除数

数学において、整数の約数はの因数とも呼ばれ、ある整数を掛けて^[1]を生成できる整数です。この場合、 はの倍数であるとも言います。 が の約数である場合、その整数は別の整数で割り切れる、または割り切れます。つまり、で割ると余りが残りません。 ${\displaystyle n,}$${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

整数が 非ゼロ整数で割り切れるとは、次のような整数が存在する場合である。これは次のように表される。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n=km.}$

${\displaystyle m\mid n.}$

これは、が を割り切るか、が の因数であるか、の倍数であるかと読むことができる。 が割り切れない場合、表記は^{[2] [3]となる。}${\displaystyle m}$${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m.}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle m\not \mid n.}$

ゼロが許可される かどうかによって区別される 2 つの規則があります。${\displaystyle m}$

• 追加の制約のない慣例により、すべての整数^{[2] [3]}${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle m\mid 0}$${\displaystyle m.}$
• が非ゼロであるという規則のもと、すべての非ゼロ整数^{[4] [5]}${\displaystyle m}$${\displaystyle m\mid 0}$${\displaystyle m.}$

約数は正だけでなく負の数にもなり得ますが、多くの場合、この用語は正の約数に限定されます。たとえば、4 の約数は 1、2、4、-1、-2、-4 の 6 種類ありますが、通常は正の数 (1、2、4) のみについて言及します。

1 と -1 はすべての整数を割り切れます（すべての整数の約数です）。すべての整数（およびその否定）は、それ自身の約数です。2 で割り切れる整数は偶数、2 で割り切れない整数は奇数と呼ばれます。

1、−1、はの自明な約数として知られています。の約数で自明でないものは非自明な約数（または厳密な約数^[6]）として知られています。 少なくとも1つの非自明な約数を持つ非ゼロの整数は合成数として知られていますが、単位-1 と 1 および素数には非自明な約数は存在しません。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle -n}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle n}$

数字の桁からその数字の特定の約数を認識できるようにする 割り算の規則があります。

• 7 は 42 の約数なので、42 は 7 で割り切れる、42 は7 の倍数である、7 は 42 を割り切る、7 は 42 の因数である、とも言えます。${\displaystyle 7\times 6=42,}$${\displaystyle 7\mid 42.}$
• 6 の非自明な約数は 2、-2、3、-3 です。
• 42 の正の約数は 1、2、3、6、7、14、21、42 です。
• 60 のすべての正の約数を部分的に割り切れる順に並べた集合には、ハッセ図があります。${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\},}$

基本的なルールがいくつかあります:

• かつ の場合、つまり の場合、割り切れるかどうかは推移的な関係です。${\displaystyle a\mid b}$${\displaystyle b\mid c,}$${\displaystyle a\mid c;}$
• または​​​${\displaystyle a\mid b}$${\displaystyle b\mid a,}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle a=-b.}$
• およびが成り立つ場合、 ^[a]も成り立ちます。ただし、およびが常に成り立つとは限りません(たとえば、およびですが、5 は 6 を割り切れません)。${\displaystyle a\mid b}$${\displaystyle a\mid c,}$${\displaystyle a\mid (b+c)}$${\displaystyle a\mid (bc).}$${\displaystyle a\mid b}$${\displaystyle c\mid b,}$${\displaystyle (a+c)\mid b}$${\displaystyle 2\mid 6}$${\displaystyle 3\mid 6}$

ならば^[b]これをユークリッドの補題と呼ぶ。 ${\displaystyle a\mid bc,}$${\displaystyle \gcd(a,b)=1,}$${\displaystyle a\mid c.}$

が素数である場合、または${\displaystyle p}$${\displaystyle p\mid ab}$${\displaystyle p\mid a}$${\displaystyle p\mid b.}$

の正の約数で、異なるものは${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$真約数または6の約数（例えば、6の真約数は1、2、3）である。割り切れないが余りが残る数は、${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$一部​${\displaystyle n.}$

唯一の適切な約数が 1 である整数は、素数と呼ばれます。同様に、素数は、1 とそれ自身という 2 つの正の因数を持つ正の整数です。 ${\displaystyle n>1}$

の任意の正の約数は、ある指数で累乗されたの素約数の積です。これは算術の基本定理の結果です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ある数がその約数の合計に等しい場合、その数は完全数であると言われ、その約数の合計がそれより小さい場合、その数は不足数であり、その合計がそれを超える場合、その数は過剰数であると言われる。${\displaystyle n}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle n.}$

の正の約数の総数は乗法関数であり、2 つの数とが互いに素である場合、たとえば; 42 の 8 つの約数は、1、2、3、6、7、14、21、42 です。ただし、正の約数の数は完全に乗法関数ではありません。2 つの数と が共通の約数を共有する場合、 は真ではない可能性があります。の正の約数の合計は、別の乗法関数です(たとえば)。これらの関数は両方とも、約数関数の例です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(n),}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$${\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \sigma (n)}$${\displaystyle \sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42}$

の素因数分解が次のように与えられると すると${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$

の正の約数の数は ${\displaystyle n}$

${\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}$

そして、それぞれの約数は、

${\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$

それぞれについて${\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq k.}$

あらゆる自然${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}.}$

また、^[7]

${\displaystyle d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}),}$

ここで、はオイラー・マスケローニ定数です。この結果の 1 つの解釈は、ランダムに選択された正の整数nの平均約数の数は約 であるということです。ただし、これは「異常に多い」約数 を持つ数の寄与による結果です。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \ln n.}$

約数が 0 になることを許容する定義では、割り切れる関係により、非負整数の集合は、完全分配格子である半順序集合に変換されます。この格子の最大の要素は 0 で、最小の要素は 1 です。会う操作∧ は最大公約数によって与えられ、結合操作∨ は最小公倍数によって与えられます。この格子は、無限巡回群Z の部分群の格子の双対に同型です。${\displaystyle \mathbb {N} }$

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