八進数

八進数（基数8）は、 8を基数とする記数法です。

10 進法では、各桁は10 の累乗です。例:

${\displaystyle \mathbf {74} _{10}=\mathbf {7} \times 10^{1}+\mathbf {4} \times 10^{0}}$

8 進法では、各桁は 8 の累乗です。例:

${\displaystyle \mathbf {112} _{8}=\mathbf {1} \times 8^{2}+\mathbf {1} \times 8^{1}+\mathbf {2} \times 8^{0}}$

上記の計算を一般的な 10 進法で実行すると、8 進数の 112 が10 進数の 112 と等しい理由がわかります。 ${\displaystyle 64+8+2=74}$

8 進数は、連続する 2 進数を 3 つのグループにグループ化することで (4 進数システムと同様)、2 進表現から簡単に変換できます(整数の場合は右から開始)。たとえば、10 進数の 74 の 2 進表現は 1001010 です。左側に 2 つのゼロを追加できます: ( 00 )1 001 010、これは 8 進数1 1 2に対応し、8 進表現 112 になります。

易経の八卦は八進数に対応しています 。

• 0 = ☷、1 = ☳、2 = ☵、3 = ☱、
• 4 = ☶、5 = ☲、6 = ☴、7 = ☰。

ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは1703年に三卦、六卦、二進数を関連付けました。^[1]

• カリフォルニアのユキ語は、話者が指そのものではなく、指と指の間のスペースを使って数えるため、8進法を採用しています。^[2]
• メキシコのパメ語族の言語も八進法を採用しており、これは話者が握りこぶしの指の関節を使って発音するからである。^[3]

• 再構築されたインド・ヨーロッパ祖語（PIE）の「9」という単語は、インド・ヨーロッパ祖語の「新しい」という単語に関連している可能性があると示唆されている。これに基づいて、インド・ヨーロッパ祖語は8進数システムを使用していたと推測する人もいますが、これを裏付ける証拠はわずかです。^[4]
• 1668年、ジョン・ウィルキンスは著書『実在する文字と哲学的言語への試論』の中で、 10進数ではなく8進数の使用を提案した。「二分法や二分割法は最も自然で簡単な分割法であり、その数は1進数までこれを実行できる」からである。^[5]
• 1716年、スウェーデン国王カール12世はエマヌエル・スウェーデンボルグに、10ではなく64を基礎とする記数法を考案するよう依頼した。しかしスウェーデンボルグは、国王ほど知能の高くない人間にはそのような大きな基数は難しすぎると主張し、代わりに8を基数とすることを提案した。1718年、スウェーデンボルグは「 En ny rekenkonst som om vexlas wid Thalet 8 i stelle then wanliga wid Thalet 10」（「通常の10の数字ではなく、8の数字で数え方が変わる新しい算術（または数え方）」）という原稿を書いた（ただし出版はしなかった）。そこでは、1～7の数字は子音l、s、n、m、t、f、u（v）で表され、ゼロは母音oで表されている。例えば、8 = "lo"、16 = "so"、24 = "no"、64 = "loo"、512 = "looo" などです。連続する子音を持つ数字は、特別な規則に従って、その間の母音で発音されます。^[6]
• ヒュー・ジョーンズは、1745 年 7 月、ロンドンの『ザ・ジェントルマンズ・マガジン』に「ヒロッサ・アプ・イチム」というペンネームで寄稿し、英国の硬貨、度量衡の 8 進法を提案しました。 「理性と利便性から、すべての量に統一基準が示されています。これをジョージア標準と呼びましょう。これは、各種のすべての整数を 8 つの均等な部分に分割し、さらに各部分を必要な範囲で 8 つの実数または虚数に分割するだけです。すべての国が普遍的に10 進法で数えますが(これはもともと両手の指の数に由来します)、8 ははるかに完全で便利な数です。10 進法では分割できない分数なしで、半分、4 分の 1、半 4 分の 1 (または単位) に分割できるからです...」 ジョーンズは、オクターブ計算に関する後の論文(1753 年)で次のように結論付けています。「オクターブによる算術は、物事の本質に最も合っているように思われ、したがって、現在使用されている10進法とは対照的に、自然算術と呼ぶことができます。10 進法は人工算術とみなすことができます。」^[7]
• 1801年、ジェームズ・アンダーソンは、フランスがメートル法を十進法に基づいていることを批判した。彼は8進法を提案し、これを「オクタル」という造語で表現した。彼の研究は娯楽数学として意図されていたが、彼は度量衡の純粋に8進法のシステムを提案し、既存のイギリスの単位系がすでに驚くほど8進法になっていることを指摘した。^[8]
• 19世紀半ば、アルフレッド・B・テイラーは「したがって、我々の8進法[基数8]は、算術システムとして比較にならないほど「最善のもの」である」と結論付けた。この提案には、数字のグラフィカル表記と数の新しい名前が含まれており、「un、du、the、fo、pa、se、ki、unty、unty-un、unty-du」などと数え、8の倍数を「unty、duty、thety、foty、paty、sety、kity、under 」と名付けるべきであると示唆した。したがって、たとえば、65（8進法では101）という数は、8進法ではunder-unと発音される。^{[9] [10]}テイラーはまた、上記の出版物の付録として、スウェーデンボルグの8進法に関する研究の一部を再出版した。

