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双曲幾何学において、フェリックス・クラインにちなんで名付けられたクライン四次曲面は、種数3のコンパクトリーマン面であり、この種数に対して可能な最高位の自己同型群、すなわち168位の向き保存自己同型と、向きを反転できる場合は168 × 2 = 336個の自己同型を持つ。このように、クライン四次曲面は可能な最低種のフルヴィッツ曲面である。フルヴィッツの自己同型定理を参照のこと。その（向き保存）自己同型群は、交代群A 5に次ぐ2番目に小さい非可換単純群であるPSL(2, 7)と同型である。この四次曲面は( Klein 1878b )で初めて記述された。
クラインの四次方程式は、表現論、ホモロジー理論、フェルマーの最終定理、クラス番号1の虚二次数体に関するシュタルク・ヘーグナーの定理など、数学の多くの分野で登場します。性質の概説については、 （Levy 1999 ）を参照してください。
元々、「クライン四次曲面」とは、代数方程式で定義される複素射影平面P 2 ( C )の部分集合を具体的に指していました。これは特定のリーマン計量（ P 2 ( C )における極小曲面となる）を持ち、そのガウス曲率は一定ではありません。しかし、より一般的には（この記事のように）、この代数曲線と共形的に同値な任意のリーマン面、特に双曲平面H 2を等長変換によってH 2に自由に作用する特定のコンパクト群Gで割った商空間であるリーマン面として考えられています。これにより、クライン四次曲面はH 2から継承する一定曲率−1のリーマン計量を持つことになります。この共形的に同値なリーマン面の集合は、共形自己同型群が位数168の唯一の単純群と同型である種数3のすべてのコンパクトリーマン面と正確に同じである。この群はPSL(2, 7)としても知られており、また同型群PSL(3, 2)としても知られている。被覆空間理論により、上述の群Gは種数3のコンパクト面の基本群と同型である。
四次曲面の 2 つの異なる形式を区別することが重要です。閉じた四次曲面は、一般的に幾何学で意味されるもので、位相的には種数 3 のコンパクト空間です。開いた、または「穴の開いた」四次曲面は、数論で興味深いもので、位相的には 24 個の穴が開いた種数 3 の曲面で、幾何学的にはこれらの穴は尖点です。開いた四次曲面は、後述するように、閉じた四次曲面の 24 個の正七角形の中心に穴を開けることによって (位相的に) 得られます。開いた四次曲面と閉じた四次曲面は、どちらも双曲的で完備ですが、計量は異なります[ 1 ] – 幾何学的には、尖点は穴ではなく「無限遠点」であるため、開いた四次曲面は依然として完備です。
クラインの4次曲線は、複素数C上の射影代数曲線と見なすことができ、 P 2 ( C )上の同次座標[ x : y : z ]において次の4次方程式で定義されます。
P 2 ( C )におけるこの方程式の軌跡は、クラインが記述した元のリーマン面である。
コンパクトなクライン四次曲面は、イデアルに関連付けられた主合同部分群である適切なフックス群Γ( I )の作用による双曲平面の商として構成することができる。体Q ( η )の代数的整数環Z ( η )において、 η = 2 cos(2 π /7)である。次の恒等式に注意する。
代数的整数環において、 2 – η を7 の素因数として示す。
群Γ( I )は、 (2,3,7)双曲三角形群の部分群である。すなわち、Γ( I )は、生成元i,jと関係式によって結合代数として生成される四元数代数における単位ノルムの要素群の部分群である。
適切なフルヴィッツ四元数の次数を選択する四元数代数では、Γ( I )はノルム 1 の要素のグループである。Γ( I )における双曲要素のトレースの最小絶対値はこれは、クライン四次曲線の収縮期における値3.936に対応し、この属の中で最も高い値の一つである。
クライン四次曲面は、対称群（「正則写像」[ 2 ]）に関連するタイリングを許容し、これらはクラインの原著論文以来、対称群の理解に用いられてきた。群作用の基本領域（完全な向き反転対称群の場合は（2,3,7）三角形）が与えられると、反射領域（この領域の群による像）は、タイリングの自己同型群が曲面の自己同型群と等しくなるような四次曲面のタイリングを与える。つまり、タイリングの線上の反射は群内の反射に対応する（与えられた基本三角形の線上の反射は、3つの生成反射のセットを与える）。このタイリングは、双曲平面（四次曲面の普遍被覆）の次数3の二等分七角形タイリングの商であり、すべてのフルヴィッツ曲面は商として同じようにタイリングされる。
このタイリングは均一ではあるが正則ではない（不等辺三角形によるものである）ため、正則タイリングが代わりに用いられることが多い。(2,3,7) 族の任意のタイリングの商を用いることができ（自己同型群は同じになる）、これらのうち、2 つの正則タイリングは、次数 3 の正双曲七角形24 個によるタイリング（頂点数 56 個）と、次数 7 の正三角形56個によるタイリング（頂点数 24 個）である。自己同型群の位数は、どちらの場合も多角形の数と辺の数の積で関連している。
