円の面積

幾何学では、半径rの円で囲まれた面積はπ r ²です。ここで、ギリシャ文字π は、円の円周と直径の定数比を表し、およそ 3.14159 に等しくなります。

この公式を導く方法の 1 つは、アルキメデスが考案したもので、円を辺の数が増える正多角形の列の極限と見なすというものです。正多角形の面積は、その周囲の半分に中心から各辺までの距離を掛けたものであり、この列は円に近づくため、対応する公式、つまり面積は円周の半分に半径を掛けたもの、つまりA = ⁠ となります。1/2⁠ × 2π r × rは円に対して成立します。

非公式な文脈では円の面積と呼ばれることが多いですが、厳密に言えば、ディスクという用語は円の内部領域を指します。一方、円は境界のみを指し、境界は曲線であり、それ自体は領域をカバーしません。したがって、円で囲まれた領域を表すには、ディスクの面積の方がより正確な表現です。

現代数学では、積分法やそのより洗練された派生である実解析法を使って面積を求めることができる。しかし、円板の面積は古代ギリシャ人によって研究されていた。紀元前5世紀のクニドスのエウドクソスは、円板の面積がその半径の2乗に比例することを発見していた。 ^[1] アルキメデスはユークリッド幾何学の道具を使って、著書『円の測定』の中で、円の内部の面積は、底辺が円の円周と同じで高さが円の半径に等しい直角三角形の面積に等しいことを示した。円周は2πrであり、三角形の面積は底辺と高さの半分を掛けたものなので、円板の面積はπr2 ^となる。アルキメデス以前には、キオスのヒポクラテスがヒポクラテスの月求積法の中で、円板の面積がその直径の2乗に比例することを初めて示したが、^[2]比例定数は特定しなかった。

歴史的には、この方程式を様々な数学的厳密さで証明するために、様々な議論がなされてきました。その中で最も有名なのは、アルキメデスの尽力法です。これは、極限という数学的概念の最も初期の使用法の 1 つであり、実数系の標準的な解析的処理の一部となっているアルキメデスの公理の起源でもあります。アルキメデスの元々の証明は、円弧の長さを割線と接線の長さと比較できること、および面積に関する同様の記述が幾何学的に明らかであると仮定しているため、現代の基準では厳密ではありません。 ${\displaystyle A=\pi r^{2}}$

正多角形の面積は、その周囲の半分と周長の掛け算です。正多角形の辺の数が増えるにつれて、多角形は円に近づき、周長は半径に近づきます。これは、円板の面積が、その境界となる円の周長の半分と半径の掛け算であることを示しています。^[3]

アルキメデスの『円の測定』 （紀元前 260 年頃）の議論に従って、円で囲まれた面積を、底辺の長さが円の円周と同じで高さが円の半径と同じである直角三角形と比較します。円の面積が三角形の面積と等しくない場合は、円の面積は三角形の面積より大きいか小さいかのどちらかになります。これらのいずれも矛盾によって排除され、等しくなる可能性だけが残ります。正多角形も同様に使用します。

円で囲まれた面積C が三角形の面積T  = cr /2 より大きいとします。超過分をE で表します。円に正方形を内接させ、その 4 つの角が円に沿うようにします。正方形と円の間には 4 つの線分があります。これらの隙間の合計面積G _4がEより大きい場合は、各弧を半分に分割します。これにより、内接正方形は内接八角形になり、合計隙間が小さい 8 つの線分G ₈が生成されます。合計隙間面積G _nがEより小さくなるまで分割を続けます。これで、内接多角形の面積P _n  = C  −  G _{n は}、三角形の面積よりも大きくなければなりません。

${\displaystyle {\begin{aligned}E&{}=C-T\\&{}>G_{n}\\P_{n}&{}=C-G_{n}\\&{}>C-E\\P_{n}&{}>T\end{aligned}}}$

しかし、これには次のような矛盾が生じます。中心から多角形の一辺の中点に垂線を引くと、その長さhは円の半径よりも小さくなります。また、多角形の各辺の長さをsとすると、辺の合計はnsとなり、これは円の円周よりも小さくなります。多角形の面積は、高さhと底辺sを持つn 個の等しい三角形で構成され、したがってnhs /2 に等しくなります。しかし、h  <  rかつns  <  cであるため、多角形の面積は三角形の面積cr /2 よりも小さくなるはずであり、これは矛盾です。したがって、 C がTよりも大きいという仮定は間違っているに違いありません。

