ディラックのデルタ関数

数学的解析において、ディラックのデルタ関数（またはδ分布）は単位インパルスとも呼ばれ、^[1]実数上の一般化された関数であり、その値はゼロ以外のすべての点でゼロであり、実数線全体にわたる積分は1 に等しくなります。 ^{[2] [3] [4]} この特性を持つ関数は存在しないため、デルタ「関数」を厳密にモデル化するには、極限、または数学で一般的な測度論と超関数の理論を使用する必要があります。

デルタ関数は物理学者ポール・ディラックによって導入され、それ以来物理学や工学の分野で質点や瞬間的な衝撃をモデル化するために日常的に適用されてきた。デルタ関数と呼ばれるのは、通常離散領域で定義され、0 と 1 の値を取るクロネッカーのデルタ関数の連続的な類似物であるためである。デルタ関数の数学的厳密さは、ローラン・シュワルツが超関数の理論を発展させ、関数に作用する線型形式として定義されるまで議論されていた。

ディラックのデルタのグラフは、通常、 x 軸全体と y 軸の正の方向に沿っていると考えられています。[ 5 ] : 174^{ディラックの}デルタは、細長いスパイク関数 (インパルス)や、点電荷、点質点、電子点などの類似の抽象化をモデル化するために使用されます。 たとえば、ビリヤードのボールが打たれるダイナミクスを計算するには、ディラックのデルタで衝撃の力を近似することができます。 そうすることで、方程式が簡略化されるだけでなく、衝突の全インパルスのみを考慮することで、たとえば亜原子レベルでの弾性エネルギー伝達の詳細なモデルを使用せずに、ボールの動きを計算することもできます。

具体的には、ビリヤードのボールが静止しているとします。ある時点で、別のボールがビリヤードのボールに衝突し、運動量P（単位 kg⋅m⋅s ^{−1 ）}が与えられます。運動量の交換は実際には瞬間的ではなく、分子レベルおよび亜原子レベルの弾性過程によって媒介されますが、実用上はエネルギーの移動は事実上瞬間的であると見なすのが便利です。したがって、力はP δ ( t )であり、 δ ( t )の単位はs ⁻¹です。 ${\displaystyle t=0}$

この状況をより厳密にモデル化するために、力が短い時間間隔にわたって均一に分布していると仮定します。つまり、 ${\displaystyle \Delta t=[0,T]}$

$${\displaystyle F_{\Delta t}(t)={\begin{cases}P/\Delta t&0<t\leq T,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

次に、任意の時刻tにおける運動量を積分によって求めます。

$${\displaystyle p(t)=\int _{0}^{t}F_{\Delta t}(\tau )\,d\tau ={\begin{cases}P&t\geq T\\P\,t/\Delta t&0\leq t\leq T\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

さて、瞬間的な運動量移動のモデル状況では、Δ t → 0の極限を取る必要があり、 0を除くすべての場所で結果が得られます。

$${\displaystyle p(t)={\begin{cases}P&t>0\\0&t<0.\end{cases}}}$$

ここで、関数は運動量の瞬間的な伝達という考えに対する有用な近似として考えられます。 ${\displaystyle F_{\Delta t}}$

デルタ関数は、これらの近似の理想的な極限を構成することを可能にする。残念ながら、関数の実際の極限（点ごとの収束という意味で）は、1点を除いてどこでもゼロであり、1点では無限大である。ディラックデルタを正しく理解するには、代わりに次の性質を主張する必要がある。 ${\textstyle \lim _{\Delta t\to 0^{+}}F_{\Delta t}}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }F_{\Delta t}(t)\,dt=P,}$$

すべての に対して成り立つ は、極限でも成り立つはずです。したがって、方程式 では、極限は常に積分 の外側で取られることが分かります。 ${\displaystyle \Delta t>0}$${\textstyle F(t)=P\,\delta (t)=\lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}(t)}$

応用数学では、ここで行ったように、デルタ関数は、各メンバーが原点に高いスパイクを持つ関数のシーケンスの一種の極限（弱い極限）として操作されることがよくあります。たとえば、分散がゼロになる傾向にある原点を中心とするガウス分布のシーケンスなどです。

ディラックのデルタは、実際には関数ではありません。少なくとも、定義域と値域が実数である通常の関数ではありません。たとえば、オブジェクトf ( x ) = δ ( x )とg ( x ) = 0は、 x = 0を除いてどこでも等しいですが、積分は異なります。ルベーグ積分論によれば、fとg がほとんどどこでもf = g となるような関数である場合、fが積分可能であるのは、 gが積分可能で、 fとgの積分が同一である場合に限ります。ディラックのデルタ関数をそれ自体で数学的なオブジェクトと見なすための厳密なアプローチには、測度論または超関数の理論が必要です。

ジョセフ・フーリエは、現在フーリエ積分定理と呼ばれているものを、彼の論文「積分理論の分析」の中で次のような形で提示した。^[6]

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha \,f(\alpha )\ \int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ ,}$$

これはδ関数を次の形で導入することと同義である：^[7]

$${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ .}$$

後にオーギュスタン・コーシーは指数関数を用いてこの定理を表現した。^{[8] [9]}

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp.}$$

コーシーは、状況によっては積分の順序がこの結果に重要な意味を持つことを指摘した（フビニの定理とは対照的）。^{[10] [11]}

超関数論を用いて正当化されるように、コーシー方程式はフーリエの元の定式化に似せて変形することができ、δ関数は次のように 表される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp\\[4pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\,dp\right)f(\alpha )\,d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\,d\alpha ,\end{aligned}}}$$

ここでδ関数は次のように表される。

$${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\,dp\ .}$$

指数関数の厳密な解釈と、その応用に必要な関数fのさまざまな制限は数世紀にわたって議論されてきました。古典的な解釈の問題点は次のように説明されています。 ^[12]

古典的なフーリエ変換の最大の欠点は、効果的に計算できる関数（オリジナル）のクラスがかなり狭いことです。つまり、これらの関数は、フーリエ積分の存在を保証するために、十分に急速にゼロ（無限大の近傍）に減少する必要があります。たとえば、多項式などの単純な関数のフーリエ変換は、古典的な意味では存在しません。古典的なフーリエ変換を分布に拡張すると、変換できる関数のクラスが大幅に拡大し、多くの障害が取り除かれました。

さらなる発展には、フーリエ積分の一般化が含まれ、「プランシュレルの画期的なL2理論（1910年）に始まり、ウィーナーとボッホナーの研究（1930年頃）に続き、L.シュワルツの^超関数理論（1945年）との融合で最高潮に達しました...」^[13]そしてディラックのデルタ関数の正式な発展につながりました。