8 進数は、 UNIVAC 1050、PDP-8、ICL 1900、IBM メインフレームなどのシステムが6 ビット、12 ビット、24 ビット、または36 ビットのワードを採用したときに、コンピューティングで広く使用されるようになりました。これらのマシンでは、ワード サイズが 3 で割り切れる (各 8 進数字は 3 つの 2 進数字を表す) ため、8 進数は 2 進数の理想的な省略形でした。そのため、2 桁、4 桁、8 桁、または 12 桁で、マシンの 1 ワード全体を簡潔に表示できます。また、2進表示は複雑すぎて使用できず、10 進表示では基数を変換するために複雑なハードウェアが必要であり、 16進表示ではより多くの数字を表示する必要があったため、ニキシー管、7セグメント ディスプレイ、電卓をオペレータ コンソールに使用できるようになり、コストも削減されました。

しかし、現代のコンピューティング プラットフォームはすべて、16 ビット、32 ビット、または 64 ビットのワードを使用し、さらに8 ビットのバイトに分割されています。このようなシステムでは、1 バイトあたり 3 つの 8 進数字が必要となり、最上位の 8 進数字は 2 つの 2 進数字 (および次の上位バイトがある場合はその 1 ビット) を表します。16 ビット ワードの 8 進表現には 6 桁が必要ですが、最上位の 8 進数字は (非常に不格好に) 1 ビット (0 または 1) のみを表します。この表現では、最上位バイトが 4 つの 8 進数字に分散されているため、簡単に読み取ることができません。そのため、今日のプログラミング言語では、2 つの 16 進数字で正確に 1 バイトを指定できるため、16 進数の方が一般的に使用されています。ワード サイズが 2 の累乗の一部のプラットフォームでは、8 進数で表示すると理解しやすい命令サブワードがまだあります。これには、PDP-11およびMotorola 68000 ファミリが含まれます。現代のユビキタスなx86アーキテクチャもこのカテゴリに属しますが、このプラットフォームでは8進数はほとんど使用されません。ただし、オペコードのバイナリエンコードの特定の特性は、8進数で表示するとより明らかになります。たとえば、ModRMバイトは2、3、3ビットのフィールドに分割されるため、8進数はこれらのエンコードを記述するのに役立ちます。アセンブラが利用可能になる前は、一部のプログラマーは8進数でプログラムを手動でコーディングしていました。たとえば、Dick WhippleとJohn Arnoldは、 8進数を使用してTiny BASIC Extendedを直接マシンコードで記述しました。^[11]

8 進数は、コンピューティングでは 16 進数の代わりに使用されることがあります。おそらく、現代ではUnixシステムのファイル権限と組み合わせて使用​​されることが最も多いでしょう ( chmod を参照)。8 進数には、数字として追加の記号を必要としないという利点があります (16 進数は 16 進数であるため、0 ～ 9 に加えて 6 つの追加記号が必要です)。

プログラミング言語では、8進数リテラルは通常、数字、文字または、数字と文字の組み合わせ、または記号^[12]またはを含むさまざまなプレフィックスで識別されます。モトローラの規則では、8進数は で始まり、一方、 Intelの規則に従って、小文字（または大文字^[13]）^[13]または^[13]が接尾辞として追加されます。^{[14] [15]} Concurrent DOS、Multiuser DOS、REAL/32、DOS Plus、DR-DOSでは、$CLS、$ON、$OFF、$HEADER、$FOOTERなどのさまざまな環境変数が8進数表記をサポートしており^{[16] [17] [18]}、DR-DOS DEBUGでも8進数のプレフィックスとしてが使用されています。 0oq0o&$@oq\nnn\

