ガウスマップ

微分幾何学において、曲面 のガウス写像は、曲面上の各点を、その点で曲面に直交する単位ベクトルに写像する関数である。すなわち、ユークリッド空間R ³上の曲面X が与えられた場合、ガウス写像は、X内の各pに対して、関数値N ( p ) がpにおいてXに直交する単位ベクトルとなるような写像N : X → S ² (ここでS ²は単位球面) である。ガウス写像は、カール・F・ガウスにちなんで名付けられた。

ガウス写像は、面が有向性である場合にのみ（全体的に）定義できます。有向性の場合、次数はオイラー特性の半分になります。ガウス写像は常に局所的に（つまり、面の小さな部分で）定義できます。ガウス写像のヤコビ行列式はガウス曲率に等しく、ガウス写像の微分は形状演算子と呼ばれます。

ガウスは1825年にこのテーマに関する草稿を初めて書き、1827年に出版した。

リンクのガウス マップもあり、リンク数を計算します。

ガウス写像は、R ⁿの超曲面に対して、超曲面から単位球面S ^{n − 1}  ⊆  R ⁿへの写像として定義できます。

R ⁿの一般的な有向k部分多様体に対してもガウス写像を定義することができ、その対象空間は有向グラスマン多様体 、すなわちR ⁿ内のすべての有向k平面の集合である。この場合、部分多様体上の点は、その有向接部分空間に写像される。また、その有向法線部分空間に写像することもできる。これらは、直交補集合を介してと同値である。ユークリッド 3 次元空間では、これは、有向 2 次元平面が有向 1 次元直線、つまり単位法線ベクトル ( と同値) によって特徴付けられることを意味しており、したがってこれは上記の定義と一致している。 ${\displaystyle {\tilde {G}}_{k,n}}$${\displaystyle {\tilde {G}}_{k,n}\cong {\tilde {G}}_{n-k,n}}$${\displaystyle {\tilde {G}}_{1,n}\cong S^{n-1}}$

最後に、ガウス写像の概念は、次元nの有向周囲リーマン多様体M内の次元kの有向部分多様体Xに一般化できます。その場合、ガウス写像はXから接バンドルTM内の接k平面の集合に進みます。ガウス写像Nのターゲット空間は、接バンドルTM上に構築されたグラスマンバンドルです。 の場合、接バンドルは自明化され (したがってグラスマンバンドルはグラスマン多様体への写像になります)、以前の定義が回復されます。 ${\displaystyle M=\mathbf {R} ^{n}}$

ガウス写像の像の面積は全曲率と呼ばれ、ガウス曲率の面積分に相当します。これはガウスによって与えられたオリジナルの解釈です。

${\displaystyle \iint _{R}\pm |N_{u}\times N_{v}|\ du\,dv=\iint _{R}K|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv=\iint _{S}K\ dA}$

ガウス・ボネの定理は、表面の全曲率とその位相特性を結び付けます。

ガウス写像は表面の多くの特性を反映します。表面のガウス曲率がゼロの場合 (つまり放物線に沿う場合)、ガウス写像には褶曲カタストロフが発生します。この褶曲には尖端が含まれることがあり、これらの尖端はThomas Banchoff、Terence Gaffney 、 Clint McCroryによって詳細に研究されました。放物線と尖端はどちらも安定した現象であり、表面がわずかに変形してもそのまま残ります。尖端は次の場合に発生します。

1. 表面は双接平面を持つ
2. 尾根が放物線を横切る
3. 表面の漸近曲線の変曲点の集合の閉包において。

尖端には、楕円尖端と双曲尖端の 2 種類があります。

• KF ガウス、地上権の一般請求(1827 年)
• Gauss, KF, 「曲面の一般的調査」、英語訳。Hewlett、ニューヨーク：Raven Press (1965)。
• Banchoff, T., Gaffney T., McCrory C., Cusps of Gauss Mappings、(1982) Research Notes in Mathematics 55、Pitman、ロンドン。オンライン版は2008-08-02にWayback Machineでアーカイブされています<--リンク切れ; Dan Dreibelbisのオンライン版（2023-07-01にアクセス）、2008-08-02にWayback Machineでアーカイブされています
• Koenderink、JJ、Solid Shape、MIT Press (1990)

• ワイスタイン、エリック W.「ガウス地図」。マスワールド。
• Thomas Banchoff、Terence Gaffney、Clint McCrory、Daniel Dreibelbis (1982)。ガウス写像のカスプ。数学研究ノート。第 55 巻。ロンドン: Pitman Publisher Ltd。ISBN 0-273-08536-0. 2016年3月4日閲覧。