SL2(R)

数学において、特殊線型群 SL(2, R)またはSL ₂ (R)は、行列式が 1である2 × 2実行列の群です。

${\displaystyle {\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon a,b,c,d\in \mathbf {R} {\mbox{ and }}ad-bc=1\right\}.}$

これは、幾何学、位相幾何学、表現論、物理学に応用される、連結した 非コンパクトな次元 3 の 単純実リー群です。

SL(2,  R ) は分数線型変換によって複素上半平面に作用する。群作用は商PSL(2, R) ( R上の2 × 2射影特殊線型群)を介して因数分解される。より具体的には、

PSL(2,  R ) = SL(2,  R ) / {± I }、

ここでIは2×2の単位行列を表す。これはモジュラー群PSL(2,  Z )を含む。

また、2 重被覆群Mp(2,  R ) も密接に関連しており、これはメタプレクティック群です(SL(2, R )をシンプレクティック群として考えます )。

関連する別の群は SL ^± (2,  R ) であり、これは行列式が ±1 である実数 2 × 2 行列の群です。ただし、これはモジュラー群のコンテキストでより一般的に使用されます。

SL(2,  R ) は、向き付けられた面積を保存するR ²のすべての線形変換の群です。これは、シンプレクティック群Sp(2,  R ) および特殊ユニタリ群SU(1, 1)と同型です。また、単位長さコクオータニオン群とも同型です。群 SL ^± (2,  R ) は向き付けられていない面積を保存します。向きを逆にすることができます。

商PSL(2,  R )には、リー群同型に至るまで、いくつかの興味深い記述がある。

• これは実射影直線R∪ {∞}の向きを保存する射影変換の群です。
• これは単位円板の共形 自己同型群です。
• これは、双曲平面の方向保存等長変換のグループです。
• これは3次元ミンコフスキー空間の制限ローレンツ群です。同様に、これは不定直交群SO ⁺ (1,2)と同型です。したがって、SL(2,  R )はスピン群Spin(2,1) ⁺と同型です。

モジュラー群PSL(2,  Z )の元には追加の解釈があり、群SL(2,  Z )の元（トーラスの線型変換として）にも追加の解釈があり、これらの解釈はSL(2, R ) の一般理論に照らして見ることもできます 。

PSL(2,  R )の元は実射影直線R∪ {∞}上のホモグラフィである:

${\displaystyle [x,1]\mapsto [x,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [ax+b,\ cx+d]\ =\,\left[{\frac {ax+b}{cx+d}},\ 1\right].}$

これらの射影変換はPSL(2, C )のサブグループを形成し 、メビウス変換によってリーマン球面に作用します。

実数直線を双曲平面の境界とみなすと、PSL(2,  R )は双曲運動を表現する。

PSL(2,  R )の元はメビウス変換によって複素平面上に作用する:

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\;\;\;\;{\mbox{ (where }}a,b,c,d\in \mathbf {R} {\mbox{)}}.}$

これはまさに上半平面を保存するメビウス変換の集合である。したがって、PSL(2,  R ) は上半平面の共形自己同型群となる。リーマン写像定理により、これは単位円板の共形自己同型群とも同型である。

これらのメビウス変換は双曲空間の上半平面モデルの等長変換として機能し、対応する円板のメビウス変換はポアンカレ円板モデルの双曲等長変換です。

上記の式は、双対数と倍数（別名分割複素数）のメビウス変換を定義するためにも使用できます。対応する幾何学は、ロバチェフスキー幾何学と非自明な関係にあります^[1]。

群 SL(2,  R ) は、共役によってそのリー代数 sl(2,  R )に作用し(リー代数の要素も 2 × 2 行列であることを思い出してください)、 PSL(2, R )の 忠実な 3 次元線形表現を生成します。これは、PSL(2, R ) のR ²上の二次形式の空間への作用として記述することもできます 。結果は次の表現になります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d^{2}\end{bmatrix}}.}$

sl(2,  R )上のキリング形式はシグネチャ( 2,1)を持ち、PSL(2,  R )とローレンツ群SO ⁺ (2,1)の間に同型性を誘導する。 ミンコフスキー空間へのPSL(2, R )のこの作用は、双曲面の双曲面モデルへのPSL(2, R )の等長作用に制限される 。