円で囲まれた面積が三角形の面積Tより小さいとします。不足分をDとします。各辺の中点が円上にくるように正方形を囲みます。正方形と円の面積の差G _4がDより大きい場合は、円の接線で角を切り落として外接八角形を作り、差の面積がDより小さくなるまで切り落とし続けます。多角形の面積P _nはTより小さくなければなりません。

${\displaystyle {\begin{aligned}D&{}=T-C\\&{}>G_{n}\\P_{n}&{}=C+G_{n}\\&{}<C+D\\P_{n}&{}<T\end{aligned}}}$

これもまた矛盾を生じさせます。多角形の各辺の中点に垂直な線は、長さrの半径です。また、辺の合計の長さが円周よりも長いため、多角形は、総面積がTより大きいn 個の同一の三角形で構成されます。ここでも矛盾が生じ、 C がTより小さいという仮定も間違っているに違いありません。

したがって、円で囲まれた面積は三角形の面積と正確に同じになるはずです。これで証明は終了です。

佐藤茂俊 (Smith & Mikami 1914, pp. 130–132)、ニコラウス・クザーヌス^[4]、レオナルド・ダ・ヴィンチ(Beckmann 1976, p. 19) に倣って、正多角形を別の方法で使うことができます。六角形 を内接させるとします。六角形を中心から分割して 6 つの三角形に切ります。向かい合う 2 つの三角形は、どちらも 2 つの共通直径に接しているので、そのうちの 1 つに沿ってスライドさせ、放射状の辺が隣り合うようにします。これで平行四辺形が形成され、六角形の辺は 2 つの向かい合う辺を作り、そのうちの 1 つが底辺sになります。放射状の 2 つの辺は斜めの辺を形成し、高さh はその底辺に等しくなります(アルキメデスの証明にあるように)。実際、連続する 2 つの三角形を隣り合わせに配置することで、すべての三角形を 1 つの大きな平行四辺形に組み立てることもできます。8 辺などに増やしても同じことが言えます。 2 n辺の多角形の場合、平行四辺形の底辺の長さはns、高さはhになります。辺の数が増えると、平行四辺形の底辺の長さは円周の半分に近づき、高さは円の半径に近づきます。極限では、平行四辺形は幅π r、高さrの長方形になります。

定数 π には、さまざまな同等の定義があります。微積分学前の幾何学における従来の定義は、円の円周と直径の比です。

${\displaystyle \pi ={\frac {C}{D}}.}$

しかし、円周は原始的な解析概念ではないため、この定義は現代の厳密な取り扱いには適していません。標準的な現代の定義では、π はコサイン関数の最小の正の根の 2 倍、または正弦(またはコサイン) 関数の半周期に等しいとされています。コサイン関数は、べき級数として、または特定の微分方程式の解として定義できます。これにより、 πの定義で円への参照が回避されるため、 πと円周および円の面積との関係に関する記述は、実際には定義ではなく定理であり、「面積」や「円周」などの概念の解析的定義から導き出されます。

円周が積分によって修正可能な曲線として測定されることに同意すれば、解析的定義は同等であることがわかる。

${\displaystyle C=2\int _{-R}^{R}{\frac {R\,dx}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}=2R\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

右側に現れる積分はアーベル積分であり、その値は正弦関数の半周期、つまりπに等しい。したがって、定理として正しいことがわかる。 ${\displaystyle C=2\pi R=\pi D}$

以下の議論のいくつかは、式 を再現するために初等微積分の概念のみを使用していますが、多くの場合、これらを実際の証明と見なすには、三角関数と基本定数πを幾何学との関係から完全に独立した方法で展開できるという事実に暗黙的に依存しています。これらの証明のそれぞれをすべての三角法から完全に独立させる方法を適切な場所で示しましたが、場合によっては、初等微積分で提供されるものよりも高度な数学的アイデアが必要になります。 ${\displaystyle A=\pi r^{2}}$

