アグネーシの魔女

数学において、アグネージの魔女（イタリア語の発音： [aɲˈɲeːzi, -eːsi; -ɛːzi]）は、円の正反対の2点から定義される 3次平面曲線です。

この曲線は、1653年にピエール・ド・フェルマー、1703年にグイド・グランディ、アイザック・ニュートンによって研究された。この曲線の名前は、1748年に発表したイタリアの数学者マリア・ガエターナ・アニェージに由来する。イタリア語の名前「la versiera di Agnesi」は、ラテン語の versoria（帆船のシート）と正弦「versus」に基づいている。これはジョン・コルソンによって「l'avversiera di Agnesi」と読み替えられ、avversieraは「神に逆らう女性」と翻訳され、「魔女」と解釈された。^{[1] [2] [3] [4]}

逆正接関数の導関数のグラフは、アグネシの魔女の例です。コーシー分布の確率密度関数として、アグネシの魔女は確率論に応用されています。また、関数を多項式で近似する際にルンゲ現象を引き起こし、スペクトル線のエネルギー分布を近似するために使用され、丘の形状をモデル化します。

魔女は、2 つの定義点のうちの 1 つで定義円に接し、もう 1 つの点で円の接線に漸近します。定義円との接点に固有の頂点(極端に曲率が大きい点) があり、その点では魔女の接触円でもあります。また、2 つの有限変曲点と 1 つの無限変曲点があります。魔女と漸近線の間の面積は定義円の面積の 4 倍で、定義線の周りの曲線の回転体積は定義円の回転トーラスの体積の 2 倍です。

この曲線を描くには、任意の2点OとMから始めて、 OMを直径とする円を描きます。円上の他の任意の点Aについて、 N を割線 OAとMにおける接線との交点とします。P を、Aを通るOMに垂直な線と、Nを通るOMに平行な線との交点とします。すると、P はアグネーシの魔女上にあります。 魔女は、 OとMを同じように選択してこのように作図できるすべての点Pで構成されます。^[5]これには、極限ケースとして点M自体が含まれます。

点Oが原点にあり、点M が正の- 軸上にあり、直径OMの円の半径が であるとします。すると、 OとM から構成されるウィッチには、直交座標系^{[6] [7]が成り立ちます。この方程式は、}を選択して の形に 簡略化する か、または分母を消去して3 次代数方程式として簡略化できます。 簡略化された形式では、この曲線は逆正接関数の導関数のグラフです。^[8]${\displaystyle y}$${\displaystyle a}$ $${\displaystyle y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}={\frac {(2a)^{3}}{(x)^{2}+(2a)^{2}}}.}$$${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}}$$${\displaystyle y={\frac {1}{x^{2}+1}}.}$$ $${\displaystyle (x^{2}+1)y=1.}$$

アグネシの魔女は、OMとOAの間の角度を時計回りに測ったパラメータθを持つパラメトリック方程式によっても記述できる。^{[6] [7]} $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=2a\tan \theta ,\\y&=2a\cos ^{2}\theta .\end{aligned}}}$$

この曲線の主な性質は積分学から導かれる。魔女とその漸近線の間の面積は、固定円の面積の4倍である。[ ^{6] [7] [9]}アグネーシの魔女の漸近線を中心とした回転体積 はである。^[6]これは、同じ線の周りを魔女の定義円を回転させることによって形成されるトーラスの体積の2倍である。^[9]${\displaystyle 4\pi a^{2}}$${\displaystyle 4\pi ^{2}a^{3}}$

曲線は定義円との接点に唯一の頂点を持ちます。つまり、この点は曲率が極小値または極大値に達する唯一の点です。^[10]魔女の定義円は頂点の接触円でもあり、^[11]同じ方向と曲率を共有することでその点で曲線に「キス」する唯一の円です。^[12]これは曲線の頂点の接触円であるため、曲線と3次接触しています。 ^[13]

曲線には、角度 に対応する点に 2つの変曲点があります。^{[6] [7]}射影平面上の曲線として考えると、無限遠直線が漸近線と交差する点に3つ目の無限変曲点もあります。変曲点の1つが無限であるため、この曲線は、特異でない3次曲線の有限実変曲点の数が最小になります。^[14]$${\displaystyle \left(\pm {\frac {2a}{\sqrt {3}}},{\frac {3a}{2}}\right)}$$${\displaystyle \theta =\pm \pi /6}$

魔女とその漸近線の間に内接できる長方形の最大面積はであり、${\displaystyle 4a^{2}}$その高さは定義する円の半径で、幅は円の直径の2倍である長方形の場合である。^[9]

この曲線はピエール・ド・フェルマーが1659年に発表した求積法に関する論文で研究された。この論文でフェルマーは曲線の下の面積を計算し、（詳細は述べていないが）同じ方法がディオクレスのシソイドにも適用できると主張している。フェルマーは、この曲線は「 ab erudito geometra」[博識な幾何学者によって]彼に提案されたと書いている。 ^{[16]パラディス、プラ、ヴィアダー（2008年）は、フェルマーにこの曲線を提案した幾何学者は}アントワーヌ・ド・ラルーベールではないかと推測している。^[17]

この曲線の上記構造はグランディ（1718）によって発見された。同じ構造はアイザック・ニュートンによっても以前に発見されていたが、死後の1779年に出版された。^[18]グランディ（1718）はまた、この曲線にイタリア語のversieraまたはラテン語のversoriaという 名前を提案した。 ^{[19]このラテン語は帆を回すロープである}シートにも使われるが、グランディはむしろ彼の構造に現れたversine関数のみを指していたのかもしれない。 ^{[9] [18] [20] [21]}