無限に高い単位インパルスデルタ関数（コーシー分布の無限小バージョン）の無限小式は、1827年のオーギュスタン＝ルイ・コーシーのテキストに明示的に登場します。^[14]シメオン・ドニ・ポアソンは、波動伝播の研究との関連でこの問題を考慮し、その後グスタフ・キルヒホッフも検討しました。キルヒホッフとヘルマン・フォン・ヘルムホルツも、ガウス分布の極限として単位インパルスを導入しましたが、これはケルビン卿の点熱源の概念にも対応していました。19世紀の終わりには、オリバー・ヘヴィサイドが形式的なフーリエ級数を使用して単位インパルスを操作しました。^[15]ディラックのデルタ関数自体は、ポール・ディラックが1927年の論文「量子力学の物理的解釈」^[16]で導入し、教科書「量子力学の原理」で使用されました。^{[3]彼はこれを離散}クロネッカーデルタ の連続類似物として使用したため、「デルタ関数」と呼んだ。

ディラックのデルタ関数は、原点以外ではどこでもゼロである実数直線上の関数として大まかに考えることができます。原点では無限大です。 ${\displaystyle \delta (x)}$

$${\displaystyle \delta (x)\simeq {\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}$$

そして、これはまた、恒等式を満たすように制約される^[17]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.}$$

これは単なる経験的な特徴付けです。ディラックデルタは伝統的な意味での関数ではありません。なぜなら、実数上で定義された拡張実数値関数にはこれらの特性がないからです。 ^[18]

ディラックのデルタ関数の概念を厳密に捉える一つの方法は、ディラック測度と呼ばれる測度を定義することである。これは、実数直線Rの部分集合A を引数として受け取り、0 ∈ Aの場合はδ ( A ) = 1を返し、それ以外の場合はδ ( A ) = 0 を返す。^[19] デルタ関数が 0 における理想化された質点をモデル化するものとして概念化される場合、δ ( A )は集合Aに含まれる質量を表す。すると、 δに対する積分を、この質量分布に対する関数の積分として定義することができる。正式には、ルベーグ積分は必要な解析装置を提供する。測度δに関するルベーグ積分は、次を満たす。

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=f(0)}$$

は、コンパクトに支えられたすべての連続関数fに対して成り立つ。測度δはルベーグ測度に関して絶対連続ではない。実際、それは特異測度である。したがって、デルタ測度はラドン・ニコディム微分を持たない（ルベーグ測度に関して）。 つまり、

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)}$$

成り立つ。^[20]結果として、後者の表記法は表記法の都合の良い乱用であり、標準的な（リーマンまたはルベーグ）積分ではない。

R上の確率測度として、デルタ測度はその累積分布関数、つまり単位ステップ関数によって特徴付けられる。^[21]

$${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

これは、 H ( x ) が累積指示関数 1 _{(−∞, x ]}の測度δに関する積分であることを意味します。つまり、

$${\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta (dt)=\delta \!\left((-\infty ,x]\right),}$$

後者はこの区間の尺度である。したがって、特にデルタ関数の連続関数に対する積分は、リーマン・スティルチェス積分として適切に理解することができる：^[22]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).}$$

δの高次のモーメントはすべてゼロです。特に、特性関数とモーメント生成関数は両方とも 1 に等しくなります。

超関数の理論では、一般化関数はそれ自体が関数ではなく、他の関数に対して「積分」されたときに他の関数にどのような影響を与えるかによってのみ関数とみなされます。^{[23]この考え方に沿って、デルタ関数を適切に定義するには、十分に「良い」}テスト関数 φに対するデルタ関数の「積分」が何であるかを述べるだけで十分です。テスト関数はバンプ関数とも呼ばれます。デルタ関数がすでに測度として理解されている場合、その測度に対するテスト関数のルベーグ積分は必要な積分を提供します。

典型的なテスト関数の空間は、R上のコンパクトな台を持つすべての滑らかな関数で構成され、必要な数の導関数を持ちます。超関数として、ディラックデルタはテスト関数の空間上の線型関数であり、 ^{[24]で定義されます。}

すべてのテスト関数φに対して。

δ が適切に分布であるためには、検定関数の空間上の適切な位相において連続でなければならない。一般に、検定関数の空間上の線型関数S が分布を定義するためには、すべての正の整数Nに対して整数M _Nと定数C _Nが存在し、すべての検定関数φに対して不等式^{[25]が成り立つことが必要かつ十分である。}

$${\displaystyle \left|S[\varphi ]\right|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\left|\varphi ^{(k)}(x)\right|}$$

ここで、sup は上限を表します。δ 分布では、すべてのNに対してM _N = 0となるような不等式 ( C _N = 1)が成り立ちます。したがって、δ は次数0 の分布です。さらに、これはコンパクトな台 (台は{0} ) を持つ分布です。

デルタ分布は、いくつかの同等の方法で定義することもできます。たとえば、デルタ分布はヘヴィサイドステップ関数の分布微分です。これは、すべてのテスト関数φに対して、

$${\displaystyle \delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx.}$$

直感的に、部分積分が許されるならば、後者の積分は次のように単純化されるはずである。

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\delta (x)\,dx,}$$

そして実際、スティルチェス積分では部分積分の形が許されており、その場合には

$${\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH(x).}$$

測度論の文脈では、ディラック測度は積分によって分布を生じる。逆に、式（1）は、コンパクトに支えられた連続関数φ全体の空間上のダニエル積分を定義し、リース表現定理により、あるラドン測度に対するφのルベーグ積分として表すことができる。

一般に、ディラックのデルタ関数という用語が使用される場合、それは測度ではなく分布の意味で使用され、ディラック測度は測度論における対応する概念を表すいくつかの用語の 1 つです。一部の情報源では、ディラックのデルタ分布という用語も使用されることがあります。

デルタ関数は、n次元ユークリッド空間 R ⁿにおいて、次の測度として定義される。

$${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (d\mathbf {x} )=f(\mathbf {0} )}$$

コンパクトに支えられた連続関数fに対して、 n次元デルタ関数は、各変数における 1 次元デルタ関数の積の測度として表される。したがって、形式的には、 x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n )とすると、^[26]

デルタ関数は、1次元の場合と全く同じように、分布の意味で定義することもできます。^[27] しかし、工学の文脈で広く使用されているにもかかわらず、分布の積は非常に狭い状況でのみ定義できるため、（2）は注意して扱う必要があります。^{[28] [29]}

ディラック測度の概念は任意の集合上で意味をなす。^[30]したがって、Xが集合、x ₀ ∈ Xがマークされた点、ΣがXの部分集合の任意のシグマ代数である場合、集合A ∈ Σ上 で定義される測度は

$${\displaystyle \delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}}$$

はx ₀に集中するデルタ測度または単位質量です。

デルタ関数のもう一つの一般的な一般化は、微分可能多様体への一般化です。この多様体では、微分可能構造のため、分布としての性質のほとんどを利用することもできます。点x ₀ ∈ Mを中心とする多様体M上のデルタ関数は、次の分布として定義されます。

