L関数

この定義は、彼がL関数を割り当てる算術対象や、その割り当ての正確なメカニズムを明示していないという意味で、抽象的かつ不完全である。しかしながら、L関数に一般的に期待される性質は含まれている。

この定義は拡張されており、まず以下の6つの予備的な定義から始まります。

ノルウェー系アメリカ人の数学者アトレ・セルバーグが1989年に提案した定義は、他の数学的対象とは独立している。抽象的ではなく、曖昧さのない定義において、彼はすべてのディリクレ級数の集合のサブセットを指定し、その要素は特定の性質、すなわちディリクレ級数の絶対収束、解析接続、関数方程式、ラマヌジャン予想^{[注1 ]} 、およびオイラー積を満たさなければならない。このサブセットは今日、セルバーグクラスと呼ばれている。^{[ 3 ]}

セルバーグクラスの定義の根底にある仮説と動機付けとなる背景は、いわゆる大リーマン予想である。セルバーグクラスにこの予想を適用すると、セルバーグクラス内のディリクレ級数の解析接続の零点の実部は1/2より大きくならないということになる。セルバーグクラスの（おそらく）最も単純な要素（リーマン・ディリクレ級数とそのリーマンゼータ関数への解析接続）の場合、この予想はリーマン予想に対応するが、今日に至るまで証明も反証もされていない。

こうした背景を踏まえて、L関数の定義における残された欠点を考察する必要がある。L関数がリーマン大予想を検証可能な形で満たすように「L関数」という用語を定義したいところである。しかし一方で、最も単純なケース（リーマンゼータ関数に対するリーマン予想）さえ証明できていない。これはリーマンゼータ関数に対する理解不足の表れであり、L関数の一般化された概念を明確に定義することを困難にしている。

L関数の最も単純な例であり、同時にレオンハルト・オイラーの研究に基づくL関数の定義の根本的な基礎となるのは、リーマンゼータ関数である。${\displaystyle \textstyle \zeta }$[ ^{4 ]​}

考えられる「算術対象」の1つ${\displaystyle \textstyle f}$イワニエツとコワルスキーによる定義アプローチの意味において、このL関数を割り当てることができるのは、${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$有理数の。そのディリクレ級数

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n^{s}}}\,,}$

それは

${\displaystyle \lambda (\mathbb {Q} ,n)=1}$

すべての人々のために${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$、絶対収束する${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$絶対収束するオイラー積と合わせて、以下が成り立つ。${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \zeta (s)=L(\mathbb {Q} ,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-p^{-s})^{-1}.}$

すべて${\displaystyle \textstyle \lambda (\mathbb {Q} ,n)}$は実数、すなわち 1 に等しい。${\displaystyle \textstyle \zeta (s)}$は自己双対である。${\displaystyle \textstyle f=\mathbb {Q} }$したがって、${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$、 それで${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}=\mathbb {Q} }$。

リーマンゼータ関数のオイラー積の次数は

${\displaystyle d=1}$。

ローカルパラメータについては${\displaystyle \textstyle p}$次のようなことが成り立つ。

${\displaystyle \alpha (\mathbb {Q} ,p)=1}$

すべての人々のために${\displaystyle \textstyle p\in \mathbb {P} }$通常、リーマンゼータ関数には以下のガンマ因子が使用されます。

${\displaystyle \gamma (\mathbb {Q} ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right).}$

ローカルパラメータ${\displaystyle \textstyle \kappa }$無限遠では、したがって0である。${\displaystyle \textstyle \zeta }$は

${\displaystyle \textstyle q(\mathbb {Q} )=1}$、

したがって、完全リーマンゼータ関数は次の形式をとる。

${\displaystyle \Lambda (\mathbb {Q} ,s):=\gamma (\mathbb {Q} ,s)L(\mathbb {Q} ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

この定義は、${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$リーマンゼータ関数は、この半平面内でのみディリクレ級数またはオイラー積によって定義できるためです。しかし、完全なリーマンゼータ関数は、複素平面全体上の有理型関数への解析接続を持ちます。この拡張は、2つの単純極を除いて正則です。${\displaystyle \textstyle s=0}$そして${\displaystyle \textstyle s=1}$それぞれ−1と1の留数を持つ。 ^{[ 6 ]} また、連続完全リーマンゼータ関数を次のように表す。${\displaystyle \textstyle \Lambda }$すると、それは根数を満たす。