微積分を使うと、円板をタマネギの層のように薄い同心円に分割して、面積を段階的に合計することができます。これは、2 次元の殻積分の方法です。半径tの「タマネギ」の極小のリングの場合、累積面積は 2 π t dt 、つまりリングの円周の長さとその極小の幅の積分です (このリングは、幅 = 2 π t、高さ = dtの長方形で近似できます)。これにより、半径rの円板の基本積分が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\int _{0}^{r}2\pi t\,dt\\&{}=2\pi \left[{\frac {t^{2}}{2}}\right]_{0}^{r}\\&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}}$

これは、極座標における多変量置換規則によって厳密に正当化されます。つまり、面積は、定数関数 1 を円板自体に対して二重積分することによって与えられます。Dが円板を表す場合、二重積分は次のように 極座標で計算できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\iint _{D}1\ d(x,y)\\&{}=\iint _{D}t\ dt\ d\theta \\&{}=\int _{0}^{r}\int _{0}^{2\pi }t\ d\theta \ dt\\&{}=\int _{0}^{r}\left[t\theta \right]_{0}^{2\pi }dt\\&{}=\int _{0}^{r}2\pi t\,dt\\\end{aligned}}}$

これは上記で得られた結果と同じになります。

三角法の特殊座標に頼らない同等の厳密な正当化は、共面積の公式を使用します。によって関数を定義します。 ρ は、勾配が単位ベクトル(ほとんどどこでも)であるリプシッツ関数であることに注意してください。 Dを の円板とします。 、ここで はの2 次元ルベーグ測度であることを示します。円の1 次元ハウスドルフ測度は 、半径rの円の円周であると仮定します。 (これは円周の定義として考えることができます。) 次に、共面積の公式により、 ${\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$${\textstyle \rho (x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$${\displaystyle |\nabla \rho |=1}$${\displaystyle \rho <1}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}(D)=\pi }$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \rho =r}$${\displaystyle 2\pi r}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}^{2}(D)&=\iint _{D}|\nabla \rho |\,d{\mathcal {L}}^{2}\\&=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {H}}^{1}(\rho ^{-1}(r)\cap D)\,dr\\&=\int _{0}^{1}{\mathcal {H}}^{1}(\rho ^{-1}(r))\,dr\\&=\int _{0}^{1}2\pi r\,dr=\pi .\end{aligned}}}$

上で概説したタマネギの証明と同様に、円板の面積の公式を得るために微積分を別の方法で利用することができます。同心円をまっすぐな帯に展開することを検討してください。これにより、高さが r、底辺が 2 π r (タマネギの外側のスライス) である直角三角形が形成されます。

この三角形の面積を求めると円盤の面積が分かります

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Area}}&{}={\frac {1}{2}}\cdot {\text{base}}\cdot {\text{height}}\\[6pt]&{}={\frac {1}{2}}\cdot 2\pi r\cdot r\\[6pt]&{}=\pi r^{2}\end{aligned}}}$

この三角形の対角と隣接角は、それぞれ度で 9.0430611...、80.956939...、ラジアンで 0.1578311... OEIS : A233527、1.4129651 ... OEIS : A233528 です。

具体的には、円を三角形に分割し、それぞれの高さが円の半径に等しく、底辺が極めて小さいとします。これらの三角形の面積はそれぞれ です。これらの三角形の面積をすべて合計 (積分) すると、円の面積の公式が得られます。 ${\displaystyle 1/2\cdot r\cdot du}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\int _{0}^{2\pi r}{\frac {1}{2}}r\,du\\[6pt]&{}=\left[{\frac {1}{2}}ru\right]_{0}^{2\pi r}\\[6pt]&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}}$

これも、積分の順序を逆にし、上記の反復積分で変数の変更を使用すること で、定数関数 1 のディスク上の二重積分によって正当化できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\iint _{D}1\ d(x,y)\\&{}=\iint _{D}t\ dt\ d\theta \\&{}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}t\ dt\ d\theta \\&{}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}r^{2}\ d\theta \\\end{aligned}}}$

