機能決定因子

数学の一分野である関数解析では、有限次数の正方行列の行列式（有限次元ベクトル空間からそれ自身への線型変換を表す）の概念を、関数空間V をそれ自身に写像する線型演算子Sの無限次元の場合に一般化できる場合があります。対応する量 det( S ) はSの関数行列式と呼ばれます。

関数行列式にはいくつかの公式がある。それらはすべて、有限行列の行列式が行列の固有値の積に等しいという事実に基づいている。数学的に厳密な定義は、演算子のゼータ関数によるものである。

${\displaystyle \zeta _{S}(a)=\operatorname {tr} \,S^{-a}\,,}$

ここでtrは関数のトレースを表し、行列式は次のように定義される。

${\displaystyle \det S=e^{-\zeta _{S}'(0)}\,,}$

ここで、点s = 0 におけるゼータ関数は解析接続によって定義されます。物理学者が量子場理論(QFT)でファインマン経路積分形式を使用するときによく使用する別の一般化では、関数積分を使用します。

${\displaystyle \det S\propto \left(\int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi ,S\phi \rangle }\right)^{-2 }\,.}$

この経路積分は、発散する乗法定数までしか明確に定義されません。厳密な意味を持たせるには、別の関数の行列式で割って、問題のある「定数」を効果的にキャンセルする必要があります。

これらは、表面上は、関数行列式に対する 2 つの異なる定義であり、1 つは量子場理論から来ており、もう 1 つはスペクトル理論から来ています。それぞれに何らかの正規化が含まれています。物理学で一般的な定義では、2 つの行列式は互いにのみ比較できます。数学では、ゼータ関数が使用されました。Osgood、Phillips、Sarnak (1988) は、QFT 形式で 2 つの関数行列式を比較して得られた結果が、ゼータ関数行列式によって得られた結果と一致することを示しました。

有限次元ユークリッド空間V上の正の自己随伴作用素 Sに対して、式

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\det S}}}=\int _{V}e^{-\pi \langle x,Sx\rangle }\,dx}$

保持します。

問題は、無限次元関数空間上の演算子Sの行列式を理解する方法を見つけることである。関数空間が閉区間上の連続パスで構成される量子場理論で好まれるアプローチの1つは、積分を正式に計算しようとすることである。

${\displaystyle \int _{V}e^{-\pi \langle \phi ,S\phi \rangle }\,{\mathcal {D}}\phi }$

ここで、Vは関数空間、L 2 内積、ウィーナー測度です。S^に関する基本的な仮定は、 Sが自己随伴であり、離散スペクトルλ ₁、λ 2 _、 λ _{3 、... を持ち、対応する}固有関数の集合f ₁、f ₂、f ₃、... がL ²で完全であることです (たとえば、コンパクトな区間 Ω 上の 2 次導関数演算子の場合のように)。これは、おおよそすべての関数 φ が関数f _iの線形結合として記述できることを意味します。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle {\mathcal {D}}\phi }$

${\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{i}c_{i}|f_{i}\rangle \quad {\text{c_{i}=\langle f_{i}|\phi \rangle とします。}$

したがって指数関数の内積は次のように表される。

${\displaystyle \langle \phi |S|\phi \rangle =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\langle f_{i}|S|f_{j}\rangle =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\delta _{ij}\lambda _{i}=\sum _{i}|c_{i}|^{2}\lambda _{i}.}$

関数f _iの基底において、関数積分はすべての基底関数上の積分に帰着する。形式的には、有限次元の場合の直感が無限次元の設定にも当てはまると仮定すると、測度は

${\displaystyle {\mathcal {D}}\phi =\prod _{i}{\frac {dc_{i}}{2\pi }}.}$

これにより、関数積分はガウス積分の積になります。

${\displaystyle \int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }=\prod _{i}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dc_{i}}{2\pi }}e^{-\lambda _{i}c_{i}^{2}}.}$

積分は次のように評価できる。

${\displaystyle \int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }=\prod _{i}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi \lambda _{i}}}}}={\frac {N}{\sqrt {\prod _{i}\lambda _{i}}}}}$

ここでNは、何らかの正規化手順で処理する必要がある無限定数です。すべての固有値の積は有限次元空間の行列式に等しく、無限次元の場合にもこれが当てはまると正式に定義します。これにより、次の式が得られます。

${\displaystyle \int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }\propto {\frac {1}{\sqrt {\det S}}}.}$

すべての量が適切な意味で収束する場合、関数の行列式は古典的な極限として記述できます (Watson と Whittaker)。そうでない場合は、何らかの正規化を実行する必要があります。関数の行列式の計算で最も一般的なのは、ゼータ関数の正規化です。^{[1]たとえば、これにより、}ミナクシシュンダラム–プレイジェルのゼータ関数を使用して、リーマン多様体 上のラプラス演算子とディラック演算子の行列式を計算できます。それ以外の場合は、2 つの行列式の商を考慮して、発散する定数をキャンセルすることもできます。