元A∈SL(2, R)の固有値は 特性多項式を満たす。

${\displaystyle \lambda ^{2}\,-\,\mathrm {tr} (A)\,\lambda \,+\,1\,=\,0}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathrm {tr} (A)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} (A)^{2}-4}}}{2}}.}$

これにより、ユークリッド平面上での対応する動作を伴う次の要素の分類が導き出されます。

• の場合、A は楕円形と呼ばれ、回転と共役です。${\displaystyle |\mathrm {tr} (A)|<2}$
• の場合、A は放物線型と呼ばれ、せん断写像になります。${\displaystyle |\mathrm {tr} (A)|=2}$
• の場合、A は双曲型と呼ばれ、スクイーズ写像となります。${\displaystyle |\mathrm {tr} (A)|>2}$

これらの名前は、円錐曲線の偏心度による分類に対応しています。偏心を曲線の絶対値の半分と定義すると（ε = ⁠1/2⁠ |tr|; 2 で割ると次元の影響が修正されますが、絶対値は PSL(2, R ))で作業する場合など、全体的な係数 ±1 を無視することに相当し、次のようになります: 、楕円形; 、放物線状; 、双曲状。 ${\displaystyle \epsilon <1}$${\displaystyle \epsilon =1}$${\displaystyle \epsilon >1}$

単位元1と負の単位元−1（PSL(2,  R )では同じ）はトレース±2を持ち、したがってこの分類では放物線元であるが、別々に考えられている場合も多い。

SL(2,  C ) と PSL(2,  C ) (メビウス変換) および PSL(2,  R ) (実メビウス変換) に同じ分類が使用されますが、複素トレースに対応する「斜航」変換が追加されています。同様の分類が他の場所でも使用されます。

楕円型（それぞれ放物型、双曲型）の元と単位元、負の単位元を含む部分群は、楕円型部分群（それぞれ放物型部分群、 双曲型部分群）と呼ばれます。

SL(2,  R ) を楕円、放物線、双曲要素に分けることは、部分集合への分類であり、部分群への分類ではありません。これらの集合は乗算に対して閉じていません (2 つの放物線要素の積は放物線である必要はありません、など)。ただし、各要素は、以下に詳述するように、3 つの標準的な 1パラメータ部分群(おそらく ±1 倍) のいずれかのメンバーと共役です。

位相的には、トレースは連続写像なので、楕円要素（±1 を除く）は開集合を形成し、双曲要素（±1 を除く）も同様に開集合を形成します。対照的に、放物線要素は ±1 とともに開集合ではない 閉集合を形成します。

楕円要素の固有値は複素数であり、単位円上の共役値です。このような要素はユークリッド平面の回転に共役であり、非直交基底での回転として解釈できます。また、PSL(2, R )の対応する要素は、 双曲平面とミンコフスキー空間の回転として(共役に)機能します。

モジュラー群の楕円元は固有値 {ω, ω ⁻¹ }を持つ必要があります。ここで、 ω は1 の原始 3 次、 4 次、または 6 次根です。これらはすべて有限位数のモジュラー群の元であり、トーラス上で周期微分同相写像として作用します。

トレース0の要素は（離心率との類推により）「円形要素」と呼ばれることがあるが、これはめったに行われない。これらは、固有値± iを持つ要素に対応し、90°回転に共役であり、- Iに直角である。これらは、PSL(2)における 非恒等反転である。

楕円要素は、ユークリッド平面の回転のサブグループ、特殊直交群SO(2)に共役です。回転角はトレースの半分の逆余弦で、回転の符号は方向によって決まります。(回転とその逆は GL(2) では共役ですが、SL(2) では共役ではありません。)