置換すると積分は次のように変換されます。 ${\displaystyle u=r\theta ,\ du=r\ d\theta }$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi r}{\frac {1}{2}}{\frac {r^{2}}{r}}du=\int _{0}^{2\pi r}{\frac {1}{2}}r\ du}$

これは上記の結果と同じです。

三角形の証明は、グリーンの定理をフラックス発散形式（つまり、発散定理の2次元バージョン）で応用することで再定式化することができ、三角法や定数πについて一切触れる必要がない。平面上のベクトル場 を考えてみよう。rの発散は2に等しく、したがって円板Dの面積は ${\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} }$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\iint _{D}\operatorname {div} \mathbf {r} \,dA.}$

グリーンの定理によれば、これはD を囲む円を横切るrの外向きのフラックスと同じである。

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\oint _{\partial D}\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} \,ds}$

ここでnは単位法線、dsは弧の長さの尺度です。原点を中心とする半径Rの円の場合、およびとなるので、上記の等式は ${\displaystyle |\mathbf {r} |=R}$${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {r} /R}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\oint _{\partial D}\mathbf {r} \cdot {\frac {\mathbf {r} }{R}}\,ds={\frac {R}{2}}\oint _{\partial D}\,ds.}$

dsを円全体にわたって積分すると、円周である弧の長さに等しいので、円で囲まれた面積Aは円周の倍数に等しいことがわかります。 ${\displaystyle \partial D}$${\displaystyle R/2}$

三角形を使用する別の証明では、円で囲まれた面積が無限の数の三角形（つまり、三角形はそれぞれ円の中心で角度d𝜃を持ちます）で構成され、それぞれの面積が⁠であると考えられます。1/2⁠ · r ² · d𝜃（三角形の面積の式から派生： ⁠1/2⁠ · a · b · 罪𝜃 = ⁠1/2⁠ · r · r · sin( d𝜃 ) = ⁠1/2⁠ · r ² · d𝜃）。小角近似によりsin( d𝜃 ) ≈ d𝜃 となることに注意してください。三角形の面積を合計すると、円の面積の式が求められます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} &{}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}r^{2}\,d\theta \\&{}=\left[{\frac {1}{2}}r^{2}\theta \right]_{0}^{2\pi }\\&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}}$$

半径rの半円の面積は積分によって計算できることに注意してください。 ${\textstyle \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx}$

三角関数の置換により、 を に置換するので、${\displaystyle x=r\sin \theta }$${\displaystyle dx=r\cos \theta \,d\theta .}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx&=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {r^{2}\left(1-\sin ^{2}\theta \right)}}\cdot r\cos \theta \,d\theta \\[5pt]&=2r^{2}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}\theta \,d\theta \\[5pt]&={\frac {\pi r^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$$

三角関数の恒等式から、と は、置換積分 を用いて区間 上で等しい積分を持つことが分かるので、最後のステップが続きます。しかし一方で、 であるため、2 つの積分の合計はその区間の長さ、つまり になります。したがって、 の積分はその区間の長さの半分、つまり に等しくなります。 ${\displaystyle \cos(\theta )=\sin(\pi /2-\theta )}$${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$${\displaystyle [0,\pi /2]}$${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$${\displaystyle \pi /4}$

したがって、半径rの円の面積は半円の面積の 2 倍であり、 に等しくなります。 ${\displaystyle 2\cdot {\frac {\pi r^{2}}{2}}=\pi r^{2}}$

この特定の証明は、三角法の置換に含まれる正弦関数と余弦関数が円に関連して定義されていると見なされる場合、論点回避のように見えるかもしれません。しかし、前述のように、正弦、余弦、π を三角法とはまったく独立した方法で定義することが可能であり、その場合、正弦と余弦の基本的な特性 (円との関係について何も仮定せずに証明することもできます) を前提として、変数変換の公式とフビニの定理によって証明が有効になります。

円は、最小の周長を持ち、最大の面積を囲む閉曲線です。これは等周不等式として知られており、ユークリッド平面上の修正可能なジョルダン曲線が周長Cを持ち、面積Aを囲む場合（ジョルダン曲線定理による）、

${\displaystyle 4\pi A\leq C^{2}.}$

さらに、この不等式において等式が成立するのは、曲線が円である場合のみであり、その場合にはおよび となります。 ${\displaystyle A=\pi r^{2}}$${\displaystyle C=2\pi r}$

