固有値と固有ベクトル

式（2 ）は、行列（A − λI）の行列式がゼロである場合に限り、非ゼロ解vを持つ。したがって、 Aの固有値は、式を満たすλの値である。

行列式のライプニッツ公式を用いると、式（ 3）の左辺は変数λの多項式関数であり、この多項式の次数は行列Aの次数nである。その係数はAの要素に依存するが、次数nの項は常に（−1）^{nλnとなる。}この多項式はAの特性多項式と呼ばれる。式（3 ）はAの特性方程式または永年方程式と呼ばれる。

n × n行列Aの特性多項式はn次多項式であり、最大でn個の複素数根を持ちます。これらの根は、特性多項式を因数分解するか、数値的に根を求めることで見つけることができます。特性多項式は、n個の線形項の積に因数分解できます。

ここで、複素数λ₁ _, λ₂ _, ..., λn （それぞれが固有値_）は重複する可能性がある。（固有値が特性多項式に現れる回数をその代数的重複度という。）

後ほど例のセクションで詳しく説明する簡単な例として、次の行列を考えてみましょう。 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}$$( A − λI ) の行列式を取ると、 Aの特性多項式は次のようになる。 $${\displaystyle \det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}.}$$ 特性多項式をゼロに設定すると、λ = 1とλ = 3に根を持ち、これらはAの 2 つの固有値です。各固有値λに対応する固有ベクトルは、方程式( A − λI ) v = 0のvの成分を解くことによって求めることができます。この例では、固有ベクトルは、次の任意のゼロでないスカラー倍です。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.}$$

行列Aの要素がすべて実数である場合、特性多項式の係数も実数になりますが、固有値にはゼロでない虚部が含まれる可能性があります。したがって、対応する固有ベクトルの要素にもゼロでない虚部が含まれる可能性があります。同様に、Aの要素がすべて有理数であっても、あるいはすべて整数であっても、固有値は無理数になる可能性があります。ただし、 Aの要素がすべて代数的数（有理数を含む）である場合は、固有値も代数的数でなければなりません。

実数係数を持つ実数多項式の非実数根は、複素共役のペアにまとめることができます。つまり、各ペアの2つの要素は、虚部が符号のみ異なり、実部は同じです。次数が奇数の場合、中間値の定理により、少なくとも1つの根は実数になります。したがって、奇数次の実数行列は少なくとも1つの実数固有値を持ちますが、偶数次の実数行列は実数固有値を持たない場合があります。これらの複素固有値に対応する固有ベクトルも複素数であり、複素共役のペアに現れます。

行列のスペクトルとは、その固有値を重複度に応じて繰り返したリストのことです。より簡潔に言えば、重複度を付記した固有値の集合のことです。

行列のスペクトルに関連する重要な量の一つは、その行列のすべての固有値の絶対値の最大値です。これは、対象となる行列のスペクトル半径として知られています。

λ _{i を}n × n行列Aの固有値とする。固有値の代数的重複度μ _A ( λ _i )は、特性多項式の根としての重複度、すなわち( λ _i − λ ) ^kがその多項式を割り切る最大の整数kである。^{[ 9 ] [ 25 ] [ 26 ]}

行列A の次数がnであり、d ≤ n 個の異なる固有値を持つとします。式 ( 4 ) はAの特性多項式を、いくつかの項が繰り返される可能性のあるn個の線形項の積に因数分解しますが、特性多項式は、それぞれ異なる固有値に対応するd個の項の積として、代数的重複度で累乗した形でも表すことができます。 $${\displaystyle \det(A-\lambda I)=(\lambda _{1}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.}$$d = n の場合、右辺はn 個の線形項の積となり、これは式 ( 4 )と同じである。各固有値の代数的重複度の大きさは、次元nと次のよう に関係している。$${\displaystyle {\begin{aligned}1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{aligned}}}$$μ _A ( λ _i ) = 1 の場合、λ _iは単純固有値であると言われます。^{[ 26 ]} μ _A ( λ _i )がλ _iの幾何学的重複度( γ _A ( λ _i )で表され、次のセクションで定義されます) に等しい場合、 λ _{i は}半単純固有値であると言われます。