${\displaystyle \epsilon (\mathbb {Q} )=1}$

関数方程式^{[ 7 ]}

${\displaystyle \Lambda (\mathbb {Q} ,s)=\Lambda (\mathbb {Q} ,1-s).}$

したがって、当初はのみ定義されたリーマンゼータ関数は${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$ディリクレ級数またはオイラー積を介して、現在は有理型関数への解析接続を持つ。${\displaystyle \mathbb {C} }$これは、${\displaystyle \textstyle s=1}$なぜなら、そこには残留数 1 を持つ単純な極があるからです。表記法を維持すると、${\displaystyle \textstyle \zeta }$連続リーマンゼータ関数についても、関数方程式^{[ 8 ]を満たす。}

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s).}$

（解析的に拡張された）リーマンゼータ関数は、解析的整数論における最も重要な問題の一つ、すなわち、いわゆる非自明な零点の正確な位置の問題を提起する。これらは「臨界帯」に存在する。${\displaystyle \textstyle 0<\Re (s)<1}$1859年のリーマン予想（今日に至るまで証明も反証もされていない）は、リーマンゼータ関数の非自明な零点はすべて実部が であると仮定している。${\displaystyle 1/2}$この仮説が証明されれば、素数の分布を特に正確に推定することが可能になるだろう。

リーマンゼータ関数に最も近い関係にあるのはディリクレL関数であり、リーマンゼータ関数は特殊な場合として含まれています。リーマンゼータ関数に関連するディリクレ級数では、${\displaystyle \lambda }$係数は 1 に等しく、ディリクレ L 関数では、これらはディリクレ指標を使用して定義されます。したがって、絶対値が 1 または 0 の複素数値をとります。${\displaystyle \textstyle m\in \mathbb {N} }$を整数とし、${\displaystyle \chi }$ディリクレ指標を法とする${\displaystyle \textstyle m}$:

${\displaystyle \chi$ :(\mathbb {Z} /m)^{\times }\longrightarrow S^{1}:=\{z\in \mathbb {C}  :|z|=1\}}

すなわち、剰余類環における乗法に関して可逆な要素群からの群準同型が与えられる。${\displaystyle \textstyle \mathbb {Z} /m}$サークルグループへ${\displaystyle \textstyle S^{1}}$絶対値が 1 の複素数。このようなディリクレ特性${\displaystyle \textstyle \chi }$は原始的と呼ばれ、${\displaystyle \textstyle m}$は、${\displaystyle \textstyle \chi }$既に合成によって与えられていない場合

${\displaystyle (\mathbb {Z} /m)^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Z} /m')^{\times }\;{\stackrel {\chi '}{\longrightarrow }}\;S^{1}}$

ディリクレ特性から導かれる${\displaystyle \textstyle \chi '}$モジュロ${\displaystyle \textstyle m'}$適切な約数を持つ${\displaystyle \textstyle m'}$の${\displaystyle \textstyle m}$.そのようなディリクレ指標を使用する${\displaystyle \textstyle \chi }$、次のマッピングを定義する。これは、とも表記される。${\displaystyle \textstyle \chi }$ディリクレ指標モジュロと呼ばれる${\displaystyle \textstyle m}$: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \chi$ :{\text{ }}\mathbb {Z} \to \mathbb {C} ,{\text{ }}\chi (n)={\begin{cases}\chi (n\operatorname {mod} m)&{\text{if}}\quad \operatorname {gcd} (n,m)=1\\0&{\text{if}}\quad \operatorname {gcd} (n,m)>1.\end{cases}}}

些細なディリクレ特性${\displaystyle \textstyle \chi ^{0}}$モジュロ${\displaystyle m}$値1を取る${\displaystyle \textstyle \operatorname {gcd} (n,m)=1}$、それ以外の場合は 0 です。 1 を法とする自明なディリクレ指標は主指標と呼ばれます。これは以下を満たします。${\displaystyle \chi (n)=1}$すべての人々のために${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$。

さて、もし${\displaystyle \textstyle \chi$ :\mathbb {Z} \to \mathbb {C} } は、原始ディリクレ指標であり、${\displaystyle \textstyle m}$すると、この算術オブジェクトにL関数が割り当てられる。${\displaystyle \chi }$以下のように：