S を滑らかな係数を持つ楕円微分作用素とし、コンパクト台の関数に対して正であるとする。つまり、定数c > 0 が存在し、

${\displaystyle \langle \phi ,S\phi \rangle \geq c\langle \phi ,\phi \rangle }$

コンパクトに支えられた滑らかな関数 φ に対して、S はL ²上の作用素への自己随伴拡張を持ち、その下限はcである。Sの固有値は、次の順序で並べることができる。

${\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots ,\qquad \lambda _{n}\to \infty .}$

Sのゼータ関数は次の級数で定義される: ^[2]

${\displaystyle \zeta _{S}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}^{s}}}.}$

_{ζ S は}平面全体への有理型拡張を持つことが知られています。 ^[3] さらに、より一般的な状況でゼータ関数を定義することもできますが、楕円微分演算子（または擬微分演算子）のゼータ関数はで正則です。${\displaystyle s=0}$

正式には、この級数を各項ごとに微分すると、

${\displaystyle \zeta _{S}'(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\ln \lambda _{n}}{\lambda _{n}^{s}}},}$

そして関数の行列式が明確に定義されている場合、それは次のように表される。

${\displaystyle \det S=\exp \left(-\zeta _{S}'(0)\right).}$

ゼータ関数の解析接続はゼロで正則なので、これを行列式の定義として厳密に採用することができます。

この種のゼータ正規化関数行列式は、形式 の和を評価するときにも現れます。 を積分すると が得られ、これは調和振動子の行列式の対数として考えることができます。この最後の値は に等しく、 はフルビッツのゼータ関数です。 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)}}}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\ln(n+a)}$${\displaystyle -\partial _{s}\zeta _{H}(0,a)}$${\displaystyle \zeta _{H}(s,a)}$

無限のポテンシャル井戸内の量子力学的粒子の運動を記述する次の演算子の行列式を計算します。

${\displaystyle \det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)\qquad (x\in [0,L]),}$

ここで、Aはポテンシャルの深さ、Lは井戸の長さです。この行列式は、演算子を対角化し、固有値を掛け合わせることで計算します。興味のない発散定数を気にしなくて済むように、深さAの演算子の行列式と深さA = 0の演算子の行列式の商を計算します。このポテンシャルの固有値は次の式に等しくなります。

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}+A\qquad (n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}).}$

これはつまり

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}=\prod _{n=1}^{+\infty }{\frac {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}+A}{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {L^{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

ここで、正弦関数にオイラーの無限積表現を使用できます。

${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$

そこから双曲正弦関数の同様の式を導くことができます。

${\displaystyle \sinh z=-i\sin iz=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

これを当てはめると、

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {L^{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\frac {\sinh L{\sqrt {A}}}{L{\sqrt {A}}}}.}$

1次元ポテンシャルの場合、関数行列式を生成する近道が存在する。^[4]これは次の式を考慮することに基づく。

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)-m\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)-m\right)}}}$

ここで、mは複素定数である。この式はmの有理型関数であり、mがポテンシャルV ₁ ( x )を持つ演算子の固有値に等しいときに零点を持ち、 mがポテンシャルV ₂ ( x )を持つ演算子の固有値に等しいときに極を持つ。ここで関数ψを考える。^メートル
₁およびψ^メートル
₂と

${\displaystyle \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{i}(x)-m\right)\psi _{i}^{m}(x)=0}$

境界条件に従う

${\displaystyle \psi _{i}^{m}(0)=0,\quad \qquad {\frac {d\psi _{i}^{m}}{dx}}(0)=1.}$

関数を構築すると

${\displaystyle \Delta (m)={\frac {\psi _{1}^{m}(L)}{\psi _{2}^{m}(L)}},}$

これはmの有理型関数でもあるので、計算しようとしている行列式の商とまったく同じ極と零点を持つことがわかります。つまり、m が演算子番号 1 の固有値である場合、ψ^メートル
₁（x）はその固有関数となり、ψ^メートル
₁( L ) = 0であり、分母についても同様である。リウヴィルの定理によれば、同じ零点と極を持つ2つの有理型関数は互いに比例しなければならない。この場合、比例定数は1となり、

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)-m\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)-m\right)}}={\frac {\psi _{1}^{m}(L)}{\psi _{2}^{m}(L)}}}$

mのすべての値に対して。m = 0 の場合には、

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)\right)}}={\frac {\psi _{1}^{0}(L)}{\psi _{2}^{0}(L)}}.}$

前のセクションの問題は、この形式化によってより簡単に解決できます。関数ψ⁰
_私( x ) 従う

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)\psi _{1}^{0}=0,\qquad \psi _{1}^{0}(0)=0\quad ,\qquad {\frac {d\psi _{1}^{0}}{dx}}(0)=1,\\&-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{2}^{0}=0,\qquad \psi _{2}^{0}(0)=0,\qquad {\frac {d\psi _{2}^{0}}{dx}}(0)=1,\end{aligned}}}$

次の解決策が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\psi _{1}^{0}(x)={\frac {1}{\sqrt {A}}}\sinh x{\sqrt {A}},\\&\psi _{2}^{0}(x)=x.\end{aligned}}}$

最終的な表現は次のようになる

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}={\frac {\sinh L{\sqrt {A}}}{L{\sqrt {A}}}}.}$

• 抽象ウィーナー空間
• ベレジニアン
• フレドホルム行列式
• 藤川方式
• ファデエフ・ポポフの幽霊

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