特定の固有値が与えられた場合${\displaystyle \lambda }$の​​${\displaystyle n\times n}$マトリックス​​${\displaystyle A}$⁠、セットを定義します⁠${\displaystyle E}$すべてベクトルである${\displaystyle \mathbf {v} }$式（２） を満たすもの：$${\displaystyle E=\left\{\mathbf {v}$$ \left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} \right\}.} 一方、 ⁠${\displaystyle E}$はまさに行列の核または零空間である。${\displaystyle A-\lambda I}$一方、定義により、この条件を満たすゼロでないベクトルはすべて の固有ベクトルである。${\displaystyle A}$関連する​${\displaystyle \lambda }$⁠ ; だから⁠${\displaystyle E}$は、ゼロベクトルと のすべての固有ベクトルの集合との和集合です。${\displaystyle A}$関連する​${\displaystyle \lambda }$⁠ . スペース⁠${\displaystyle E}$はの固有空間または特性空間と呼ばれます。${\displaystyle A}$関連する​${\displaystyle \lambda }$⁠ . ^{[ 27 ] [ 9 ]}一般的に、 ⁠${\displaystyle \lambda }$は複素数であり、固有ベクトルは複素数である。${\displaystyle n\times 1}$行列（列ベクトル）。すべての零空間は領域の線形部分空間であるため、${\displaystyle E}$はの線形部分空間である${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$⁠ .

固有空間のため${\displaystyle E}$は線形部分空間であり、加法に関して閉じている。つまり、2 つのベクトルが の場合、${\displaystyle \mathbf {u} }$そして​​${\displaystyle \mathbf {v} }$セットに属する${\displaystyle E}$⁠、書かれた⁠${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in E}$⁠、それから⁠${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} \in E}$⁠、または同等に⁠${\displaystyle A(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} )}$これは行列乗算の分配法則を用いて確認できます。同様に、${\displaystyle E}$は線形部分空間であり、スカラー乗法に関して閉じている。つまり、 の場合、${\displaystyle \mathbf {v} \in E}$そして​​${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$⁠、それから⁠${\displaystyle \alpha \mathbf {v} \in E}$⁠、または同等に⁠${\displaystyle A(\alpha \mathbf {v} )=\lambda (\alpha \mathbf {v} )}$これは、複素行列と複素数の乗算が可換であることに注目することで確認できます。${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} }$そして​​${\displaystyle \alpha \mathbf {v} }$はゼロではなく、また の固有ベクトルでもある。${\displaystyle A}$関連する​${\displaystyle \lambda }$⁠ .

固有空間の次元${\displaystyle E}$関連する​${\displaystyle \lambda }$⁠、または同等に、 に関連付けられた線形独立な固有ベクトルの最大数⁠${\displaystyle \lambda }$は固有値の幾何学的重複度と呼ばれ、で表されます。${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )}$なぜなら​​${\displaystyle E}$はのヌル空間でもある${\displaystyle A-\lambda I}$⁠、の幾何学的多重度⁠${\displaystyle \lambda }$はの零空間の次元です。${\displaystyle A-\lambda I}$⁠、また無効とも呼ばれる⁠${\displaystyle A-\lambda I}$⁠。この量は、 のサイズとランクに関連しています。${\displaystyle A-\lambda I}$式によって ：$${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )=n-\operatorname {rank} (A-\lambda I).}$$ 固有値と固有ベクトルの定義により、固有値の幾何学的重複度は少なくとも 1 でなければなりません。つまり、各固有値には少なくとも 1 つの固有ベクトルが対応しています。さらに、固有値の幾何学的重複度は代数的重複度を超えることはできません。また、固有値の代数的重複度は⁠を超えることはできないことを思い出してください。${\displaystyle n}$要約すると 、$${\displaystyle 1\leq \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )\leq n.}$$