放物要素は、1 または -1 の単一の固有値のみを持ちます。このような要素は ユークリッド平面上の せん断写像として機能し、PSL(2, R ) の対応する要素は、双曲平面の極限回転およびミンコフスキー空間のヌル回転として機能します。

モジュラー群の放物線要素は、トーラスの デーンツイストとして機能します。

放物線要素は、標準せん断 × ± I :の2成分群に共役です。実際、それらはすべて（SL(2)では）4つの行列のいずれかに共役です（GL(2)またはSL ^± (2)では±を省略できますが、SL(2)では省略できません）。 ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&\lambda \\&1\end{smallmatrix}}\right)\times \{\pm I\}}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&\pm 1\\&1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}-1&\pm 1\\&-1\end{smallmatrix}}\right)}$

双曲要素の固有値は実数であり、逆数でもある。このような要素はユークリッド平面の スクイーズ写像として機能し、PSL(2, R )の対応する要素は双曲平面の変換およびミンコフスキー空間上のローレンツブーストとして機能する。

モジュラー群の双曲的要素は、トーラスの アノソフ微分同相写像として機能します。

双曲要素は、標準スクイーズ × ± Iの 2 つの成分群に共役です。双曲回転の双曲角は、トレースの半分の弧で表されますが、符号は正または負になります。楕円の場合とは対照的に、スクイーズとその逆は SL₂ で共役です (軸の回転によって。標準軸の場合は 90° 回転)。 ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}\lambda \\&\lambda ^{-1}\end{smallmatrix}}\right)\times \{\pm I\}}$

ジョルダン正規形により、行列は共役性（GL( n ,  C )内）まで固有値とべき零性（具体的には、べき零性とはジョルダンブロックで1が発生する場所を意味します）によって分類されます。したがって、SL(2)の要素は、トレース（またはSL ^± (2)）の共役性までトレースによって分類されます（行列式は固定されており、トレースと行列式が固有値を決定するため）。ただし、固有値が等しい場合は除きます。したがって、±Iとトレース+2およびトレース-2の放物線要素は共役ではありません（前者はジョルダン形式で非対角要素を持たず、後者は持っています）。

SL(2)（GL(2)の代わりに）の共役まで、方向に対応する追加のデータがあります。時計回りと反時計回り（楕円）の回転は共役ではなく、上で詳述したように、正のシアーと負のシアーでもありません。したがって、トレースの絶対値が2未満の場合は、トレースごとに2つの共役クラス（時計回りと反時計回りの回転）があり、トレースの絶対値が2に等しい場合は、トレースごとに3つの共役クラス（正のシアー、恒等、負のシアー）があり、トレースの絶対値が2より大きい場合は、特定のトレースに対して1つの共役クラスがあります。

群の岩澤分解は、3つのリー部分群K、A、Nの積として群を構成する方法である。これらの3つの部分群は ${\displaystyle {\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}$

${\displaystyle \mathbf {K} =\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ \theta \in \mathbf {R} \right\}\cong SO(2),}$

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\{{\begin{pmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ r>0\right\},}$

${\displaystyle \mathbf {N} =\left\{{\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ x\in \mathbf {R} \right\}.}$

これら 3 つの要素は、それぞれ楕円、双曲、放物線サブセットの生成元です。

位相空間として、PSL(2,  R )は双曲平面の単位接束として記述できます。これは円束であり、双曲平面上のシンプレクティック構造によって誘導される自然な接触構造を持ちます。SL(2,  R )はPSL(2, R )の2重被覆であり 、双曲平面上のスピノルの束と考えることができます。

SL(2, R )の基本群は 無限巡回群 Zです。で表される普遍被覆群は、行列群ではない有限次元リー群の例です。つまり、は忠実な有限次元表現を許しません。 ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$

位相空間として、は双曲面上の線束です。左不変計量が埋め込まれると、3 次元多様体は8 つのサーストン幾何学の 1 つになります。たとえば、は任意の双曲面への単位接線束の普遍被覆です。 をモデル化した任意の多様体は向き付け可能であり、 は2 次元双曲オービフォールド(ザイフェルト ファイバー空間) 上の円束です。${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$ ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$