双曲平面上の被覆タイルは、次数3の七角形タイルと次数7の三角形タイルである。
自己同型群は、（タイリングの対称性では実現されない対称性によって）拡張され、マチュー群M 24を生成する。[ 3 ]
四次多様体の各タイリング（四次多様体を部分集合に分割したもの）に対応して、幾何学を抽象化し、タイリングの組み合わせ論のみを反映する抽象多面体が存在する（これはタイリングから抽象多面体を得る一般的な方法である）。多面体の頂点、辺、面は、タイリングの頂点、辺、面と集合として等しく、同じ接続関係を持ち、抽象多面体の（組み合わせ論的）自己同型群は、四次多様体の（幾何学的）自己同型群と等しい。このようにして、幾何学は組み合わせ論に還元される。
上記は射影四次多様体（閉多様体）のタイリングです。アフィン四次多様体には24個の尖点（位相的には穴）があり、これは正三角形タイリングの24個の頂点、または同等に七角形タイリングの24個の七角形の中心に対応し、以下のように実現できます。
双曲平面の上半平面モデルH 2に対するSL(2, R )の作用をメビウス変換によって考えると、アフィン クライン 4 次式は商Γ(7)\ H 2として実現できる。（ここでΓ(7)は、すべての要素を法7で取ったときに単位行列と合同な行列からなるSL(2, Z )の合同部分群である。）
クライン四次曲面は、双曲平面にフックス群を作用させることで商空間として得られる。基本領域は正14角形で、面積はガウス・ボンネの定理により、これは隣接する図に示されており、そこには表面を敷き詰めて対称群を生成する336個の（2、3、7）三角形も含まれています。
（2,3,7）個の三角形によるテセレーションの中には、24個の正七角形によるテセレーションがあります。曲面の縮尺は8つの七角形の辺の中点を通ります。このため、文献では「8ステップ測地線」と呼ばれており、以下のセクションで本のタイトルの由来となっています。パンツ分解を示す図中の色付きの曲線はすべて縮尺ですが、これはその一部にすぎません。全部で21個あります。縮尺の長さは
同等の閉じた式は
クライン四次曲面は種数3の曲面の対称群を最大化するが、シストール長を最大化するわけではない。最大化が予想される曲面は「M3」と呼ばれる曲面である（Schmutz 1993 ）。M3は（2,3,12）三角形のテセレーションから得られ、そのシストールは多重度24、長さは
クライン四次曲線は、その収縮期のうち 6 つに沿って切断することで、 4組のズボンに分解できます。この分解により、対称的なフェンシェル・ニールセン座標が得られます。長さパラメータはすべて収縮期の長さに等しく、ねじれパラメータはすべて に等しくなります。収縮期の長さ。特に、収縮期の長さとなる座標は
このパンツ分解に対応する3次グラフは四面体グラフ、すなわち4つのノードからなり、各ノードは他の3つのノードと接続されているグラフである。四面体グラフは射影ファノ平面のグラフと類似しており、実際、クライン4次式の自己同型群はファノ平面の自己同型群と同型である。
クライン四次曲面のスペクトル理論についてはほとんど証明されていません。クライン四次曲面は、その位相クラスの中で最大の対称群を持つ曲面であり、種数2のボルツァ曲面とよく似ているため、一定の負の曲率を持つ種数3のすべてのコンパクトリーマン面の中で、ラプラス作用素の最初の正の固有値を最大化すると推測されています。また、そのようなすべての曲面の中で、最初の正の固有値(8)の重複度も最大化しており、この事実は最近証明されました。[ 4 ]クライン四次曲面の固有値は、さまざまな精度で計算されています。最初の15個の異なる正の固有値は、重複度とともに次の表に示されています。
クライン四次曲線は、3次元図形として実現することはできません。なぜなら、 PSL( 2,7) はSO(3) (またはO(3) )の部分群として埋め込まれず、実数上の (非自明な) 3次元線形表現を持たないため、 PSL(2,7) と同じ (回転) 対称性を持つ 3次元図形は存在しないからです。
しかし、クラインの原著論文[ 2 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]を皮切りに、クライン四次曲面の特徴を示し、幾何学的には必ずしもそうではないものの、位相的に対称性を保持することを目的とした、クライン四次曲面の多くの3次元モデルが提示されている。結果として得られるモデルは、ほとんどの場合、正四面体（次数12）または正八面体（次数24）の対称性を持つ。残りの次数7の対称性は容易に視覚化できず、実際、クラインの論文のタイトルとなっている。