M上のコンパクトに支えられた滑らかな実数値関数φすべてに対して成り立つ。^{[31]この構成の一般的な特殊ケースは、} Mがユークリッド空間Rnの開^集合である場合である。

局所コンパクトなハウスドルフ空間 X上で、点xに集中するディラックのデルタ測度は、コンパクトに支えられた連続関数φ上のダニエル積分 ( 3 ) に関連付けられたラドン測度である。^[32]この一般性のレベルでは、微積分そのものはもはや不可能であるが、抽象解析からのさまざまな手法が利用可能である。たとえば、マッピングは、その漠然とした位相を備えた、X上の有限ラドン測度の空間へのXの連続埋め込みである。さらに、この埋め込みによるXの像の凸包は、 X上の確率測度の空間で稠密である。^[33]${\displaystyle x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}}$

デルタ関数は、非ゼロのスカラーαに対して次のスケーリング特性を満たす：^[34]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}}$$

など

スケーリング特性の証明: ここで変数x′ = ax の変更が使用されます。a が負の場合、つまりa = −| a | の場合、 したがって、。$${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{a}}g(0).}$$$${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{-\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{\infty }^{-\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}g(0).}$$${\displaystyle \delta (ax)={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\delta (x)}$

特に、デルタ関数は、

$${\displaystyle \delta (-x)=\delta (x)}$$

これは次数−1の同次です。

δとxの分布積はゼロに等しい:

$${\displaystyle x\,\delta (x)=0.}$$

より一般的には、すべての正の整数に対して。 ${\displaystyle (x-a)^{n}\delta (x-a)=0}$${\displaystyle n}$

逆に、xf ( x ) = xg ( x ) （fとgは分布 ）であれば、

$${\displaystyle f(x)=g(x)+c\delta (x)}$$

ある定数cに対して^[35 ]

任意の関数の積分に時間遅延ディラックデルタを乗じると、 ${\displaystyle \delta _{T}(t){=}\delta (t{-}T)}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,dt=f(T).}$$

これはふるい分け特性^[36]またはサンプリング特性^[37 ]と呼ばれることもあります。デルタ関数はt = Tにおけるf(t)の値を「ふるいにかける」と言われています。^[38]

したがって、関数f ( t )を時間遅延ディラックデルタと畳み込むと、同じ量だけf ( t )が時間遅延することになる。 ^[39]

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (t-T-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (\tau -(t-T))\,d\tau \qquad {\text{since}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{\text{by (4)}}\\&=f(t-T).\end{aligned}}}$$

ふるい分け特性は、 fが緩和分布であるという厳密な条件の下で成立する（以下のフーリエ変換の議論を参照）。例えば、特別なケースとして、次の恒等式が成り立つ（分布の意味で理解される）。

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,dx=\delta (\eta -\xi ).}$$

より一般的には、デルタ分布は、よく知られた変数変換の公式が成り立つような 滑らかな関数g ( x )で構成することができる。

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\left|g'(x)\right|dx=\int _{g(\mathbb {R} )}\delta (u)\,f(u)\,du}$$

ただし、 g は連続的に微分可能な関数であり、g ′はゼロになることはない。^{[40]つまり、この恒等式がコンパクトに支えられたすべてのテスト関数}fに対して成り立つように、分布に意味を割り当てる唯一の方法がある。したがって、領域はg′ = 0 の点を除外するように分割する必要がある。この分布は、 gがゼロになることはない場合にδ ( g ( x )) = 0 を満たし、それ以外の場合にg がx ₀に実根を持つ場合は、 ${\displaystyle \delta \circ g}$

$${\displaystyle \delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.}$$

したがって、連続的に微分可能な関数gの合成δ ( g ( x ))を次のよう に定義するのが自然である。

$${\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}}$$

ここで、和はg ( x )のすべての根に及び、それらは単純であると仮定される。したがって、例えば

$${\displaystyle \delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.}$$

積分形式では、一般化されたスケーリング特性は次のように表される。

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.}$$

定数と「行儀の良い」任意の実数値関数y ( x )について、 H ( x ) はヘビサイドのステップ関数、c は積分定数です。 ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle \displaystyle {\int }y(x)\delta (x-a)dx=y(a)H(x-a)+c,}$$

n次元空間のデルタ分布は、代わりに次のスケーリング特性を満たすので、 δは次数−n の同次分布となります。 $${\displaystyle \delta (\alpha {\boldsymbol {x}})=|\alpha |^{-n}\delta ({\boldsymbol {x}})~,}$$

任意の反射または回転 ρの下では、デルタ関数は不変であり、 $${\displaystyle \delta (\rho {\boldsymbol {x}})=\delta ({\boldsymbol {x}})~.}$$

1変数の場合と同様に、δと双リプシッツ関数^[41] g : Rn → Rnの合成を一意に定義することができ、 すべてのコンパクトにサポートされた関数f^に対して以下が ^成り立つ。 $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,f(g({\boldsymbol {x}}))\left|\det g'({\boldsymbol {x}})\right|d{\boldsymbol {x}}=\int _{g(\mathbb {R} ^{n})}\delta ({\boldsymbol {u}})f({\boldsymbol {u}})\,d{\boldsymbol {u}}}$$

幾何学的測度論の共面積公式を用いると、あるユークリッド空間から別の異なる次元のユークリッド空間への沈み込みを伴うデルタ関数の合成を定義することもできる。その結果は一種の電流である。 gの勾配がゼロにならないような連続微分可能関数g  : R ⁿ → Rの特殊なケースでは、次の恒等式が成り立つ^[42]。 ここで、右側の積分はg ⁻¹ (0)、つまりミンコフスキー含有量測度に関してg ( x ) = 0で定義される( n − 1)次元面上の積分である。これは単純層積分として知られている。 $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f({\boldsymbol {x}})\,\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f({\boldsymbol {x}})}{|{\boldsymbol {\nabla }}g|}}\,d\sigma ({\boldsymbol {x}})}$$

より一般的には、S がR ⁿの滑らかな超曲面である場合、S上の任意のコンパクトにサポートされた滑らかな関数gを積分する超関数をSに関連付けることができます。 $${\displaystyle \delta _{S}[g]=\int _{S}g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}})}$$

ここでσ はSに関連付けられた超曲面測度である。この一般化はS上の単純層ポテンシャルのポテンシャル理論に関連付けられている。D が滑らかな境界Sを持つR ⁿ内の領域である場合、δ _{S は}分布の意味で Dの指示関数の正規導関数に等しい。

$${\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}}g({\boldsymbol {x}})\,{\frac {\partial 1_{D}({\boldsymbol {x}})}{\partial n}}\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{S}\,g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}}),}$$