この被覆の下では、モジュラー群 PSL(2, Z )の逆像は 3 つの生成元上の組紐群B _{3であり、これはモジュラー群の}普遍中心拡大である。これらは関連する代数群内の格子であり、これは位相幾何学における普遍被覆群に代数的に対応する。

2重被覆群は、  SL(2, R )をシンプレクティック群Sp(2,  R )と考えると、 メタプレクティック群Mp(2, R )として識別できます。

前述のグループが一緒になってシーケンスを形成します。

${\displaystyle {\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )}}\to \cdots \to \mathrm {Mp} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ).}$

しかし、  n Z < Z ≅ π ₁ (PSL(2,  R ))のように、すべてのnに対応するPSL(2, R )の他の被覆群も存在し、これらは可算性によって被覆群の格子を形成します。これらは、 nが偶数の場合にのみSL(2, R )を被覆します 。

SL(2,  R )の中心は2元群{±1}であり、商PSL(2,  R )は単純である。

PSL(2, R )の離散部分群 はフックス群と呼ばれます。これらはユークリッド壁紙群とフリーズ群の双曲的類似物です。これらの中で最も有名なのはモジュラー群PSL(2,  Z ) で、これは理想的な三角形による双曲面のモザイク状に作用します。

円群 SO(2)はSL(2,  R )の最大コンパクト部分群であり、円SO(2) / {±1}はPSL(2,  R )の最大コンパクト部分群である。

離散群 PSL(2,  R ) のシュアー乗数はZよりもはるかに大きく、普遍中心拡大は普遍被覆群よりもはるかに大きい。しかし、これらの大きな中心拡大は位相を考慮しておらず、やや異常である。

SL(2,  R ) は実非コンパクトな単純リー群であり、複素リー群 SL(2,  C ) の分割実形式です。SL (2, R )の リー代数はsl(2, R )と表記され 、すべての実トレースレス2 × 2 行列の代数です。これはタイプ VIII の ビアンキ代数です。

SL(2, R )の有限次元表現論は 、SL(2, C )のコンパクトな実数形式である SU(2)の表現論と同等である。特に、SL(2,  R )には非自明な有限次元ユニタリ表現が存在しない。これは、連結された単純非コンパクトリー群の特徴である。証明の概要については、表現の非ユニタリ性を参照のこと。

SL(2, R )の無限次元表現理論は 非常に興味深いものです。このグループにはユニタリ表現のいくつかの族があり、それらはGelfandとNaimark (1946)、V. Bargmann (1947)、およびHarish-Chandra (1952) によって詳細に研究されました。

• バーグマン、バレンタイン (1947) 。「ローレンツ群の既約ユニタリ表現」。Annals of Mathematics。48 ( 3): 568–640。doi :10.2307/1969129。JSTOR 1969129。MR  0021942  。
• ゲルファンド、イスラエル・モイセヴィッチ; ノイマーク、マーク・アロノビッチ (1946)。「ローレンツ群のユニタリ表現」。アカデミー科学ソ連物理学ジャーナル10 : 93-94。MR 0017282  。
• Harish-Chandra (1952). 「2×2実ユニモジュラー群のプランシュレル公式」Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 38 (4): 337–342. Bibcode :1952PNAS...38..337H. doi : 10.1073/pnas.38.4.337 . MR  0047055. PMC  1063558 . PMID  16589101.
• ラング、セルジュ（1985）。.大学院数学テキスト。第105巻。ニューヨーク：シュプリンガー出版社。doi ：10.1007 /978-1-4612-5142-2。ISBN${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbf {R} )}$ 0-387-96198-4MR  0803508 。
• サーストン、ウィリアム (1997)。シルビオ・レヴィ (編)。3次元幾何学と位相幾何学。第1巻。プリンストン数学シリーズ。第35巻。プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-08304-5. MR  1435975。