1748年、マリア・ガエターナ・アニェージは微積分学の初期の教科書『イタリアの微積分学の教科書』を出版した。^[15]その中で、アニェージはまず他の2つの曲線を検討した後、この曲線の研究を取り上げている。アニェージは、この曲線を一定の比率を満たす点の軌跡として幾何学的に定義し、その代数方程式を決定し、その頂点、漸近線、変曲点を求めている。^[22]

マリア・ガエターナ・アニェージはグランディに従ってこの曲線をヴェルシエラと名付けた。^{[20] [22]}偶然にも、当時のイタリアでは悪魔のことをラテン語の「神の敵」を意味するアヴェルシエロやヴェルシエロといった別の言葉で話すのが一般的だった。特にヴェルシエラは悪魔の妻、つまり「魔女」を指すのに使われた。^[23]このため、ケンブリッジ大学のジョン・コルソン教授は曲線の名前を「魔女」と誤訳した。^[24]アニェージと曲線に関する現代のさまざまな著作では、この誤訳がどのようにして起こったのか、少しずつ異なる推測が示唆されている。^{[25] [26]}ストルイクは次のように述べている。^[22]

[ versiera ] という単語はラテン語のvertere（向きを変える）から派生しているが、イタリア語のavversiera（女性の悪魔）の略語でもある。かつてイギリスのあるウィットに富んだ人がこれを「魔女」と翻訳し、そのばかげたしゃれは今でも英語の教科書のほとんどに愛情を込めて保存されている。... この曲線はフェルマー（フェルマー作品集、I、279～280; III、233～234）や他の人の著作にすでに登場しており、 versiera という名前はグイド・グランディ（Quadratura circuli et hyperbolae、ピサ、1703）に由来する。この曲線はニュートンの分類ではタイプ 63 である。... この意味で「魔女」という用語を最初に使用した人物は、B. ウィリアムソンのIntegral calculus、7（1875）、173 であると思われる。^[27] Oxford English Dictionary を参照。

一方、スティーブン・スティグラーは、グランディ自身が「言葉遊びにふけっていたのかもしれない」と示唆している。悪魔を詩と結び付け、正弦関数を女性の胸の形に結び付ける（どちらもイタリア語で「seno」と書く）二重のしゃれである。^[18]

曲線のスケール版は、コーシー分布の確率密度関数である。これは、次のランダム実験によって決定されるランダム変数上の確率分布である：軸上の固定点に対して、を通る直線を一様にランダムに選択し、このランダムな直線が軸と交差する点の座標をとする。コーシー分布は、正規分布に視覚的に似たピーク分布であるが、その対称性にもかかわらず、その重い裾のために通常の定義による期待値を持つことができない。魔女自体の観点から言えば、これは、曲線とその漸近線の間の領域の重心の-座標が、この領域の対称性と有限領域にもかかわらず、明確に定義されていないことを意味する。^{[18] [28]} ${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

数値解析において、等間隔の補間点を持つ多項式補間を使用して関数を近似する場合、一部の関数では、使用する点の数が増えると近似値が悪くなり、補間が近似しようとしている関数に収束するのではなく、その関数から逸脱することがあります。この逆説的な動作はルンゲ現象と呼ばれます。これは、カール・ダーヴィト・トルメ・ルンゲが、アグネーシの魔女の別のスケールバージョンであるルンゲ関数 を区間 で補間したときに初めて発見しました。同じ現象が、より広い区間で魔女自体に発生します。^[29]${\displaystyle y=1/(1+25x^{2})}$${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle y=1/(1+x^{2})}$${\displaystyle [-5,5]}$

アグネシの魔女はスペクトル線、特にX線線のスペクトルエネルギー分布を近似します。 ^[30]

滑らかな丘の断面は魔女の谷に似た形をしている。^[31]この形状の曲線は、数学的モデリングにおいて流れの一般的な地形的障害物として使用されている。^{[32] [33]} 深海の孤立波もこの形状をとることがある。 ^{[34] [35]}

この曲線のバージョンは、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによってπのライプニッツ公式を導くために使われました。この公式、無限級数は、曲線の下の面積を 関数 の積分と等しくし、この関数のテイラー級数展開を無限等比級数として 使用し、項ごとに積分することで導くことができます。^[7]$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\ ,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots ,}$$${\displaystyle 1/(1+x^{2})}$ ${\displaystyle 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots }$

「アグネーシの魔女」はロバート・スピラーの小説のタイトルである。この小説には、教師が学期の歴史を説明する場面が含まれている。^[36]

「アグネーシの魔女」はジャズカルテットRadiusの音楽アルバムのタイトルでもある。アルバムのカバーには魔女の建造物のイメージが描かれている。^[37]

ウィキソースには、1911 年のブリタニカ百科事典の記事「アグネーシの魔女」のテキストがあります。

ウィキメディア・コモンズには、アグネーシの魔女に関連するメディアがあります。

• MacTutor の有名な曲線インデックスの「アグネージの魔女」
• ワイスシュタイン、エリック W.、「アグネーシの魔女」、MathWorld
• Chris Boucher による「Witch of Agnesi」は、 Eric W. Weissteinの作品、The Wolfram Demonstrations Projectに基づいています。
• 「mathcurve」の「アグネーシの魔女」
• ラム、エブリン（2018年5月28日）、「私のお気に入りの空間のいくつか：アグネシの魔女」、ルーツ・オブ・ユニティ、サイエンティフィック・アメリカン