アルキメデスが面積を数値的に概算するために使用した計算は面倒なため、96 辺の多角形で止めました。より高速な方法として、ウィレブロルド・スネル( Cyclometricus、1621 年) のアイデアを使用し、クリスティアーン・ホイヘンス( De Circuli Magnitudine Inventa、1654 年) によってさらに発展させ、Gerretsen & Verdenduin (1983、pp. 243–250) で説明されています。

円が与えられ、u _{n を}内接正n角形の周囲、U n を外接正 n 角形の周囲とします。_u nとU n_は円周の_下限と上限であり、n が増加するにつれてどんどん鋭くなります。 また、それらの平均 ( u _n + U _n )/2 は円周の特に良い近似値です。大きなnについてu _nとU _{n を}計算するために、アルキメデスは次の倍数公式を導きました。

${\displaystyle u_{2n}={\sqrt {U_{2n}u_{n}}}}$   （幾何平均）、そして

${\displaystyle U_{2n}={\frac {2U_{n}u_{n}}{U_{n}+u_{n}}}}$    （調和平均）。

アルキメデスは六角形から始めて、n を4 倍にして 96 角形を求め、これによって円周の近似値を得ることができました。

現代の記法では、彼の計算を再現し（さらに進めて）、次のようにすることができます。単位円の場合、内接六角形はu ₆  = 6、外接六角形はU ₆  = 4 √ 3です。7倍すると、

（こちら⁠u _n + u _n/2⁠ は単位円の円周に近似し、2 πなので、⁠u _n + u _n/4⁠ πに近似します。

表の最後の項目には、³⁵⁵ ⁄ _113が最良の有理数近似値の 1 つとして挙げられています。つまり、分母が 113 までの有理数の中でこれよりよい近似値は存在しません。355 ⁄ ₁₁₃^{という数は}πの優れた近似値でもあり、中国の数学者Zu Chongzhiが考案し、 Milüと名付けました。^[5]この近似値は、分母が 16,604 未満の他のどの有理数よりも優れています。^[6]

スネルはアルキメデスの限界よりも厳しい限界を提案し、ホイヘンスはそれを証明した。

${\displaystyle n{\frac {3\sin {\frac {\pi }{n}}}{2+\cos {\frac {\pi }{n}}}}<\pi <n\left(2\sin {\frac {\pi }{3n}}+\tan {\frac {\pi }{3n}}\right).}$

n = 48の場合、アルキメデスの方法 ( n = 768 ) よりも良い近似値 (約 3.14159292) が得られます。

正n角形の 1 辺の長さがs _{n で}、円に点 A と B で接するとします。円上の A の反対側の点を A′ とすると、 A′A は直径となり、 A′AB は直径に内接する三角形となります。タレスの定理により、これは B で直角となる直角三角形です。 A′B の長さをc _nとし、これをs _nの補数と呼びます。したがって、c _n ² + s _n ²  = (2 r ) ^{2 と}なります。 C は A から B への弧を二等分し、円上の C の反対側の点を C′ とします。したがって、 CA の長さはs _{2 n}、 C′A の長さはc _{2 n}であり、 C′CA 自体は直径 C′C 上の直角三角形です。 C は A から B への弧を二等分するので、C′C は A から B への弦を垂直に二等分します (P とします)。三角形 C′AP は直角三角形で、 C′ で角度を共有するため C′CA と相似です。したがって、対応する 3 つの辺はすべて同じ比率です。具体的には、C′A : C′C = C′P : C′A および AP : C′A = CA : C′C です。円の中心 O は A′A を二等分するので、A′AB と相似の三角形 OAP もあり、OP は A′B の半分の長さです。辺の長さで見ると、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2n}^{2}&{}=\left(r+{\frac {1}{2}}c_{n}\right)2r\\c_{2n}&{}={\frac {s_{n}}{s_{2n}}}.\end{aligned}}}$

最初の式では、C′PはC′O+OP、長さr  +  ⁠1/2⁠ c _n、C′C は直径 2 rです。単位円については、ルドルフ・ファン・クーレンの有名な倍加方程式が成り立ちます。

