リンド数学パピルス

リンド数学パピルス
リンド数学パピルス
大英博物館、ロンドン
	リンド・パピルスの一部
日付	エジプト第二中間期
原産地	テーベ、エジプト
言語	エジプト語（ヒエラティック）
筆記者	アーメス
材料	パピルス
サイズ	最初のセクション（BM 10057）：長さ: 295.5 cm (116.3 インチ); 幅: 32 cm (13 インチ); 第2セクション（BM 10058）：長さ: 199.5 cm (78.5 インチ); 幅: 32 cm (13 インチ);

リンド数学パピルス( RMP 、大英博物館10057、pBM 10058、ブルックリン美術館37.1784Ea-bではパピルスとも呼ばれる) は、古代エジプトの数学の最もよく知られた例の 1 つです。

モスクワ数学パピルスとともに、2つのよく知られた数学パピルスのうちの1つです。リンドパピルスは2つのうち大きいですが、新しいものです。^[1]

パピルスの冒頭の段落で、アハメスはパピルスが「物事を調査するための正確な計算、そしてあらゆる物事、神秘、あらゆる秘密に関する知識」を与えてくれるものであると述べている。彼は次のように続けている。

この本は、エジプト王ニマアトレの時代に作られた古代の写本から、アケト暦33年4月に、上下エジプトの王アウセルの威厳のもとに命を与えられたアケト月4日に書き写された。この写本は書記官アフメスによって書かれた。 ^[2]

リンド数学パピルスに関する書籍や記事が数多く出版されており、その中でも特に目立つものがいくつかあります。^[1] リンド・パピルスは1923年にイギリスのエジプト学者 T・エリック・ピートによって出版され、フランシス・ルウェリン・グリフィスの第1巻、第2巻、第3巻の概要に沿ったテキストの議論が含まれています。 ^[3]チェイスは1927年から1929年にかけてテキストの写真を含む概要を出版しました。^[4]より新しいリンド・パピルスの概要は1987年にロビンズとシュートによって出版されました。

歴史

リンド数学パピルスは、エジプト第2中間期に遡る。これは、第12王朝のアメンエムハト3世の治世中に書かれた、現在は失われている文書から、筆写者アフメス（つまりアフメス。数学史家が好む古い写し方であるアフメス）によって書き写された。

それは紀元前1550年頃のものである。^{[5]この文書は}ヒクソス王アポフィスの治世33年に遡り、裏面には後継者カムディの治世11年と思われる別の歴史注釈も含まれている。^[6]

スコットランドの古物研究家アレクサンダー・ヘンリー・リンドは、 1858年にエジプトのルクソールでこのパピルスの2部を購入しました。^{[7]このパピルスは、ルクソール近郊の「}ラメセウム近くの小さな建物の一つ」で発見されたと言われています。^[3]

現在パピルスの大部分を保管している大英博物館は、1865年にヘンリー・リンドが所有していたエジプト数学皮革巻物とともにこれを入手した。^[2]

このテキストの断片は、1860年代半ばにアメリカのエジプト学者エドウィン・スミスがルクソールで独自に購入し、1906年に彼の娘によってニューヨーク歴史協会に寄贈され、 ^[8]現在はブルックリン美術館が所蔵している。^[1]^[9]中央の18cm（7.1インチ）の部分が失われている。

パピルスは19世紀後半に音訳され、数学的に翻訳され始めました。数学的翻訳の側面はいくつかの点で不完全なままです。^[6]

書籍

第1巻 – 算術と代数

リンド・パピルスの最初の部分は、参照表と21の算術問題と20の代数問題から構成されています。問題は簡単な分数式から始まり、完成問題（セケム問題）とより複雑な線形方程式（アハ問題）が続きます。^[1]

パピルスの最初の部分は2/ n表です。3から 101 までの奇数nに対する分数 2/ nは、単位分数の合計として表されます。たとえば、 2/ nを単位分数に分解すると、次の例のように、4 項を超えることはありません。 ${\frac {2}{15}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{30}}$

{\frac {2}{101}}={\frac {1}{101}}+{\frac {1}{202}}+{\frac {1}{303}}+{\frac {1}{606}}

この表の後に、1 から 9 までの数字を 10 で割った分数の表が続きます。たとえば、7 を 10 で割った結果は次のように記録されます。

7を10で割ると2/3 + 1/30になる

この 2 つの表の後に、パピルスには全部で 91 の問題が記録されており、これらは現代人によって問題 (または番号) 1 ～ 87 として指定されています。これには、問題 7B、59B、61B、および 82B として指定されている他の 4 つの項目が含まれます。問題 1 ～ 7、7B、および 8 ～ 40 は、算術と初等代数に関するものです。