たとえば、リテラル 73 (基数 8) は、さまざまな言語で、、、、、、、、またはとして073表されること がo73あります。q730o73\73@73&73$7373o

0新しい言語では、10 進数が先頭にゼロを付けて表現されることが多いため、プレフィックス が廃止されつつあります。プレフィックス はq、プレフィックスがoゼロと間違われるのを避けるために導入されましたが、プレフィックス は、数値リテラルが変数名と混同される可能性があるため、0o数値リテラルの先頭にアルファベット文字 ( またはoなどq) を置くのを避けるために導入されました。プレフィックスは、C 言語の 16 進リテラルに使用される0oプレフィックスによって設定されたモデルにも従います。これはHaskell ^[19]、OCaml ^[20]、 Pythonバージョン3.0以降^{[21] 、} Raku ^[22]、Ruby ^[23]、Tclバージョン9以降^{[24] 、} PHPバージョン8.1以降^{[25] 、} Rust ^[26]、ECMAScript ECMAScript 6以降^[27]でサポートされています（この接頭辞はもともとJavaScriptで8進数を意味していましたが、混乱を招く可能性があるため^[28]、ECMAScript 3では非推奨となり、ECMAScript 5では削除されました^[29]）。 0x 0

一部のプログラミング言語 (C、Perl、PostScriptなど) で、一部のバイト値 (コード ページで表現されない、非グラフィカル、現在のコンテキストで特別な意味を持つ、またはその他の理由で望ましくない) を としてエスケープする\nnn必要がある場合に、バイト文字列のテキスト/グラフィカル表現に使用される 8 進数。8 進数表現は、6 ビットのグループをエンコードし、開始バイトが 8 進値を持ち、継続バイトが 8 進値を持つUTF-8の非 ASCII バイトで特に便利です。 \3nn\2nn

8 進数は、 Ferranti Atlas (1962)、Burroughs B5500 (1964)、Burroughs B5700 (1971)、Burroughs B6700 (1971)、Burroughs B7700 (1972) コンピュータでも浮動小数点演算に使用されました。

航空機のトランスポンダーは、地上レーダーによって照会されると、4 桁の 8 進数で表される「スクォーク」コードを送信します。このコードは、レーダー画面上で異なる航空機を区別するために使用されます。

整数の 10 進数を 8 進数に変換するには、元の数値を 8 の最大の累乗で割り、その余りを 8 の累乗が 1 になるまで 8 の小さい累乗で順に割ります。8 進数表現は、アルゴリズムによって生成された順序で記述された商によって形成されます。たとえば、125 ₁₀を8 進数に変換するには、次のようにします。

125 = 8 ² × 1 + 61

61 = 8 ¹ × 7 + 5

5 = 8 ⁰ × 5 + 0

したがって、125 ₁₀ = 175 ₈です。

別の例:

900 = 8 ³ × 1 + 388

388 = 8 ² × 6 + 4

4 = 8 ¹ × 0 + 4

4 = 8 ⁰ × 4 + 0

したがって、900 ₁₀ = 1604 ₈。

小数を 8 進数に変換するには、8 を掛けます。結果の整数部分は、8 進数の最初の桁になります。結果の小数部分に対して、null になるか許容誤差範囲内になるまで、このプロセスを繰り返します。

例: 0.1640625 を 8 進数に変換します。

0.1640625 × 8 = 1.3125 = 1 + 0.3125

0.3125 × 8 = 2.5 = 2 + 0.5

0.5 × 8 = 4.0 = 4 + 0

したがって、0.1640625 ₁₀ = 0.124 ₈。

これら 2 つの方法を組み合わせると、最初の方法を整数部分に、2 番目の方法を小数部分に使用して、整数部分と小数部分の両方を持つ小数を処理できます。

整数の 10 進数を 8 進数に変換するには、数値の前に「0」を付けます。基数の右側に数字が残っている間、次の手順を実行します。8進法の規則を使用して、基数の左側の値を 2 倍にし、基数点を 1 桁右に移動し、基数点が揃うように 2 倍にした値を現在の値の下に配置します。移動した基数点が 8 または 9 の数字をまたぐ場合は、0 または 1 に変換し、現在の値の次の左側の数字に繰り上がりを追加します。基数の左側の数字を8 進法で追加し 、変更せずにそれらの数字を右側にドロップします。