${\displaystyle c_{2n}={\sqrt {2+c_{n}}}.}$

ここで、辺 A″B″ が AB に平行な正n角形に外接すると、OAB と OA″B″ は相似三角形となり、A″B″ : AB = OC : OP となります。外接辺をS _nとすると、 S _n  :  s _n  = 1 :  ¹ ⁄ ₂ c _nとなります。(ここでも OP は A′B の長さの半分であることを利用しました。) したがって、次式が得られます。

${\displaystyle c_{n}=2{\frac {s_{n}}{S_{n}}}.}$

内接円周をu _n  = ns _n、外接円周をU _n  = nS _nとする。方程式を組み合わせると、

${\displaystyle c_{2n}={\frac {s_{n}}{s_{2n}}}=2{\frac {s_{2n}}{S_{2n}}},}$

となることによって

${\displaystyle u_{2n}^{2}=u_{n}U_{2n}.}$

これにより幾何平均方程式が得られます。

また、次のように推測することもできる。

${\displaystyle 2{\frac {s_{2n}}{S_{2n}}}{\frac {s_{n}}{s_{2n}}}=2+2{\frac {s_{n}}{S_{n}}},}$

または

${\displaystyle {\frac {2}{U_{2n}}}={\frac {1}{u_{n}}}+{\frac {1}{U_{n}}}.}$

これにより調和平均方程式が得られます。

より効率的な面積算出方法が利用できない場合は、「ダーツを投げる」という方法に頼ることができます。このモンテ カルロ法では、円盤が配置されている正方形の表面全体に均一に散らばったランダム サンプルを採取すると、円盤に当たるサンプルの割合が円盤の面積と正方形の面積の比率に近似するという事実を利用します。この方法は、円盤 (または任意の形状) の面積を計算する最後の手段と見なす必要があります。これは、有用な精度を得るには膨大な数のサンプルが必要になるためです。10 ^{− nの精度で推定するには、約 100 n}のランダム サンプルが必要です(Thijssen 2006、p. 273)。

円板を無限の数の断片に分割することで、それらの断片を長方形に再構成できることを見てきました。比較的最近発見された注目すべき事実 (Laczkovich 1990) は、円板を有限の数の大きな断片に分割し、それらの断片を等面積の正方形に再構成できることです。これはTarski の円の正方形化問題と呼ばれます。Laczkovich の証明の性質は、そのような分割 (実際には、そのような分割が多数) の存在を証明するが、特定の分割を示すものではないというものです。

円は非ユークリッド幾何学、特に双曲面と楕円面で定義できます。

たとえば、単位球は 2 次元の楕円平面のモデルです。単位球には、測地線の長さを測定することによって生じる固有の測定基準があります。測地円は測地座標系における緯線です。 ${\displaystyle S^{2}(1)}$

もっと正確に言うと、天頂に置く点を固定します。その天頂に関連付けられているのは測地極座標系、、で、zは点 です。これらの座標では、 zから座標を持つ他の任意の点までの測地距離は、 xにおけるの値です。球面円は、天頂点zから測地距離Rにある点の集合です。同様に、 への固定埋め込みにより、 z を中心とする半径 の球面円は、となる におけるxの集合です。 ${\displaystyle \mathbf {z} \in S^{2}(1)}$${\displaystyle (\varphi ,\theta )}$${\displaystyle 0\leq \varphi \leq \pi }$${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$${\displaystyle \varphi =0}$${\displaystyle \mathbf {x} \in S^{2}(1)}$${\displaystyle (\varphi ,\theta )}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle R\leq \pi }$${\displaystyle S^{2}(1)}$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {z} =\cos R}$

球面上の固有表面積の測定法を使って、球面円に囲まれた球面円板の面積を測定することもできます。半径Rの円板の面積は次のように表されます。

${\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}\sin(\varphi )\,d\varphi \,d\theta =2\pi (1-\cos R).}$

より一般的には、球の曲率半径が の場合、半径Rの円板の面積は次のように表される。 ${\displaystyle S^{2}(\rho )}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle A=2\pi \rho ^{2}(1-\cos(R/\rho )).}$