問題 1～6 では、一定数のパンを 10 人の男性で割り、その結果を分数で記録します。問題 7～20 では、式 1 + 1/2 + 1/4 = 7/4 と 1 + 2/3 + 1/3 = 2 にさまざまな分数を掛ける方法を示します。問題 21～23 は補完問題で、現代の記法では単なる引き算の問題です。問題 24～34 は「なるほど」問題で、線形方程式です。たとえば問題 32 は (現代の記法では) x + 1/3 x + 1/4 x = 2 を x について解くことに相当します。問題 35～38 では、古代エジプトの体積の単位であるヘカットの割り算が行われます。この時点で、パピルスの残りの部分ではさまざまな測定単位がさらに重要になり、実際、パピルスの残りの部分では次元解析が主要な考慮事項となっています。問題39と40では、パンの分割を計算し、等差数列を使用しています。^[2]

第2巻 – 幾何学

リンド・パピルスの2番目の部分、問題41～59、59B、60は幾何学の問題である。ピートはこれらの問題を「測量問題」と呼んだ。^[1]

ボリューム

問題 41 ～ 46 では、円筒形と長方形の両方の穀倉の容積を求める方法を示します。問題 41 では、Ahmes が円筒形の穀倉の容積を計算します。直径 d と高さ h が与えられている場合、容積 V は次のように求められます。

V=\left[\right(1-1/9\left)d\right]^{2}h

現代の数学表記法（および d = 2r を使用）では、これはとなります。分数項 256/81 は π の値を 3.1605... と近似し、誤差は 1 パーセント未満です。 $V=(8/9)^{2}d^{2}h=(256/81)r^{2}h$

問題 47 は、分数等式の表で、物理的な体積量「100 4 倍ヘカット」を 10 から 100 までの 10 の倍数で割った 10 の状況を表しています。商はホルスの目の分数で表され、時には「4 倍ロ」と呼ばれるはるかに小さい体積単位も使用されます。4 倍ヘカットと 4 倍ロは、より単純なヘカットとロから派生した体積単位であり、これらの 4 つの体積単位は次の関係を満たします。1 4 倍ヘカット = 4 ヘカット = 1280 ロ = 320 4 倍ロ。したがって、

100/10 4倍ヘカット = 10 4倍ヘカット

100/20 4倍ヘカット = 5 4倍ヘカット

100/30 4倍ヘカット = (3 + 1/4 + 1/16 + 1/64) 4倍ヘカット + (1 + 2/3) 4倍ロ

100/40 4倍ヘカット = (2 + 1/2) 4倍ヘカット

100/50 4倍ヘカット = 2倍ヘカット

100/60 4倍ヘカット = (1 + 1/2 + 1/8 + 1/32) 4倍ヘカット + (3 + 1/3) 4倍ロ

100/70 4倍ヘカット = (1 + 1/4 + 1/8 + 1/32 + 1/64) 4倍ヘカット + (2 + 1/14 + 1/21 + 1/42) 4倍ロ

100/80 4倍ヘカット = (1 + 1/4) 4倍ヘカット

100/90 4倍ヘカット = (1 + 1/16 + 1/32 + 1/64) 4倍ヘカット + (1/2 + 1/18) 4倍ロ

100/100 4倍ヘカット = 1 4倍ヘカット^[2]

エリア

問題 48 から 55 では、さまざまな面積を計算する方法を示します。問題 48 は、円の面積をπ に近似することで簡潔に計算している点が注目に値します。特に、問題 48 では、「円の面積は、円に外接する正方形の面積に対して 64/81 の比率になる」という慣習 (幾何学セクション全体で使用) が明確に強調されています。同様に、パピルスは π を 256/81 と近似しており、これはすでに問題 41 の説明で述べたとおりです。

その他の問題では、長方形、三角形、台形の面積を求める方法を示します。

ピラミッド

最後の6つの問題はピラミッドの傾斜に関するものです。次のような問題が報告されています: ^[10]

ピラミッドの高さが 250 キュビト、底辺の長さが 360 キュビトの場合、そのシーケドはいくらですか?