ここでnは外向きの法線である。^{[43] [44]証明については、例えば}表面デルタ関数に関する記事を参照のこと。

3 次元では、デルタ関数は球座標で次のように表されます。

$${\displaystyle \delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})\delta (\phi -\phi _{0})&x_{0},y_{0},z_{0}\neq 0\\\displaystyle {\frac {1}{2\pi r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})&x_{0}=y_{0}=0,\ z_{0}\neq 0\\\displaystyle {\frac {1}{4\pi r^{2}}}\delta (r-r_{0})&x_{0}=y_{0}=z_{0}=0\end{cases}}}$$

デルタ関数は緩和分布であるため、明確に定義されたフーリエ変換を持つ。正式には、^[45]

$${\displaystyle {\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\,\delta (x)dx=1.}$$

正確に言えば、分布のフーリエ変換は、シュワルツ関数と緩和分布の双対の下でフーリエ変換の自己随伴性を課すことによって定義されます。したがって、は、次を満たす唯一の緩和分布として定義されます 。${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle {\widehat {\delta }}}$

$${\displaystyle \langle {\widehat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\widehat {\varphi }}\rangle }$$

全てのシュワルツ関数φに対して、このことから次のことが分かります。${\displaystyle {\widehat {\delta }}=1.}$

この恒等式の結果として、デルタ関数と他の任意の緩和分布Sとの畳み込みは単にSとなる。

$${\displaystyle S*\delta =S.}$$

つまり、δ は緩和分布上の畳み込みの単位元であり、実際、畳み込みの下でコンパクトにサポートされる分布の空間は、デルタ関数を単位とする結合代数です。この特性は信号処理において基本的なもので、緩和分布との畳み込みは線形時間不変システムであり、線形時間不変システムを適用するとそのインパルス応答が測定されます。インパルス応答は、 δの適切な近似値を選択することで任意の精度で計算でき、いったんそれが分かれば、システムを完全に特徴付けることができます。LTIシステム理論の§ インパルス応答と畳み込みを参照してください。

緩和分布f ( ξ ) = 1の逆フーリエ変換はデルタ関数です。正式には、これは と表現され 、より厳密には、 すべてのシュワルツ関数fに対して となるため 、 となります 。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x)}$$$${\displaystyle \langle 1,{\widehat {f}}\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle }$$

これらの用語で、デルタ関数はR上のフーリエ核の直交性の性質を示唆する表現を提供する。形式的には、 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,dt=\delta (\xi _{2}-\xi _{1}).}$$

もちろん、これは、緩和分布のフーリエ変換は、 フーリエ変換の自己随伴性を課すことによって再び従う という主張の省略形 です 。$${\displaystyle f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}}$$$${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2})}$$

フーリエ変換の解析接続により、デルタ関数のラプラス変換は^{[46]であることが分かる。} $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\delta (t-a)\,e^{-st}\,dt=e^{-sa}.}$$

ディラックのデルタ分布の微分はδ′で表され、ディラックのデルタプライムまたはディラックのデルタ微分とも呼ばれ、指示子のラプラシアンで説明され、コンパクトにサポートされた滑らかなテスト関数φ上で次のように定義されます^[47] $${\displaystyle \delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).}$$

ここでの最初の等式は部分積分の一種である。なぜならδが真の関数であれば、 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=\delta (x)\varphi (x)|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\varphi '(0).}$$

数学的帰納法によって、δのk次導関数は、テスト関数上で与えられる分布と同様に定義される。

$${\displaystyle \delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).}$$

特に、δ は無限に微分可能な分布です。

デルタ関数の一次導関数は、差分商の分布限界である。^[48] $${\displaystyle \delta '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}.}$$

より正確には、 τ _{h は}変換演算子であり、関数 τ h φ ( x ) = φ ( x + h ) 上で定義さ れ、_分布S上では次のように定義されます。 $${\displaystyle \delta '=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\delta -\delta )}$$$${\displaystyle (\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi ].}$$

電磁気学の理論では、デルタ関数の一次導関数は原点に位置する点磁気双極子を表す。したがって、それは双極子または二重項関数と呼ばれる。^[49]

デルタ関数の微分は、テスト関数を適用して部分積分することによって示せる ^[50] など、いくつかの基本的な性質を満たしています。$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta '(-x)&=-\delta '(x)\\x\delta '(x)&=-\delta (x)\end{aligned}}}$$

これらの性質のうち後者は、分布微分定義、ライプニッツの定理、内積の線形性を適用することによっても実証できる。^[51]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x\delta ',\varphi \rangle \,&=\,\langle \delta ',x\varphi \rangle \,=\,-\langle \delta ,(x\varphi )'\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi +x\varphi '\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi \rangle -\langle \delta ,x\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\varphi (0)-x(0)\varphi '(0)\\&=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle -x(0)\langle \delta ,\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle +x(0)\langle \delta ',\varphi \rangle \,=\,\langle x(0)\delta '-x'(0)\delta ,\varphi \rangle \\\Longrightarrow x(t)\delta '(t)&=x(0)\delta '(t)-x'(0)\delta (t)=-x'(0)\delta (t)=-\delta (t)\end{aligned}}}$$

さらに、 δ′とコンパクトに支えられた滑らかな関数fとの畳み込みは 、

$${\displaystyle \delta '*f=\delta *f'=f',}$$

これは畳み込みの分布微分の特性から導かれます。

より一般的には、n次元ユークリッド空間の開集合 U上で、点a ∈ Uを中心とするディラックのデルタ分布は、 U上のコンパクトな台を持つすべての滑らかな関数の空間で あるすべての に対して^[52]で定義されます。 が任意の多重インデックスで、が関連する混合偏微分演算子を表す場合、δ _aのα次導関数∂ ^α δ _a^は[52]で与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)}$$${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$${\displaystyle \partial ^{\alpha }}$

$${\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\,\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x){\Big |}_{x=a}\quad {\text{ for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(U).}$$

つまり、δ _aのα次導関数は、任意のテスト関数φ上の値がaにおけるφのα次導関数（適切な正または負の符号付き） となる分布です。

デルタ関数の最初の偏導関数は、座標平面に沿った二重層として考えられます。より一般的には、表面で支えられた単純な層の法線導関数は、その表面で支えられた二重層であり、層流磁気単極子を表します。デルタ関数の高次の導関数は、物理学では多重極子として知られています。

高次導関数は、点支持の超関数の完全な構造の構成要素として数学に自然に登場します。SがU上の超関数で、1つの点からなる集合{ a }で支持されている場合、整数mと係数cα_が存在し、^{[52] [53]} $${\displaystyle S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.}$$