不等式の証明${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )}$⁠ : B = A − λIとする。ここでλは固定された複素数であり、 λに対応する固有空間はBの零空間である。その固有空間の次元を ⁠ とする。${\displaystyle k=\gamma _{A}(\lambda )}$これは、 Bの階段行列の最後のk行がゼロであることを意味します。したがって、ガウス・ジョルダン簡約から得られる 可逆行列Eが存在し$${\displaystyle EB={\begin{bmatrix}*&*\\\mathbf {0} _{k\times (n-k)}&\mathbf {0} _{k\times k}\end{bmatrix}}.}$$したがって、 EB − tEの 最後のk行は、 Eの最後のk行の(− t )倍になります。したがって、行列式の基本性質 (同次性) により、多項式t ^kは多項式det( EB − tE )を割り切ります。一方、det( EB − tE ) = det E、 det( B − tI ) = p _A ( t + λ ) det Eなので、( t − λ ) ^kはp _A ( t )を割り切り、したがってλの代数的重複度は少なくとも⁠${\displaystyle k}$証明終了

A にはd ≤ n 個の異なる固有値λ ₁ , ..., λ _dがあると仮定します。ここで、 λ _iの幾何学的重複度はγ _A ( λ _i )です。A の全幾何学的重複度は、$${\displaystyle \gamma _{A}=\sum _{i=1}^{d}\gamma _{A}(\lambda _{i}),}$$は、 Aの固有値のすべての固有空間の和 の次元、または同等に、 Aの線形独立な固有ベクトルの最大数です。構成上、${\displaystyle d\leq \gamma _{A}\leq n}$⁠ . もし⁠${\displaystyle \gamma _{A}=n}$そして：

• Aのすべての固有値の固有空間の直和は、ベクトル空間全体である。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$⁠ .
• 基礎${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$Aのn個の線形独立な固有ベクトルから形成することができ、このような基底は固有基底と呼ばれます。
• 任意のベクトル${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$Aの固有ベクトルの線形結合として表すことができる。

A を任意のn × n複素数行列とし、その固有値をλ ₁ , ..., λ _nとする。各固有値は、このリストにμ _A ( λ _i )回出現する。ここで、 μ _A ( λ _i )はその固有値の代数的重複度である。この行列とその固有値の性質は以下のとおりである。

• 痕跡​​​${\displaystyle A}$は、その対角要素の合計として定義され、そのすべての固有値の合計でもあります。 ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}$${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}.}$$
• の決定要因​${\displaystyle A}$は、そのすべての固有値の積です。 ^{[ 28 ] [ 31 ] [ 32 ]}$${\displaystyle \det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}$$
• 任意の正の整数に対して${\displaystyle k}$⁠、の固有値⁠${\displaystyle k}$⁠の⁠${\displaystyle A}$つまり、​${\displaystyle A^{k}}$⁠、は⁠$\displaystyle \lambda _{1}^{k},\ldots ,\lambda _{n}^{k}}$⁠ .
• 行列の固有値${\displaystyle A+I}$（場所）${\displaystyle I}$（単位行列）は${\displaystyle \lambda _{1}+1,\ldots ,\lambda _{n}+1}$さらに、任意の${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$行列の固有値${\displaystyle A+\alpha I}$⁠は⁠${\displaystyle \lambda _{1}+\alpha ,\ldots ,\lambda _{n}+\alpha }$⁠ .
• より一般的には、任意の多項式に対して${\displaystyle P}$行列の固有値${\displaystyle P(A)}$⁠は⁠${\displaystyle P(\lambda _{1}),\ldots ,P(\lambda _{n})}$⁠ .
• ⁠${\displaystyle A}$⁠ は、すべての固有値が ⁠ である場合に限り可逆である。$\displaystyle \lambda _{i}}$はゼロではありません。
• もし​${\displaystyle A}$は可逆であり、その場合のの固有値は${\displaystyle A^{-1}}$⁠は$\textstyle {\frac {1}{\lambda _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\lambda _{n}}}}$そして、対応する固有値のペアごとに、幾何学的重複度は${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda _{i})}$そして​${\textstyle \gamma _{A^{-1}}({1 \over \lambda _{i}})}$一致する。さらに、逆多項式の特性多項式は、スカラー因子を除いて元の多項式の逆数であるため、対応する固有値のペアごとに、代数的重複度は⁠${\displaystyle \mu _{A}(\lambda _{i})}$そして​${\textstyle \mu _{A^{-1}}({1 \over \lambda _{i}})}$一致する。
• もし​${\displaystyle A}$は共役転置と等しい${\displaystyle A^{*}}$つまり、​${\displaystyle A}$はエルミート行列であり、すべての固有値は$\displaystyle \lambda _{i}}$は実数である。これは、任意の対称実数行列についても同様である
• もし​${\displaystyle A}$はエルミート行列であるだけでなく、正定値行列、正半定値行列、負定値行列、または負半定値行列でもある場合、すべての固有値は$\displaystyle \lambda _{i}}$はそれぞれ、正、非負、負、または非正です。
• もし​${\displaystyle A}$⁠はユニタリであり、すべての固有値は⁠$\displaystyle \lambda _{i}}$絶対値を持つ${\displaystyle \vert \lambda _{i}\vert =1}$⁠ .

