上半平面

数学では、上半平面は、${\displaystyle {\mathcal {H}},}$⁠は点の集合です${\displaystyle (x,y)}$デカルト座標平面において、${\displaystyle y>0.}$下半平面は点の集合です。${\displaystyle (x,y)}$⁠と共に⁠${\displaystyle y<0}$代わりに。任意の向きの半平面は、平面回転によって得られます。半平面は、2 次元半空間の一例です。半平面は 2 つの象限に分割できます。

上半平面のアフィン変換には以下が含まれる

1. シフト${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+c,y)}$、${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$、 そして
2. 拡張${\displaystyle (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y)}$、${\displaystyle \lambda >0.}$

命題: ⁠${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle B}$上半平面内の境界上に中心を持つ 半円である。すると、アフィン写像が存在し、${\displaystyle A}$に${\displaystyle B}$。

証明: まず中心を移動します${\displaystyle A}$⁠から⁠${\displaystyle (0,0).}$それから$\displaystyle \lambda =(Bの直径)/(Aの直径)$

そして拡張する。それから移動する。${\displaystyle (0,0)}$中心へ​${\displaystyle B.}$⁠

意味：${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\left\{\left(\cos ^{2}\theta ,{\tfrac {1}{2}}\sin 2\theta \right)\mid 0<\theta <\pi \right\}}$。

⁠${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$半径の円として認識できる$\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$中心は​${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},0{\bigr )},}$⁠そして極座標プロットとして ${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta .}$

提案：${\displaystyle (0,0),}$⁠ ⁠${\displaystyle \rho (\theta )}$⁠で⁠${\displaystyle {\mathcal {Z}},}$そして​​${\displaystyle (1,\tan \theta )}$⁠は共線点です。

実際には、${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$は、​${\displaystyle {\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}}$単位円内。実際、から対角線は${\displaystyle (0,0)}$⁠から⁠${\displaystyle (1,\tan \theta )}$長さは2乗です${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta }$、 となることによって${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta }$ それはその長さの逆数です。

任意の2点間の距離${\displaystyle p}$そして​​${\displaystyle q}$上半平面における は、次のように一貫して定義できます。からの線分の垂直二等分線${\displaystyle p}$⁠から⁠${\displaystyle q}$境界線と交差するか、境界線と平行である。後者の場合、${\displaystyle p}$そして​​${\displaystyle q}$境界に垂直な光線上にあり、対数尺度を使用して拡大縮小に対して不変な距離を定義できます。前者の場合、${\displaystyle p}$そして​​${\displaystyle q}$それらは、それらの垂直二等分線と境界の交点を中心とする円上に位置する。上記の命題により、この円はアフィン運動によって移動できる 。${\displaystyle {\mathcal {Z}}.}$距離について​${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$は、上の点との対応関係を用いて定義できる${\displaystyle {\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}}$そしてこの光線上には対数測度が存在する。結果として、上半平面は計量空間となる。この計量空間の一般名称は双曲平面である。双曲幾何学のモデルにおいては、このモデルはしばしばポアンカレ半平面モデルと呼ばれる。

数学者は時としてデカルト座標平面を複素平面と同一視し、その場合、上半平面は正の虚部を持つ複素数の集合に対応する。

${\displaystyle {\mathcal {H}}:=\{x+iy\mid y>0;\ x,y\in \mathbb {R} \}.}$

この用語は、複素数の一般的な視覚化から生じる。${\displaystyle x+iy}$ポイントとして${\displaystyle (x,y)}$デカルト座標系で与えられた平面において。${\displaystyle y}$軸が垂直方向に配向されている場合、「上半平面」は、${\displaystyle x}$軸、したがって複素数${\displaystyle y>0}$。

これは、複素解析で関心のある多くの関数、特にモジュラー形式の領域です。下半平面は、次のように定義されます。${\displaystyle y<0}$⁠も同様に優れていますが、慣習的にはあまり使用されていません。オープンユニットディスク⁠${\displaystyle {\mathcal {D}}}$（絶対値が1未満のすべての複素数の集合）は、等角写像によってと等価である。$\displaystyle {\mathcal {H}}}$（「ポアンカレ計量」を参照）つまり、通常は と の間を移動できるということ です。$\displaystyle {\mathcal {H}}}$そして​​${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$⁠

また、双曲幾何学においても重要な役割を果たしており、ポアンカレ半平面モデルは双曲運動を解析する手段を提供する。ポアンカレ計量は、空間上に双曲計量を与える。

曲面の均一化定理は、上半平面が一定の負のガウス曲率を持つ曲面の普遍的な被覆空間であることを述べている。

閉じた上半平面は、上半平面と実軸の和集合である。つまり、上半平面の閉包である。

微分幾何学における自然な一般化の一つは双曲的である。${\displaystyle n}$-スペース⁠${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n},}$最大限に対称で、単連結で、${\displaystyle n}$一定断面曲率を持つ次元リーマン多様体${\displaystyle -1}$この用語では、上半平面 は$\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$実次元を持つため${\displaystyle 2.}$⁠

数論において、ヒルベルトモジュラー形式の理論は、直積上の特定の関数の研究に関係している。$\displaystyle {\mathcal {H}}^{n}}$の​​${\displaystyle n}$上半平面のコピー。数論者にとって興味深いもう一つの空間は、シーゲル上半空間である。${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n},}$これは、シーゲルのモジュラー形式の領域である。

• カスプ地区
• 拡張された複雑な上半平面
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• 半空間
• クライン派
• モジュラーグループ
• 楕円曲線のモジュライスタック
• リーマン面
• シュヴァルツ・アールフォルス・ピック定理

• ワイススタイン、エリック W. 「上半平面」 . MathWorld .