デルタ関数は関数列の極限として考えることができる。

$${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x),}$$

ここでηε ( x )は新生デルタ関数と呼ばれることもある_。この制限は弱い意味で意味されています。

コンパクトな台を持つすべての連続関数fに対してこの極限が成り立つこと、または、この極限がコンパクトな台を持つすべての滑らかな関数 f に対して成り立つこと。これら2つのわずかに異なる弱収束モードの違いは、しばしば微妙です。前者は、測度の漠然とした位相における収束であり、後者は、超関数の意味での収束です。

典型的には、新生デルタ関数ηε_は次のように構築できる。ηをR上の全積分1の絶対積分可能な関数とし、次のように定義する。 $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$$

n次元では、代わりにスケーリングを使用する。 $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$$

すると、単純な変数変換により、ηε_も積分1を持つことが示される。( 5 )はすべての連続コンパクトに支えられた関数fに対して成り立つことが示され、^[54]したがってηε_は測度の意味でδに弱収束する。

このようにして構築された η ε は恒等関数の近似として知られている。_[ 55 ]^この用語は、絶対積分可能関数の空間 L 1 ( R ) が関数の畳み込み操作の下で閉じているためである。^すなわち、fとgがL 1 ( R ) に含まれるときはいつでも、 f ∗ g ∈ ^L 1 ( R ) である。しかし、畳み込み積の^恒等関数はL 1 ⁽ R )には存在しない。すなわち、すべてのfに対してf ∗ h = fとなるような元h は存在しない。しかし、列η _{ε は}、次のような意味でそのような恒等関数を近似する。

$${\displaystyle f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\text{as }}\varepsilon \to 0.}$$

この極限は平均収束（ L ¹における収束）の意味で成り立つ。η _εに関するさらなる条件、例えばそれがコンパクトに支えられた関数に関連付けられた軟化因子であることなど[56]は、ほぼ^すべての点で点ごとの収束を保証するために必要である。

初期η = η ₁がそれ​​自身滑らかでコンパクトにサポートされている場合、その列は軟化関数と呼ばれる。標準的な軟化関数は、例えば η を適切に正規化されたバンプ関数として選択することによって得られる。

$${\displaystyle \eta (x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1.\end{cases}}}$$

数値解析のような状況では、恒等式の区分線形近似が望ましい。これは、 η _{1 を}ハット関数とすることで得られる。η _{1 を}このように選択すると、

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right)}$$

これらはすべて連続しており、コンパクトにサポートされていますが、滑らかではないため、緩和効果はありません。

確率論の文脈では、恒等関数への近似における初期η _{1 は}正でなければならないという追加条件を課すのは自然である。なぜなら、そのような関数は確率分布 を表すからである。確率分布との畳み込みは、出力が入力値の凸結合であり、したがって入力関数の最大値と最小値の間に入るため、オーバーシュートやアンダーシュートを生じないため、好ましい場合がある。 η _{1 を}任意の確率分布と見なし、上記のようにη _ε ( x ) = η ₁ ( x / ε )/ εとすると、恒等関数への近似が生じる。一般に、さらにηの平均が0で高次モーメントが小さい場合、これはデルタ関数にさらに急速に収束する。たとえば、η ₁が上の一様分布、つまり長方形関数である場合、次のようになる。^[57]${\textstyle \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]}$ $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}},\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

もう一つの例はウィグナー半円分布である。 $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon ,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

これは連続的でコンパクトにサポートされていますが、滑らかではないため、軟化剤ではありません。

デルタ関数の出現はしばしば畳み込み半群として現れる。^{[58]これは、} η _εとη _δの畳み込みが次の式を満たさなければならない というさらなる制約に等しい。$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }}$$

すべてのε、δ > 0に対して。新生デルタ関数を形成するL ¹の畳み込み半群は常に上記の意味での恒等関数の近似値になりますが、半群条件は非常に強い制約です。

実際には、デルタ関数を近似する半群は、物理的に動機付けられた楕円型または放物型偏微分方程式の基本解またはグリーン関数として生じる。応用数学の文脈では、半群は線形時間不変システムの出力として生じる。抽象的には、Aがxの関数に作用する線形演算子である場合、畳み込み半群は初期値問題を解くことによって生じる。

$${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\[5pt]\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}}$$

ここで、極限は通常通り弱い意味で理解される。η ε ( x ) = η ( ε , x ) と設定すると、関連する新生デルタ関数が得られる _。

このような基本的な解決から生じる物理的に重要な畳み込み半群の例には、次のものがあります。

熱核は次のように定義される。

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon }}}}$$

t = 0の時点でワイヤの原点に熱エネルギーの単位が蓄えられている場合、t > 0 の時点での無限ワイヤの温度を表します。この半群は、1次元の熱方程式に従って発展します。

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$$

確率論では、η _ε ( x ) は分散ε、平均0の正規分布です。これは、標準的なブラウン運動に従って原点から出発した粒子の位置の、時刻t = εにおける確率密度を表します。この文脈では、半群条件はブラウン運動の マルコフ特性の表現です。

高次元ユークリッド空間R ⁿでは、熱核はであり 、必要な変更を加えた上 で同じ物理的解釈を持ちます。また、 ε → 0として分布の意味でη _ε → δという意味で、新生デルタ関数を表します。 $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}},}$$

ポアソン核 $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \left\{{\frac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}\right\}={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x-|\varepsilon \xi |}\,d\xi }$$

は、上半平面におけるラプラス方程式の基本解である。 ^[59] これは、エッジに沿った電位がデルタ関数で固定されている半無限板の静電ポテンシャルを表す。ポアソン核は、コーシー分布やエパネチニコフ核関数、ガウス核関数とも密接に関連している。^[60]この半群は、次式に従って発展する。 $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}u(t,x)}$$

ここで演算子は厳密にはフーリエ乗数として定義される。 $${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}f\right](\xi )=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi ).}$$

波動伝播や波動力学などの物理学の分野では、関係する方程式は双曲型であるため、より特異な解を持つ可能性がある。その結果、関連するコーシー問題の基本解として生じる新生デルタ関数は、一般に振動積分である。遷音速気体力学のオイラー・トリコミ方程式の解から得られる例は、^{[61]再スケールされた}エアリー関数である。 $${\displaystyle \varepsilon ^{-1/3}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-1/3}\right).}$$

フーリエ変換を使用していますが、これはある意味で半群を生成することが簡単にわかります。これは絶対積分可能ではないため、上記の強い意味で半群を定義することはできません。振動積分として構築された多くの初期のデルタ関数は、測度の意味でではなく、分布の意味でのみ収束します (例として、以下のディリクレ核があります)。