${\displaystyle \lambda (\chi ,n):=\chi (n)}$

ディリクレ級数（ディリクレL級数とも呼ばれる）

${\displaystyle L(\chi ,s):=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (\chi ,n)}{n^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$

のために${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$絶対値です。^{[ 11 ]} ローカルパラメータは${\displaystyle \textstyle p}$

${\displaystyle \alpha (\chi ,p):=\chi (p)}$

これは対応するオイラー積にも当てはまり、次の恒等式が得られます^{[ 12 ]}

${\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-\chi (p)p^{-s})^{-1}}$

のために${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$リーマンゼータ関数と同様に、

${\displaystyle d=1}$

はオイラー積の次数です。${\displaystyle \textstyle \kappa =0}$いつ${\displaystyle \textstyle \chi (-1)=1}$（この場合、${\displaystyle \textstyle \chi }$「偶数」と呼ばれ、${\displaystyle \textstyle \kappa =1}$もし${\displaystyle \textstyle \chi (-1)=-1}$（この場合、${\displaystyle \textstyle \chi }$「奇数」と呼ばれる場合、

${\displaystyle \gamma (\chi ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s+\kappa }{2}}\right)}$

ガンマ因子に関連する${\displaystyle \textstyle \chi }$。 それ${\displaystyle \textstyle \kappa \in \{0,1\}}$したがって、は無限素点における局所パラメータである。${\displaystyle \textstyle m}$原始ディリクレ特性の${\displaystyle \textstyle \chi }$また、ディリクレL関数のリーダーでもある。

${\displaystyle q(\chi )=m}$。

完全なディリクレL関数は次の形式になります^{[ 13 ]}

${\displaystyle \Lambda (\chi ,s):=q(\chi )^{\frac {s}{2}}\gamma (\chi ,s)L(\chi ,s)=\left({\frac {m}{\pi }}\right)^{\frac {s}{2}}\Gamma \left({\frac {s+\kappa }{2}}\right)\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},}$

定義は、${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$なぜなら、使用されるディリクレ級数はそこでのみ収束するからである。しかし、このような完全なディリクレL関数は解析的に拡張することができ、${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} }$。これは、次の場合に積分関数となる。${\displaystyle \textstyle \chi }$は非自明なディリクレ指標である。^{[ 14 ]} それ以外の場合、拡張関数は に単純極を持つ。${\displaystyle \textstyle s=1}$残余1を持つ。^{[ 15 ]}の双対オブジェクト${\displaystyle \textstyle \chi }$は${\displaystyle {\overline {\chi }}}$すなわち、ディリクレ指標は${\displaystyle \textstyle \chi }$関数値の複素共役により${\displaystyle \textstyle \chi }$つまり、

${\displaystyle \textstyle {\overline {\chi }}(n)={\overline {\chi (n)}}}$

すべての人々のために${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$ルート数${\displaystyle \textstyle \epsilon (\chi )}$ガウス和を用いて決定することができる^{[ 16 ]}

${\displaystyle \tau (\chi )=\sum _{x\operatorname {mod} q(\chi )}\chi (x)\exp(2\pi ix/q(\chi ))}$

ここで、総和は生成元を法とするすべての剰余類にわたって行われる。${\displaystyle \textstyle q(\chi )=m}$そして${\displaystyle \textstyle \pi }$循環番号を表します。${\displaystyle \textstyle i}$は虚数単位を表し、${\displaystyle \exp }$は指数関数を表します。

${\displaystyle \epsilon (\chi )={\begin{cases}{\frac {\tau (\chi )}{\sqrt {q(\chi )}}}&{\text{if}}\quad \chi (-1)=1\\{\frac {\tau (\chi )}{i{\sqrt {q(\chi )}}}}&{\text{if}}\quad \chi (-1)=-1\end{cases}}}$

すると、拡張された完全なディリクレL関数は関数方程式^{[ 17 ]を満たす。}

${\displaystyle \Lambda (\chi ,s)=\epsilon (\chi )\Lambda ({\overline {\chi }},1-s).}$

根号定理の要求通り、${\displaystyle \textstyle |\epsilon (\chi )|=1}$、 以来${\displaystyle \textstyle |\tau (\chi )|={\sqrt {q(\chi )}}}$[ ^{18 ]} ディリクレL関数にはリーマンゼータ関数が含まれる。なぜなら、それは自明なディリクレ指標（法1）、すなわち主指標から生じるからである^{。[ 19 ]}