ロピタルの法則を応用すると、これが平坦な極限でユークリッド面積に近づくことに注目してください。 ${\displaystyle \pi R^{2}}$${\displaystyle \rho \to \infty }$

双曲面の場合も同様で、 （一定曲率）双曲面 上の固有半径Rの円板の面積は次のように表される。${\displaystyle -1}$

${\displaystyle A=2\pi (1-\cosh R)}$

ここでcoshは双曲余弦である。より一般的には、定曲率双曲面の場合、答えは ${\displaystyle -k}$

${\displaystyle A=2\pi k^{-2}(1-\cosh(kR)).}$

これらの恒等式は幾何学の比較不等式にとって重要である。例えば、平面空間における半径Rの円で囲まれた面積は、3 つの円がすべて同じ (固有の) 半径を持つ場合、常に球面円の面積よりも大きく、双曲円の面積よりも小さくなる。つまり、

${\displaystyle 2\pi (1-\cos R)<\pi R^{2}<2\pi (1-\cosh R)}$

すべての に対して成り立ちます。直感的に、これは球面がそれ自身に反り返る傾向があり、平面よりも面積の小さい円を生み出すのに対し、双曲面は空間に浸されると、追加の面積を生み出す縞模様を発達させるためです。より一般的には、固定半径Rの円の面積は曲率の厳密に減少する関数であるというのは真実です。 ${\displaystyle R>0}$

いずれの場合も、が曲率（定数、正または負）であれば、面積Aと周囲長Lの領域に対する等周不等式は ${\displaystyle k}$

${\displaystyle L^{2}\geq 4\pi A-kA^{2}}$

円に対して正確に平等が達成される。^[7]

円板を引き伸ばして楕円を形成できます。この引き伸ばしは平面の線形変換であるため、面積は変化しますが面積比は維持される歪み係数があります。この観察結果を使用して、単位円の面積から任意の楕円の面積を計算できます。

辺の長さが 2 の正方形に外接する単位円を考えてみましょう。変換により、水平方向と垂直方向の直径を楕円の長軸と短軸まで拡大または縮小することで、円は楕円になります。正方形は、楕円に外接する長方形になります。円と正方形の面積の比はπ /4 です。つまり、楕円と長方形の比もπ /4 です。楕円の長軸と短軸の長さをaとbとします。長方形の面積はabなので、楕円の面積は π ab /4 です。

より高次元での類似の測定も考えられます。たとえば、球体の内部の体積を求めるとします。表面積の式がわかれば、円盤の場合と同じ「タマネギ」アプローチを使用できます。

• 面積相当半径
• 三角形の面積

• アルキメデス(1897)、「円の測定」、ヒース、TL (編)、アルキメデスの著作、ケンブリッジ大学出版局
  (元々はJLハイバーグのギリシャ語版に基づいて、1897年にケンブリッジ大学出版局から出版されました。)
• ベックマン、ペトル（1976）『円周率の歴史』、セント・マーティンズ・グリフィン、ISBN 978-0-312-38185-1
• Gerretsen, J.; Verdenduin, P. (1983)、「第 8 章: 多角形と多面体」、H. Behnke、F. Bachmann、K. Fladt、H. Kunle (編)、『数学の基礎、第 2 巻: 幾何学』、SH Gould 訳、MIT Press、pp. 243–250、ISBN 978-0-262-52094-2
  (原文はGrundzüge der Mathematik、Vandenhoeck & Ruprecht、ゲッティンゲン、1971 年。)
• Laczkovich、Miklós (1990)、「等分解性と不一致: タルスキーの円二乗問題の解決策」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、1990 (404): 77–117、doi :10.1515/crll.1990.404.77、MR  1037431、S2CID  117762563
• ラング、セルジュ（1985）、「円の長さ」、数学！：高校生との出会い、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-96129-3
• スミス、デイビッド・ユージン、三上義雄（1914）、日本数学史、シカゴ：オープンコート出版、pp. 130-132、ISBN 978-0-87548-170-8
• Thijssen, JM (2006)、計算物理学、ケンブリッジ大学出版局、p. 273、ISBN 978-0-521-57588-1

• タルスキ問題に関する科学ニュース 2008-04-13 にWayback Machineでアーカイブ