この問題の解は、ピラミッドの底辺の半分と高さの比、つまりピラミッドの面の縦横比として与えられます。言い換えれば、シーケドに求められる量は、ピラミッドの底辺と面の角度のコタンジェントです。^[10]

第3巻 – 雑集

リンドパピルスの第 3 部は、91 問のうちの残りの問題、つまり 61、61B、62 ～ 82、82B、83 ～ 84、および「数字」85 ～ 87 から構成されています。これらの問題は数学的な性質を持ちません。この最後のセクションには、より複雑なデータ表 (ホルスの目の分数を含むことが多い)、食事の準備に関する基本的な代数問題であるいくつかのペフス問題、さらには等比数列、等比級数、および歴史上の後期の問題や謎を示唆する面白い問題 (79) も含まれています。問題 79 では、「7 つの家、49 匹の猫、343 匹のネズミ、2401 本のスペルト小麦、16807 ヘカト」と明示的に記載されています。特に問題 79 は、7 つの家にそれぞれ 7 匹の猫がいて、その猫がすべて 7 匹のネズミを食べ、ネズミはそれぞれ 7 本の穀物を食べ、それぞれが 7 本の穀物を生産するという状況に関するものです。リンドパピルスの第3部は、すでに提示されたものを基にした雑多な問題である。問題61は分数の掛け算に関するものである。一方、問題61Bは、nが奇数の場合の1/nの2/3を計算するための一般的な式を示している。現代の記法では、与えられた式は次のようになる。

{\frac {2}{3n}}={\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n}}

61B で示した手法は、2/n テーブルの導出と密接に関連しています。

問題62～68は代数的な性質を持つ一般的な問題です。問題69～78はすべて何らかの形でペフス問題です。これらの問題には、パンやビールの強度を、それらの製造に使用される特定の原材料に関して計算する問題が含まれます。^[2]

問題79は等比数列の5つの項を合計する。その言葉遣いは、より現代的ななぞなぞや童謡「セントアイブスに行く途中」を強く連想させる。^[1] 問題80と81は、ヒヌ（またはヘカット）のホルスの目の割合を計算する。最後の4つの数学問題、問題82、82B、および83～84は、鶏や牛など、さまざまな動物に必要な飼料の量を計算する。^[2] しかし、これらの問題、特に84は、あいまいさ、混乱、および単純な不正確さが蔓延している。

リンドパピルスの最後の 3 つの項目は、「問題」ではなく「番号」85 ～ 87 として指定されており、パピルスの裏面全体に広く散在しています。これらはそれぞれ、文書の終わりを示す短いフレーズ (翻訳の可能性のあるいくつかの可能性あり、以下を参照)、文書本体とは関係のない、文書をまとめるために使用された紙切れ (ただし、文書の読者には今ではおなじみの単語とエジプトの分数が含まれています)、およびパピルス本体の執筆が完了する少し後に書かれたと考えられる短い歴史メモです。このメモは、古代エジプト社会の外部中断期間である「ヒクソス支配」中の出来事を記述していると考えられており、これは第 2 中間期と密接に関連しています。これらの数学的ではないが、歴史的および文献学的に興味深い訂正により、パピルスの執筆は終了します。

単位の一致

リンドパピルスの資料の多くは、古代エジプトの測定単位、特にそれらの変換に使用された寸法分析に関するものです。パピルスで使用された測定単位の一致表は画像に示されています。

コンテンツ

この表は、リンドパピルスの内容を簡潔な現代語訳でまとめたものです。これは、アーノルドバッファムチェイスが1927 年と 1929 年に出版した 2 巻のパピルス解説書に基づいています^。[4] 一般的に、このパピルスは 4 つのセクションで構成されています。タイトルページ、2/n 表、小さな「1–9/10 表」、および 91 の問題、つまり「数」です。後者は 1 から 87 まで番号が付けられており、現代人によって問題 7B、59B、61B、および 82B として指定されている 4 つの数学問題が含まれています。一方、85 から 87 は、文書本体の一部を構成する数学的な項目ではなく、それぞれ、文書を締めくくる短いフレーズ、文書をまとめるために使用された「メモ用紙」 (すでに無関係な書き込みが含まれていた)、およびパピルス本体の完成直後の期間を説明すると考えられる歴史的メモです。これらの最後の 3 つの項目は、数学的な内容から遠く離れた、パピルスの裏面の異なる領域に書かれています。そのため、チェイスは、他の 88 の番号付き項目と同様に、問題ではなく番号としてスタイルを設定することで、これらを区別しています。