1837年、ドイツの数学者ペーター・グスタフ・ディリクレは、彼にちなんで名付けられたディリクレL関数を使用して、すべての等差数列（等差数列とも呼ばれる）において、ディリクレの素数定理を証明しました。

${\displaystyle a,a\pm n,a\pm 2n,a\pm 3n,\ldots ,{\text{ with }}\operatorname {gcd} (a,n)=1,}$

どこ${\displaystyle a,n\in \mathbb {N} }$

すなわち、すべての残基クラスにおいて${\displaystyle \textstyle a\operatorname {mod} n}$素数は無限に存在する。^{[ 20 ] [ 21 ]} ディリクレの素数定理の証明における決定的な論拠は、${\displaystyle \textstyle \Lambda (\chi ,1)\neq 0}$すべての非自明なディリクレ指標に対して成り立つ${\displaystyle \textstyle \chi }$[ ^{22 ]​}

リーマンゼータ関数は体上で定義される。${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$有理数の最も単純な代数体。デデキントL関数は、この参照を任意の代数体、すなわち有限体拡大に一般化する。${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$、 のような${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$。 させて${\displaystyle K}$を代数的数体とし、${\displaystyle n_{K}=[K:\mathbb {Q} ]\in \mathbb {N} }$その拡張度を${\displaystyle \mathbb {Q} }$。 させて${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$は積分領域であり、${\displaystyle d_{K}\in \mathbb {Z} }$その判別式。さらに、${\displaystyle n_{1}\in \mathbb {N} _{0}}$実埋め込みの数とし、${\displaystyle n_{2}\in \mathbb {N} _{0}}$複素埋め込みのペアの数${\displaystyle K}$。 したがって、${\displaystyle n_{K}=n_{1}+2n_{2}}$。

に関するデデキントL関数（デデキントゼータ関数とも呼ばれる）${\displaystyle K}$定義される${\displaystyle \Re (s)>1}$[ ^{23 ]​}

${\displaystyle \zeta _{K}(s):=L(K,s):=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}.}$

まとめると、${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$すべての整数イデアルを通り抜ける${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ゼロイデアルとは異なる${\displaystyle \{0\}}$。${\displaystyle {\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})\in \mathbb {N} }$絶対ノルムを表す${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ディリクレ級数の係数

${\displaystyle \sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (K,n)}{n^{s}}}}$

したがって^{[ 24 ]}

${\displaystyle \lambda (K,n)=\#\{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}\mid {\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})=n\}\in \mathbb {N} _{0}.}$

すべての${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$それらは、整数イデアルの数を指定します。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$絶対的な基準${\displaystyle n}$特に、すべての係数${\displaystyle \lambda (K,n)}$実在する、したがって${\displaystyle L(K,s)}$は自己双対である。ディリクレ級数は、${\displaystyle \Re (s)>1}$対応するオイラー積も同様です。

${\displaystyle \prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

ここで、積はすべての素イデアルに及ぶ。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$の${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ゼロイデアルとは異なる。${\displaystyle \Re (s)>1}$、次の恒等式が成り立つ^{[ 25 ]}

${\displaystyle L(K,s)=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (K,n)}{n^{s}}}=\prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

この形式のオイラー積は、個々のオイラー因子をまだ示していません。 ${\displaystyle (1-\alpha _{1}(K,p)p^{-s})^{-1}\cdot \ldots \cdot (1-\alpha _{d}(K,p)p^{-s})^{-1}}$いずれにせよ、オイラー積の次数は体拡大の次数に等しい。${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$: ^{[ 26 ]}

${\displaystyle d=[K:\mathbb {Q} ]=n_{K}=n_{1}+2n_{2}.}$

ローカルパラメータ${\displaystyle \alpha _{j}(K,p)}$イデアルの 分解挙動に依存する${\displaystyle (p):=p{\mathcal {O}}_{K}}$

あらゆる理想${\displaystyle (p)}$素イデアル分解は因子の次数を除いて一意である

${\displaystyle (p)=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{e_{\mathfrak {p}}}}$