多くの場合、4次曲面は、正四面体の辺をチューブ/ハンドルに置き換えることで得られる、滑らかな種数3の曲面（「テトルス」と呼ばれる）[ 8 ]、または多面体近似（「テトロイド」と呼ばれる）[ 8 ]によってモデル化されます。どちらの場合も、これは形状の3次元への埋め込みです。最も注目すべき滑らかなモデル（テトルス）は、カリフォルニア州バークレーのサイモンズ・ラウファー数学科学研究所にあるヘラマン・ファーガソンの彫刻「八重の道」で、大理石と蛇紋岩でできており、1993年11月14日に公開されました。タイトルは、三角形分割された曲面の任意の頂点から出発し、任意の辺に沿って移動する場合、頂点に到達したときに左右に交互に曲がると、8辺後に必ず元の点に戻るという事実を指しています。この彫刻の入手は、やがて論文集（Levy 1999 ）の出版につながり、四次曲面の特性を詳述し、クラインの論文の最初の英語訳を収録している。四面体対称性を持つ多面体モデルは、多くの場合、凸包が切頂四面体である。例と図については、 （Schulte & Wills 1985 ）および（Scholl, Schürmann & Wills 2002 ）を参照。これらのモデルの中には、20個の三角形または56個の三角形（抽象的には、 56個の面、84個の辺、24個の頂点を持つ正多面体{3,7|,4}）で構成され、四面体の腕にねじれがあるため、正三角形として実現できないものもある。一方、他のモデルは24個の七角形を持ち、これらの七角形は非凸ではあるものの平面とみなすことができ、[ 9 ]、その複雑さは（柔軟な）頂点ではなく（柔軟性のない）七角形の面の形状に反映されるため、三角形のモデルよりも複雑である。[ 2 ]
あるいは、4次曲面は八面体対称性を持つ多面体でモデル化することもできます。クラインは、八面体対称性と無限遠点を持つ形状（「開いた多面体」）で4次曲面をモデル化しました[ 6 ]。具体的には、直交軸上で交わる3つの双曲面です[ 2 ] 。また、埋め込みではなく、自己交差を持つ閉じた多面体としてモデル化することもできます[2]。このような多面体は、切頂立方体[ 10 ]、ねじれ立方体[ 9 ] 、または右の小さな立方立方八面体のように菱形立方八面体など、さまざまな凸包を持つことができます。[ 3 ]小さな立方立方八面体の埋め込みは、いくつかの三角形を結合することによって得られます (2 つの三角形で正方形、6 つの三角形で八角形を形成)。これは、三角形に色を付けることで視覚化できます(対応するタイリングは、位相的には3 4 | 4 タイリングですが、幾何学的にはそうではありません)。この埋め込みは、正方形と八角形の二等分線の反対の点を交換する置換を PSL(2,7) に追加することにより、幾何学的にMathieu 群M 24 を構築するためにも使用できます。[ 3 ]
クライン四次曲線上のdessin d'enfantは、その自己同型群（商はリーマン球面）によって商写像に関連付けられており、まさに次数3の七角形タイリングの1-スケルトンである。[ 11 ]つまり、商写像は点0、1728、および∞で分岐しており、1728で割るとBelyi関数（0、1、および∞で分岐）が得られ、56個の頂点（dessinの黒い点）は0上にあり、84個の辺（dessinの白い点）の中点は1上にあり、24個の七角形の中心は無限大上にある。結果として得られるdessinは「プラトン的」dessinであり、辺推移的で「クリーン」（各白い点の価数は2）であることを意味する。
クライン四次曲面は、他の様々なリーマン面と関連している。
幾何学的には、これは最小のフルヴィッツ曲面（最小種数）であり、次にマクベス曲面（種数7）があり、その次は第1フルヴィッツ三つ組（種数14の3つの曲面）です。より一般的には、これは特定の種数（フルヴィッツ曲面であること）の中で最も対称性の高い曲面です。このクラスでは、ボルツァ曲面が最も対称性の高い種数2の曲面であり、ブリング曲面は対称性の高い種数4の曲面です。詳細については、リーマン面の等長変換を参照してください。
代数的に言えば、（アフィン）クライン四次曲線はモジュラー曲線X(7)であり、射影クライン四次曲線はそのコンパクト化である。ちょうど正十二面体（各面の中心に尖点を持つ）がモジュラー曲線X(5)であるのと同様である。これが数論との関連性を説明する。
より微妙な点として、（射影的）クライン四次曲線は志村曲線であり（種数7および14のフルヴィッツ曲面と同様）、そのため次元6の主に偏極したアーベル多様体をパラメーター化する。 [ 12 ]
さらに特筆すべきことに、クライン四次曲面はウラジミール・アーノルドの意味で「三位一体」の一部を形成しており、これはマッケイ対応とも表現できる。この集合では、射影特殊線形群PSL(2,5)、PSL(2,7)、PSL(2,11)（位数60、168、660）が類似している。4 × 5 × 6/2 = 60、6 × 7 × 8/2 = 168、10 × 11 × 12/2 = 660であることに注意。これらは正二十面体対称性（種数0）、クライン四次曲面の対称性（種数3）、バッキーボール表面（種数70）に対応する。[ 13 ]これらはさらに他の多くの特筆すべき現象と関連しており、「三位一体」で詳しく説明されている。
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