例：

0.4 9 1 8 小数値
  +0
 ---------
   4.9 1 8
  +1 0
  --------
   6 1.1 8
  +1 4 2
  --------
   7 5 3.8
  +1 7 2 6
  --------
 1 1 4 6 6. 8進数値

数値k を10 進数に変換するには、8 進数表現を定義する式を使用します。

${\displaystyle k=\sum _{i=0}^{n}\left(a_{i}\times 8^{i}\right)}$

この式では、i_は変換される個々の 8 進数字であり、i は数字の位置です (右端の数字は 0 から数えます)。

例: 764 _{8 を}10 進数に変換します。

764 ₈ = 7 × 8 ² + 6 × 8 ¹ + 4 × 8 ⁰ = 448 + 48 + 4 = 500 ₁₀

2 桁の 8 進数の場合、この方法は最初の桁に 8 を掛け、2 番目の桁を加算して合計を算出します。

例: 65 ₈ = 6 × 8 + 5 = 53 ₁₀

8 進数を 10 進数に変換するには、数値の前に「0」を付けます。基数の右側に数字が残っている間、次の手順を実行します。10進法の規則を使用して、基数の左側の値を 2 倍にし、基数点を 1 桁右に移動し、基数点が揃うように 2 倍にした値を現在の値の下に配置します。基数の左側の数字を10 進法で減算し 、変更せずに、それらの数字を右側にドロップします。

例：

0.1 1 4 6 6 8進数値
  -0
 -----------
   1.1 4 6 6
  - 2
  ----------
     9.4 6 6
  - 1 8
  ----------
     7 6.6 6
  - 1 5 2
  ----------
     6 1 4.6
  - 1 2 2 8
  ----------
     4 9 1 8. 小数値

8 進数を 2 進数に変換するには、各 8 進数をその 2 進数表現に置き換えます。

例: 51 _{8 を}バイナリに変換します。

5 ₈ = 101 ₂

1 ₈ = 001 ₂

したがって、51 ₈ = 101 001 ₂。

このプロセスは、前のアルゴリズムの逆です。2 進数は、最下位ビットから始まり、左と右に進みながら、3 ずつグループ化されます。必要に応じて、先頭のゼロ (または小数点の右側の末尾のゼロ) を追加して、最後の 3 つのグループを埋めます。次に、各 3 つを同等の 8 進数に置き換えます。

たとえば、2進数1010111100を8進数に変換します。

したがって、1010111100 ₂ = 1274 ₈です。

2進数11100.01001を8進数に変換します。

したがって、11100.01001 ₂ = 34.22 ₈。

変換は、2 進数を中間の基数として使用して 2 段階で行われます。8 進数は 2 進数に変換され、次に 2 進数は 16 進数に変換されます。数字は 4 ずつグループ化され、それぞれが 16 進数の数字に対応します。

たとえば、8進数の1057を16進数に変換します。

バイナリへ:

16進数に変換すると次のようになります。

したがって、1057 ₈ = 22F ₁₆。

16 進数から 8 進数への変換は、まず 16 進数を 4 ビットのバイナリ値に変換し、次にバイナリ ビットを 3 ビットの 8 進数に再グループ化することで進行します。

たとえば、3FA5 _{16 を}変換するには:

バイナリへ:

8進数にすると次のようになります。

したがって、3FA5 ₁₆ = 37645 ₈。

8 進分数は 2 の因数しかないため、多くの分数には数字が繰り返されますが、これらはかなり単純な傾向があります。

以下の表は、いくつかの一般的な無理数の10 進数と 8 進数での展開を示しています。

• コンピュータの数値形式 – デジタルコンピュータにおける数値の内部表現
• 八進ゲーム、組み合わせゲーム理論で使用されるゲーム番号システム
• スプリットオクタル、Heath Company、DECなどが使用する16ビットの8進表記法
• スクォークコード、ギルハムコードの12ビット8進数表現
• 音節八進数、English Electricが使用する8ビット音節の八進表現

• オクトマティクスは、 8 進数での簡単な視覚的な計算を可能にする数値システムです。
• 8 進数コンバーターは、8 進数と 10 進数の間で双方向の変換を実行します。