多くの分野では、従来、ベクトルを単一の行を持つ行列ではなく、単一の列を持つ行列として表現してきました。そのため、行列の文脈における「固有ベクトル」という言葉は、ほぼ常に「右固有ベクトル」、つまり定義式（1） のn × n行列Aに右から乗算される列ベクトルを指します。$${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} .}$$ 固有値と固有ベクトルの問題は、行列Aを左に乗算する行ベクトルに対しても定義できます。この定式化では、定義方程式は次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {u} A=\kappa \mathbf {u} ,}$$ ここで、κはスカラーであり、uは1 × n行列である。この式を満たす任意の行ベクトルuはAの「左固有ベクトル」と呼ばれ、κは依然としてその固有値と呼ばれる。この式の転置をとると、 $${\displaystyle A^{\mathsf {T}}\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}=\kappa \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}.}$$

この式を式（1）と比較すると、左固有ベクトルはすぐに次のようになる。${\displaystyle A}$はの右固有ベクトルの転置と同じです。${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$⁠、同じ固有値を持つ。さらに、 の固有多項式は⁠${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$はの特性多項式と同じです。${\displaystyle A}$⁠、 の左および右の固有ベクトル⁠${\displaystyle A}$これらは同じ固有値に関連付けられています。

行列は転置行列と同じ固有値を持つ。これは以下のように直接確認できる。${\displaystyle \lambda }$はの固有値です${\displaystyle n\times n}$マトリックス​​${\displaystyle A}$固有ベクトル付き​${\displaystyle x}$⁠ . それから⁠${\displaystyle Ax=\lambda x}$⁠ ; 同様に、 ⁠${\displaystyle (A-\lambda I)x=0}$⁠ .

したがって、 ⁠の列${\displaystyle (A-\lambda I)}$は線形従属である。言い換えれば、行列のランクは未満である。${\displaystyle n}$⁠ .

しかし、列ランク＝行ランクであるため、行も線形従属です。したがって、数値は${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}}$すべてゼロではなく、${\textstyle \sum _{i=1}^{i=n}y_{i}R_{i}=0,}$どこで⁠${\displaystyle R_{i}}$⁠は の行です⁠${\displaystyle (A-\lambda I)}$行ベクトルを⁠とします。${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$⁠ ; それから⁠${\displaystyle y\,(A-\lambda I)=0}$転置すると、${\displaystyle (A^{\mathsf {T}}-\lambda I)\,y^{\mathsf {T}}=0}$さらに、​$\displaystyle y^{\mathsf {T}}$はゼロベクトルではないので、${\displaystyle \lambda }$はの固有値でもある${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$⁠ .

さらに、この議論は、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$同じ幾何学的重複度を持つ（列の空要素数＝行の空要素数であるため）。

Aの固有ベクトルが の基底を形成すると仮定します。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$⁠、または同等に、 A はn 個の線形独立な固有ベクトルv ₁、 v ₂、 ...、 v _n (およびそれに対応する固有値λ ₁、 λ ₂、 ...、 λ _n )を持ちます。固有ベクトルは互いに直交している必要はなく、固有値は互いに異なる必要もありません。列がAのn個の線形独立な固有ベクトルである正方行列Qを定義します。 $${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.}$$Q の各列はAの固有ベクトルであるため、 AにQを右から乗算すると、 Qの各列は対応する固有値でスケーリングされます。 $${\displaystyle AQ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}&\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}&\cdots &\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}。$$