参照

文献

チェイス、アーノルド・バファム他 (1927)。『リンド数学パピルス』第 1 巻。オハイオ州オバーリン:アメリカ数学協会–インターネットアーカイブ経由。
チェイス、アーノルド・バファム、他 (1929)。『リンド数学パピルス』第 2 巻。オハイオ州オバーリン: アメリカ数学協会 –インターネットアーカイブ経由。
ギリングス、リチャード J. (1972)。ファラオの時代の数学(ドーバー再版版)。MIT プレス。ISBN 0-486-24315-X。
ロビンズ、ゲイ、シュート、チャールズ（1987年）。『リンド数学パピルス：古代エジプトのテキスト』ロンドン：大英博物館出版局。ISBN 0-7141-0944-4。

参考文献

^ abcdef スパリジャー、アンソニー (1990)。「歴史文書としてのリンド数学パピルス」。Studien zur Altägyptischen Kultur。１７．ヘルムート・ブスケ・フェルラーク: 295–337。JSTOR 25150159。
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^ ab Peet, T. Eric (1923). 『リンド数学パピルス：大英博物館 10057 および 10058』。リバプール大学出版局。パピルスが発見された場所については 2 ページを参照してください。
^ ab チェイス、アーノルド・バファム (1979) [1927–29]。『リンド数学パピルス：厳選写真、翻訳、翻字、直訳による自由翻訳と解説』。数学教育の古典。第8巻。全2巻（レストン：全米数学教師会再版）。オーバーリン：アメリカ数学協会。ISBN 0-87353-133-7。
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^ 参照：Schneider, Thomas (2006)。「中王国とヒクソス時代（第12～17王朝）の相対年代学」。エリック・ホルヌング、ロルフ・クラウス、デイヴィッド・ウォーバートン（編）『古代エジプト年代学』東洋学ハンドブック、ブリル社、194～195頁。ISBN 9789004113855。
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外部リンク

パピルスの最初の部分に関する大英博物館のウェブページ
パピルスの第2セクションに関する大英博物館のウェブページ
Wayback Machineのパピルスに関する大英博物館のウェブページ(2015 年 6 月 29 日アーカイブ)。
「エジプトのパピルスに書かれた数学」。MacTutor数学史アーカイブ。
ワイスタイン、エリック・W.「リンド・パピルス」。マスワールド。
ウィリアムズ、スコット W. 『アフリカ系ディアスポラの数学者』には、エジプトの数学パピルスに関するページが含まれています。

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[Clagett-2] Clagett, Marshall (1999)。古代エジプトの科学、資料集。アメリカ哲学協会紀要。第3巻：古代エジプトの数学。アメリカ哲学協会。ISBN 978-0-87169-232-0。

[peet-3] Peet, T. Eric (1923). 『リンド数学パピルス：大英博物館 10057 および 10058』。リバプール大学出版局。パピルスが発見された場所については 2 ページを参照してください。

[Chace,_Arnold_Buffum_1929-4] チェイス、アーノルド・バファム (1979) [1927–29]。『リンド数学パピルス：厳選写真、翻訳、翻字、直訳による自由翻訳と解説』。数学教育の古典。第8巻。全2巻（レストン：全米数学教師会再版）。オーバーリン：アメリカ数学協会。ISBN 0-87353-133-7。

[5] 「The Rhind Mathematical Papyrus」大英博物館。 2022年12月21日閲覧。

[Schneider-6] 参照：Schneider, Thomas (2006)。「中王国とヒクソス時代（第12～17王朝）の相対年代学」。エリック・ホルヌング、ロルフ・クラウス、デイヴィッド・ウォーバートン（編）『古代エジプト年代学』東洋学ハンドブック、ブリル社、194～195頁。ISBN 9789004113855。

[7] 「エジプトの数学」。数学の歴史。2024年6月15日閲覧。

[8] グッゲンビュール、ローラ（1964年10月） 。エブス、ハワード（編）。「リンド数学パピルスのニューヨーク断片」。歴史的に言えば。数学教師。57 （6）：406-410。doi ：10.5951/mt.57.6.0406。JSTOR 27957095 。

[9] 「コレクション：エジプト、古典、古代近東美術：リンド数学パピルスの断片」ブルックリン美術館。 2012年11月1日閲覧。

[Maor-7-10] マオール、イーライ（1998年）。三角関数の楽しみ。プリンストン大学出版局。p. 20。ISBN 0-691-09541-8。