もう一つの例はR1 ⁺¹の波動方程式に対するコーシー問題である: ^[62] $${\displaystyle {\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{for }}t=0.\end{aligned}}}$$

解u は、原点に初期擾乱がある無限弾性弦の平衡からの変位を表します。

この種の恒等式の他の近似値としては、sinc関数（電子工学や通信分野で広く使用されている） がある。$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\,dk}$$

ベッセル関数 $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }}\right).}$$

線形偏微分方程式の研究への一つのアプローチ $${\displaystyle L[u]=f,}$$

ここでLはR ⁿ上の微分作用素である。これは、まず方程式の解である基本解を求めることである。 $${\displaystyle L[u]=\delta .}$$

Lが特に単純な場合、この問題はフーリエ変換を直接使用して解くことができることが多い（すでに述べたポアソン核や熱核の場合のように）。より複雑な演算子の場合、最初に次の形式の方程式を考える方が簡単な場合があります。 $${\displaystyle L[u]=h}$$

ここでhは平面波関数であり、次の形をとる。 $${\displaystyle h=h(x\cdot \xi )}$$

あるベクトルξに対して成り立ちます。このような方程式は、（ Lの係数が解析関数の場合）コーシー・コバレフスカヤの定理によって、または（ Lの係数が定数の場合）求積法によって解くことができます。したがって、デルタ関数を平面波に分解できる場合、原理的には線型偏微分方程式を解くことができます。

デルタ関数の平面波への分解は、ヨハン・ラドンによって最初に本質的に導入され、その後フリッツ・ジョン（1955）によってこの形で発展した一般的な手法の一部でした。[ ^63] kをn + kが偶数になるように選び、実数sに対して$${\displaystyle g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\[5pt]-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}\end{cases}}}$$

そしてδは、単位球面S ^{n −1}におけるξに対するg ( x · ξ )の単位球面測度dωに関する積分にラプラシアンのべき乗を適用することによって得られる。 $${\displaystyle \delta (x)=\Delta _{x}^{(n+k)/2}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$$

ここでのラプラシアンは弱微分として解釈され、この式は任意のテスト関数φに対して、 $${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g((x-y)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$$

この結果は、ニュートンポテンシャル（ポアソン方程式の基本解）の公式から導かれる。これは本質的にラドン変換の逆公式の一種であり、超平面上の積分からφ ( x )の値を復元する。例えば、nが奇数でk = 1の場合、右辺の積分は $${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\iint _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy\\[5pt]&\qquad =c_{n}\Delta _{x}^{(n+1)/2}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp\end{aligned}}}$$

ここでRφ ( ξ , p ) はφのラドン変換である。 $${\displaystyle R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.}$$

平面波分解の別の同等の表現は次の通りである: ^[64] $${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}{\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }&n{\text{ even}}\\{\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }&n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

フーリエ級数の研究では、周期関数に関連付けられたフーリエ級数が関数に収束するかどうか、またどのような意味で収束するかを決定することが主要な問題です。周期2πの関数fのフーリエ級数のn番目の部分和は、ディリクレ核との畳み込み (区間[−π,π]上)によって定義されます。 したがって、 ここで 基本フーリエ級数の基本的な結果は、区間 [−π,π]に制限されたディリクレ核は、 N → ∞としてデルタ関数の倍数に近づくことを示しています。これは、 コンパクトにサポートされた滑らかな関数fに対して、分布の意味で解釈されます 。したがって、正式には 区間[−π,π]上 で$${\displaystyle D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.}$$$${\displaystyle s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}}$$$${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}\,dy.}$$$${\displaystyle s_{N}(f)(0)=\int _{-\pi }^{\pi }D_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$$$${\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}}$$

それにもかかわらず、この結果はすべてのコンパクトに支えられた連続関数に当てはまるわけではない。つまり、D _{N は}測度の意味で弱収束しない。フーリエ級数の収束の欠如は、収束をもたらすためにさまざまな総和法の導入につながった。チェザロ総和法はフェイエル核につながる^[65]

$${\displaystyle F_{N}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin {\frac {Nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}.}$$

フェイエル核は、より強い意味でデルタ関数に近づく傾向がある。^[66]

$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }F_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$$

コンパクトに支えられた連続関数fに対して成り立つ。これは、任意の連続関数のフーリエ級数が、あらゆる点で関数の値にチェザロ和可能であることを意味している。

ディラックのデルタ分布は、平方積分可能な関数のヒルベルト空間L ²上の稠密に定義された 非有界 線形関数です。実際、滑らかでコンパクトにサポートされた関数はL ²で稠密であり、そのような関数に対するデルタ分布の作用は明確に定義されています。多くのアプリケーションでは、 L ²のサブスペースを識別し、デルタ関数が有界線形関数を定義するより強力なトポロジーを与えることができます。

実数直線R上のソボレフ空間に対するソボレフ埋め込み定理は、任意の 2乗可積分関数fが

$${\displaystyle \|f\|_{H^{1}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}(1+|\xi |^{2})\,d\xi <\infty }$$

は自動的に連続であり、特に

$${\displaystyle \delta [f]=|f(0)|<C\|f\|_{H^{1}}.}$$

したがって、δ はソボレフ空間H ¹上の有界線型関数である。同様に、 δ はH ¹の連続双対空間 H ⁻¹の元である。より一般的には、n次元では、s > ⁠ の条件でδ ∈ H ^{− s} ( R ⁿ )が成り立つ。ん/2⁠ .

複素解析では、デルタ関数はコーシーの積分公式を介して登場し、Dが滑らかな境界を持つ複素平面上の領域である場合、

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}},\quad z\in D}$$

Dの閉包上で連続なDのすべての正則関数 fに対して成り立つ。結果として、デルタ関数δ _zは、この正則関数のクラスではコーシー積分によって表される。

$${\displaystyle \delta _{z}[f]=f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}.}$$

さらに、H ² (∂ D ) を、 Dの境界まで連続なDのすべての正則関数のL ² (∂ D )における閉包からなるハーディ空間とします。すると、H ² (∂ D )の関数はDの正則関数に一意に拡張され、コーシー積分公式は引き続き成立します。特に、 z ∈ Dに対して、デルタ関数δ _zはH ² (∂ D )上の連続線型関数です。これは、滑らかな領域Dに対して、セゲー核がコーシー積分の役割を果たす、複数の複素変数の状況の特別なケースです。 ^[67]