これを踏まえて、対角行列Λを定義する。ここで、各対角要素Λii_はQのi番目の列に関連付けられた固有値である。 $${\displaystyle AQ=Q\varLambda .}$$Q の列は線形独立であるため、Qは可逆です。等式の両辺にQ ⁻¹を右から掛けると、 $${\displaystyle A=Q\varLambda Q^{-1};}$$ または代わりに両辺にQ ⁻¹を掛ける、 $${\displaystyle Q^{-1}AQ=\varLambda .}$$したがって、行列A は、その固有ベクトルからなる行列、対角線上に固有値を持つ対角行列、および固有ベクトル行列の逆行列に分解できます。これは固有値分解と呼ばれ、相似変換です。このような行列A は、対角行列Λと相似である、または対角化可能であると言われます。行列Qは、相似変換の基底変換行列です。本質的に、行列AとΛ は、 2 つの異なる基底で表現された同じ線形変換を表しています。固有ベクトルは、線形変換をΛとして表現する際に基底として使用されます。

逆に、行列Aが対角化可能であると仮定します。Pを、 P ⁻¹ APが何らかの対角行列Dとなるような非特異正方行列とします。両方にPを左から掛けるとAP = PDとなります。したがって、 Pの各列は、その固有値がDの対応する対角要素であるAの固有ベクトルでなければなりません。Pが可逆であるためには、Pの列が線形独立でなければならないので、 Aにはn個の線形独立な固有ベクトルが存在します。

結論として、 の固有ベクトルは${\displaystyle A}$基礎を形成する${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$⁠の場合に限り⁠${\displaystyle A}$は対角化可能である。

対角化できない行列は欠陥行列と呼ばれる。欠陥行列の場合、固有ベクトルの概念は一般化固有ベクトルに一般化され、固有値の対角行列はジョルダン標準形に一般化される。代数的に閉じた体上では、任意の行列Aはジョルダン標準形を持ち、したがって一般化固有ベクトルの基底と一般化固有空間への分解を持つ。

エルミート行列の場合、固有値は変分法によって特徴づけることができます。H の最大の固有値は、二次形式x ^T H x / x ^T xの最大値です。この最大値を実現するxの値は固有ベクトルです。

エルミート行列Aの場合、正規化された固有ベクトルのα番目の成分のノルムの二乗は、行列の固有値と対応する小行列の固有値のみを使用して計算できます。 $${\displaystyle |v_{i\alpha }|^{2}={\frac {\prod _{k}{(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A_{\alpha }))}}{\prod _{k\neq i}{(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A))}}},}$$ どこで$\displaystyle A_{\alpha }}$は、元の行列からα番目の行と列を削除して形成される部分行列です^{。 [ 33 ] [ 34 ]}この恒等式は対角化可能な行列にも拡張されます。これは^{[ 35 ]}で発見され 、文献で何度も再発見されています (例えば、 ^{[ 34 ] [ 36 ]}を参照)。

微分演算子を考える${\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}}$固有値方程式を用いて $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).}$$ この微分方程式は、両辺にdt / f ( t )を掛けて積分することで解くことができます。その解は指数関数です。$${\displaystyle f(t)=f(0)e^{\lambda t},}$$ は微分演算子の固有関数です。この場合、固有関数自体が対応する固有値の関数となります。特に、λ = 0の場合、固有関数f ( t )は定数です。

固有値λが与えられたとき、集合を考える。 $${\displaystyle E=\left\{\mathbf {v} :T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} \right\},}$$これは、ゼロベクトルとλ に関連付けられたすべての固有ベクトルの集合との和集合です。Eは、 λに関連付けられたTの「固有空間」または「特性空間」と呼ばれます。^{[ 39 ]}これは、線形変換T − λI の核です。  

