多様体の空間を順序付けるために使用できます。与えられた体積に対応する多様体の集合は有限であり、体積の集合は整列しており、順序型はω ω です。より正確には、サーストンの双曲デーン手術定理は、m個の尖点を持つ多様体は、任意の0 ≤ l < mに対してl個の尖点を持つ多様体の列の極限であることを意味します。したがって、孤立点はコンパクト多様体の体積であり、ちょうど 1 つの尖点を持つ多様体はコンパクト多様体の極限であり、以下同様です。ヨルゲンセンの結果と合わせて、この定理は、任意の収束列は極限多様体上のデーン手術によって得られる必要があることも証明しています。[ 8 ]
与えられた種数の準フクシアン曲面群の列は、二重極限定理のように、二重に退化した曲面群に収束する可能性がある。