正則関数の空間におけるデルタ関数の別の表現は、開集合 における平方積分可能な正則関数の空間上である。これは の閉部分空間であるため、ヒルベルト空間である。一方、 の点での正則関数を評価する関数は連続関数であるため、リースの表現定理により、カーネル に対する積分、つまりベルグマンカーネルによって表される。このカーネルは、このヒルベルト空間におけるデルタ関数の類似物である。このようなカーネルを持つヒルベルト空間は、再生カーネルヒルベルト空間と呼ばれる。単位円板の特殊なケースでは、 ${\displaystyle H(D)\cap L^{2}(D)}$${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle L^{2}(D)}$${\displaystyle H(D)\cap L^{2}(D)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle D}$${\displaystyle K_{z}(\zeta )}$$${\displaystyle \delta _{w}[f]=f(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{|z|<1}{\frac {f(z)\,dx\,dy}{(1-{\bar {z}}w)^{2}}}.}$$

可分ヒルベルト空間における関数の完全な正規直交基底集合{ φ _n }、例えばコンパクトな自己随伴演算子の正規化された固有ベクトルが与えられると、任意のベクトルf は次のように表すことができます 。 係数 {α _n } は 次のように表すことができます。 これはディラックのブラケット表記 の一種です。^{[68]この表記を採用すると、} fの展開は次の2項形式になります。^[69]$${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}\varphi _{n}.}$$$${\displaystyle \alpha _{n}=\langle \varphi _{n},f\rangle ,}$$$${\displaystyle \alpha _{n}=\varphi _{n}^{\dagger }f,}$$

$${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\left(\varphi _{n}^{\dagger }f\right).}$$

ヒルベルト空間上の恒等作用素をIとすると、式

$${\displaystyle I=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },}$$

は恒等式の分解と呼ばれる。ヒルベルト空間が領域D上の二乗可積分関数の空間L ² ( D )であるとき、量:

$${\displaystyle \varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },}$$

は積分演算子であり、fの式は次のように書き直すことができる。

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{D}\,\left(\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi )\right)f(\xi )\,d\xi .}$$

右辺はL ^{2 の}意味でfに収束する。fが連続関数であっても、点ごとの意味では必ずしも成立するわけではない。しかし、表記法を乱用して次のように書くことはよくある。

$${\displaystyle f(x)=\int \,\delta (x-\xi )f(\xi )\,d\xi ,}$$

デルタ関数の表現は次のようになる：^[70]

$${\displaystyle \delta (x-\xi )=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi ).}$$

適切にリグされたヒルベルト空間 (Φ, L ² ( D ), Φ*)があり、 Φ ⊂ L ² ( D )がすべてのコンパクトに支えられた滑らかな関数を含む場合、この総和は基底φ _nの性質に依存してΦ*に収束する可能性がある。実用的な関心のあるほとんどの場合、正規直交基底は積分または微分演算子から得られ、その場合、級数は分布の意味で収束する。^[71]

コーシーは1827年にいくつかの論文で、無限小αを使って単位インパルス、つまり無限に高くて狭いディラック型デルタ関数δα_を記述した。 ^{[72]コーシーは}Cours d'Analyse （1827）で、ゼロに向かう数列の観点から無限小を定義した。つまり、そのようなヌル数列は、コーシーとラザール・カルノーの用語 では無限小になる。${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)\,dx=F(0)}$

非標準解析により、無限小を厳密に扱うことができます。山下 (2007) の論文には、超実数によって提供される無限小が豊富な連続体のコンテキストにおける現代のディラック デルタ関数に関する参考文献が含まれています。ここで、ディラック デルタは、フーリエとコーシーによって予測されたすべての実関数Fに対して を持つという特性を持つ実関数によって与えられます。 ${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)\,dx=F(0)}$

ディラックのデルタ測度のいわゆる均一な「パルス列」は、ディラックコムまたはSha分布として知られ、デジタル信号処理（DSP）や離散時間信号解析でよく使用されるサンプリング関数を作成します。ディラックコムは無限和として与えられ、その限界は分布の意味で理解されます。

$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n),}$$

これは各整数における質点の列です。

全体の正規化定数を除けば、ディラックコームはそれ自身のフーリエ変換に等しい。これは、f が任意のシュワルツ関数である場合、fの周期化は畳み込み によって与えられる ため重要である。 特に、 はまさにポアソン総和公式である。 ^{[73] [74]より一般的には、} f が急降下する緩和分布である場合、または同等に、緩和分布の空間内でゆっくり増加する通常の関数である 場合、 この公式は依然として真である。$${\displaystyle (f*\operatorname {\text{Ш}} )(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x-n).}$$$${\displaystyle (f*\operatorname {\text{Ш}} )^{\wedge }={\widehat {f}}{\widehat {\operatorname {\text{Ш}} }}={\widehat {f}}\operatorname {\text{Ш}} }$$${\displaystyle {\widehat {f}}}$

量子力学において重要なソホーツキー・プレメリ定理は、デルタ関数と分布pv ⁠を関連付けます。1/x⁠、関数⁠のコーシー主値1/x⁠、定義

$${\displaystyle \left\langle \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}},\varphi \right\rangle =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx.}$$

ソホーツキーの公式によれば^[75]

$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}$$

ここでの極限は分布の意味で理解されており、コンパクトに支えられた滑らかな関数fに対して、

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {f(x)}{x}}\,dx.}$$

クロネッカーデルタ δ _ijは次のように定義される量である。

$${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\not =j\end{cases}}}$$

すべての整数i , jに対して、この関数は次のようなふるい分け特性を満たす。つまり、a _i（i はすべての整数の集合に含まれる）が任意の二重無限列である場合、

$${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ik}=a_{k}.}$$

同様に、 R上の任意の実数値または複素数値の連続関数fに対して、ディラックのデルタはふるい分け特性を満たす。

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).}$$

これはクロネッカーのデルタ関数をディラックのデルタ関数の離散的な類似物として示している。^[76]

確率論と統計学では、ディラックのデルタ関数は、離散分布、または部分的に離散的で部分的に連続的な分布を、確率密度関数（通常は絶対連続分布を表すために使用される）を使用して表すためによく使用されます。たとえば、点x = { x ₁ , ..., x _n }と対応する確率p ₁ , ..., p _nで構成される離散分布の確率密度関数f ( x )は、次のように表すことができます。

$${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).}$$

別の例として、6/10の確率で標準正規分布を返し、4/10の確率で正確に3.5の値を返す分布（つまり、部分的に連続で部分的に離散的な混合分布）を考えてみましょう。この分布の密度関数は次のように表すことができます。

$${\displaystyle f(x)=0.6\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+0.4\,\delta (x-3.5).}$$

デルタ関数は、連続微分可能関数によって変換されたランダム変数の結果としての確率密度関数を表すためにも使用されます。Y = g(X)が連続微分可能関数である場合、 Yの密度は次のように表すことができます 。

$${\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)\delta (y-g(x))\,dx.}$$