線形変換の定義により、 $${\displaystyle {\begin{aligned}T(\mathbf {x} +\mathbf {y} )&=T(\mathbf {x} )+T(\mathbf {y} ),\\T(\alpha \mathbf {x} )&=\alpha T(\mathbf {x} ),\end{aligned}}}$$x、y ∈ Vおよびα ∈ K の場合。したがって、uとv が固有値λに関連付けられたTの固有ベクトル、すなわちu、v ∈ Eである場合、 $${\displaystyle {\begin{aligned}T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )&=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} ),\\T(\alpha \mathbf {v} )&=\lambda (\alpha \mathbf {v} ).\end{aligned}}}$$ したがって、u + vとα vはどちらもゼロまたはλに関連付けられたTの固有ベクトルであり、すなわちu + v、α v ∈ Eであり、E は加算とスカラー乗算に関して閉じている。したがって、 λに関連付けられた固有空間EはVの線形部分空間である。^{[ 40 ]}その部分空間の次元が 1 の場合、それは「固有線」と呼ばれることがある。^{[ 41 ]}

固有値λの「幾何学的重複度」γ _T ( λ )は、 λに関連付けられた固有空間の次元、すなわち、その固有値に関連付けられた線形独立な固有ベクトルの最大数です。^{[ 42 ]}固有値と固有ベクトルの定義により、すべての固有値には少なくとも 1 つの固有ベクトルがあるため、 γ _T ( λ ) ≥ 1 となります。

Tの固有空間は常に直和を形成します。その結果、異なる固有値を持つ固有ベクトルは常に線形独立です。したがって、固有空間の次元の合計は、 T が作用するベクトル空間の次元nを超えることはできず、異なる固有値はn個を超えることはありません。^{[ d ]}

Tの固有ベクトルによって張られる任意の部分空間は、 Tの不変部分空間であり、そのような部分空間へのTの制限は対角化可能である。さらに、ベクトル空間V全体がTの固有ベクトルによって張られる場合、あるいは同等に、 Tのすべての固有値に関連付けられた固有空間の直和がベクトル空間V全体である場合、 Tの線形独立な固有ベクトルから「固有基底」と呼ばれるVの基底を形成することができる。Tが固有基底を持つ場合、Tは対角化可能である。

λがTの固有値である場合、演算子( T − λI )は単射ではないため、その逆演算子( T − λI ) ⁻¹は存在しません。逆は有限次元ベクトル空間では成り立ちますが、無限次元ベクトル空間では成り立ちません。一般に、 λが固有値でない場合でも、演算子( T − λI )は逆演算子を持たない場合があります。

このため、関数解析においては、固有値は線形演算子Tのスペクトルに一般化することができ、それは演算子( T − λI )が有界な逆演算子を持たないすべてのスカラーλの集合として定義されます。演算子のスペクトルは常にそのすべての固有値を含みますが、それらに限定されるわけではありません。

ベクトル空間に作用する代数的対象を一般化することができ、ベクトル空間に作用する単一の演算子を代数表現、すなわち加群に作用する結合代数に置き換えることができる。このような作用の研究は表現論の分野である。 

表現論における重みの概念は固有値の類似物であり、重みベクトルと重み空間はそれぞれ固有ベクトルと固有空間の類似物である。

ヘッケ固有層はそれ自身のテンソル倍数であり、ラングランズ対応において考慮される。

古典的な方法は、まず固有値を求め、次に各固有値に対応する固有ベクトルを計算するというものです。しかし、浮動小数点演算のような厳密でない演算には、いくつかの点で適していません。

逆のアプローチ、つまり最初に固有ベクトルを求め、次にその固有ベクトルから各固有値を決定する方法は、コンピュータにとってずっと扱いやすいことがわかります。ここで最も簡単なアルゴリズムは、任意の開始ベクトルを選択し、それを行列に繰り返し乗算することです（必要に応じて、ベクトルの要素のサイズを適切な大きさに保つために正規化します）。これにより、ベクトルは固有ベクトルに収束します。別の方法として、ベクトルに( A − μI ) ⁻¹を乗算する方法があります。これにより、ベクトルは、に最も近い固有値の固有ベクトルに収束します。${\displaystyle \mu \in \mathbb {C} }$。

vがAの固有ベクトル（の近似値）である場合、対応する固有値は次のように計算できます。 $${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} }{\mathbf {v} ^{*}\mathbf {v} }}}$$ ここで、v ^{∗ は}vの共役転置を表す。