デルタ関数は、拡散過程（ブラウン運動など）の局所時間を表すために、まったく異なる方法でも使用される。確率過程B（t）の局所時間は、によって与えられ 、過程の範囲内の点x で過程が費やす時間を表す。より正確には、1次元では、この積分は、 区間の指示関数 である。$${\displaystyle \ell (x,t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B(s))\,ds}$$$${\displaystyle \ell (x,t)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}\mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}(B(s))\,ds}$$${\displaystyle \mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}}$${\displaystyle [x-\varepsilon ,x+\varepsilon ].}$

デルタ関数は量子力学で便利です。粒子の波動関数は、与えられた空間領域内で粒子が見つかる確率振幅を与えます。波動関数は、 2乗積分可能な関数のヒルベルト空間L ²の要素であると仮定され、与えられた区間内で粒子が見つかる確率の合計は、波動関数の大きさの2乗を区間で積分したものです。波動関数の集合{ | φ _n ⟩ }は、次の場合正規直交です。

$${\displaystyle \langle \varphi _{n}\mid \varphi _{m}\rangle =\delta _{nm},}$$

ここでδ _{nm はクロネッカーのデルタである。任意の波動関数}|ψ⟩ が複素係数を持つ{ | φ _n ⟩ }の線形結合として表現できる場合、正規直交波動関数の集合は二乗可積分関数の空間で完全である。

$${\displaystyle \psi =\sum c_{n}\varphi _{n},}$$

ここでc _n = ⟨ φ _n | ψ ⟩である。波動関数の完全な正規直交系は、量子力学において、エネルギーレベルを測定するハミルトニアン（束縛系）の固有関数として自然に現れ、エネルギーレベルは固有値と呼ばれる。この場合の固有値の集合は、ハミルトニアンのスペクトルとして知られている。ブラケット表記では、この等式は恒等式の解決を意味する。

$${\displaystyle I=\sum |\varphi _{n}\rangle \langle \varphi _{n}|.}$$

ここで、固有値は離散的であると仮定されているが、観測可能なものの固有値の集合は連続的であることもある。一例として、位置演算子Qψ ( x ) = x ψ( x )が挙げられる。位置のスペクトル（1次元）は実数直線全体であり、連続スペクトルと呼ばれる。しかし、ハミルトニアンとは異なり、位置演算子には適切な固有関数がない。この欠点を克服する従来の方法は、分布も許容することで利用可能な関数のクラスを広げること、すなわち、ヒルベルト空間をリグヒルベルト空間に置き換えることである。 [ ^77] この文脈では、位置演算子には、実数直線の点yでラベル付けされた「一般化固有関数」の完全な集合があり、次のように与えられる。

$${\displaystyle \varphi _{y}(x)=\delta (x-y).}$$

位置演算子の固有関数は固有状態と呼ばれ、 φ _y = | y ⟩と表されます。

同様の考察は、運動量演算子の固有状態、あるいはヒルベルト空間上の他の（有界でない）自己随伴演算子 Pにも適用できる。ただし、 Pのスペクトルが連続で、退化した固有値が存在しないことが条件である。その場合、実数の集合Ω （スペクトル）と、 y ∈ Ωとなるような 分布φ _yの集合が存在する。

$${\displaystyle P\varphi _{y}=y\varphi _{y}.}$$

つまり、φ _{y は}Pの一般化された固有ベクトルです。これらが分布の意味で「正規直交基底」を形成する場合、次のようになります。

$${\displaystyle \langle \varphi _{y},\varphi _{y'}\rangle =\delta (y-y'),}$$

すると、任意のテスト関数ψに対して、

$${\displaystyle \psi (x)=\int _{\Omega }c(y)\varphi _{y}(x)\,dy}$$

ここでc ( y ) = ⟨ ψ , φ _y ⟩である。つまり、恒等式の解決が存在する。

$${\displaystyle I=\int _{\Omega }|\varphi _{y}\rangle \,\langle \varphi _{y}|\,dy}$$

ここで、演算子値積分は再び弱い意味で理解されます。P のスペクトルに連続部分と離散部分の両方がある場合、恒等式の解決には離散スペクトルの総和と連続スペクトルの積分が含まれます 。

デルタ関数には、単一および二重のポテンシャル井戸の デルタポテンシャルモデルなど、量子力学におけるより専門的な用途も数多くあります。

デルタ関数は構造力学において、構造物に作用する過渡荷重や点荷重を記述するために用いられる。時刻t = 0に突然の力の衝撃Iによって励起される単純な質量-バネ系の支配方程式は次のように書ける。

$${\displaystyle m{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+k\xi =I\delta (t),}$$

ここで、mは質量、ξはたわみ、kはバネ定数です。

別の例として、細長い梁の静的たわみを支配する方程式は、オイラー・ベルヌーイの定理によれば、

$${\displaystyle EI{\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}=q(x),}$$

ここで、EIは梁の曲げ剛性、 wはたわみ、xは空間座標、q ( x )は荷重分布です。梁がx = x ₀で点力Fによって荷重を受ける場合、荷重分布は次のように表されます。

$${\displaystyle q(x)=F\delta (x-x_{0}).}$$

デルタ関数の積分はヘヴィサイドの階段関数となるため、複数の点荷重を受ける細長い梁の静的たわみは、区分多項式の集合によって記述されることになります。

また、梁に作用する点モーメントはデルタ関数で記述できます。距離d離れた 2 つの反対の点力F を考えてみましょう。すると、梁に作用するモーメントM = Fdが生成されます。ここで、距離d が限界ゼロに近づき、Mは一定に保たれます。荷重分布は、 x = 0に時計回りのモーメントが作用すると仮定すると、次のように表されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}q(x)&=\lim _{d\to 0}{\Big (}F\delta (x)-F\delta (x-d){\Big )}\\[4pt]&=\lim _{d\to 0}\left({\frac {M}{d}}\delta (x)-{\frac {M}{d}}\delta (x-d)\right)\\[4pt]&=M\lim _{d\to 0}{\frac {\delta (x)-\delta (x-d)}{d}}\\[4pt]&=M\delta '(x).\end{aligned}}}$$

したがって、点モーメントはデルタ関数の微分によって表すことができます。梁方程式を積分すると、区分多項式たわみが再び生じます。

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• ディラックのデルタ関数、ディラックのデルタ関数に関するチュートリアル。
• ビデオ講義 - 講義 23、アーサー・マタックによる講義。
• ディラックのデルタ測度は超関数である
• 我々は、ソース項がディラックデルタ測度である場合に、唯一の解の存在を示し、有限要素近似を解析する。
• R 上の非ルベーグ測度。ルベーグ-スティルチェス測度、ディラックのデルタ測度。2008-03-07 にWayback Machineでアーカイブされました。