最高の理想において${\displaystyle 0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}$ここで、以下のことが成り立つ。${\displaystyle e_{\mathfrak {p}}\in \mathbb {N} _{0}}$そして${\displaystyle e_{\mathfrak {p}}>0}$有限個の素イデアルのみ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$最大で${\displaystyle n_{K}}$基本理念${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$、${\displaystyle e_{\mathfrak {p}}>0}$保持される可能性がある。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$分ける${\displaystyle (p)}$そして私たちは書く${\displaystyle {\mathfrak {p}}|(p)}$指数${\displaystyle e_{\mathfrak {p}}}$素イデアル分解において${\displaystyle (p)}$は分岐指数と呼ばれます${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$以上${\displaystyle p}$。 もし${\displaystyle {\mathfrak {p}}|(p)}$、 それから ${\displaystyle {\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})=p^{f_{\mathfrak {p}}}}$ 一部の人にとって${\displaystyle f_{\mathfrak {p}}\in \mathbb {N} }$これは、${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$以上${\displaystyle p}$。${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$理想的な分岐指数と慣性指数${\displaystyle (p)}$の程度に関して次の関係を満たす${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$:

${\displaystyle \sum _{{\mathfrak {p}}|(p)}e_{\mathfrak {p}}f_{\mathfrak {p}}=n_{K}.}$

慣性指数の知識を各${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ローカルパラメータ${\displaystyle \alpha _{j}(K,p)}$要因によって決定できるようになった${\displaystyle (1-p^{-sf_{\mathfrak {p}}})^{-1}}$同一性において^{[ 27 ]}

${\displaystyle \prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\;\prod _{{\mathfrak {p}}|(p)}(1-p^{-sf_{\mathfrak {p}}})^{-1},}$

多項式を因数分解することによって${\displaystyle X^{f_{\mathfrak {p}}}-1}$多項式環において${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$。

ガンマ係数に関して${\displaystyle L(K,s)}$[ ^{28 ]​}

${\displaystyle \gamma (K,s)=\pi ^{-{\frac {s\cdot n_{K}}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}.}$

判別式の値は${\displaystyle K}$指揮者は${\displaystyle L(K,s)}$: ^{[ 29 ]}

${\displaystyle q(K)=|d_{K}|.}$

したがって、完全なL関数は${\displaystyle K}$のために${\displaystyle \Re (s)>1}$は

${\displaystyle \Lambda (K,s):=q(K)^{\frac {s}{2}}\,\gamma (K,s)\,L(K,s)=\left({\frac {|d_{K}|}{\pi ^{n_{K}}}}\right)^{\frac {s}{2}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}\,\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}.}$

この関数は複素平面への解析接続を持ち、単純な極は にあります。${\displaystyle s=0}$そして${\displaystyle s=1}$、およびその残渣${\displaystyle -{\frac {2^{r}hR}{w}}}$そして${\displaystyle {\frac {2^{r}hR}{w}}}$それぞれ。ここで、${\displaystyle r=n_{1}+n_{2}}$は無限桁の数です。${\displaystyle h\in \mathbb {N} }$クラス番号です。${\displaystyle R\in \mathbb {R} }$は規制当局です${\displaystyle K}$、 そして${\displaystyle w\in \mathbb {N} }$は単位根の数です${\displaystyle K}$[ ^{30 ]​}

デデキントL関数は常に1の根を持つ： ^{[ 31 ]}

${\displaystyle \epsilon (K)=1.}$

したがって、解析的に拡張された完全なL関数は${\displaystyle K}$関数方程式^{[ 32 ]を満たす}

${\displaystyle \Lambda (K,s)=\Lambda (K,1-s).}$

解析的に拡張された関数${\displaystyle \Lambda (K,s)}$また、分析的拡張も可能になった。${\displaystyle L(K,s)}$すなわち定義^{[ 33 ]によって}

${\displaystyle L(K,s):={\frac {\Lambda (K,s)}{|d_{k}|^{\frac {s}{2}}\,\gamma (K,s)}}=\left({\frac {\pi ^{n_{K}}}{|d_{K}|}}\right)^{\frac {s}{2}}\cdot {\frac {\Lambda (K,s)}{\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}}}.}$

これにより${\displaystyle L(K,s)}$上の有理型関数${\displaystyle \mathbb {C} }$シンプルなポールで${\displaystyle s=1}$その魅力的な性質の一つは、いわゆる解析的類数公式であり、それによれば、の剰余は${\displaystyle L(K,s)}$で${\displaystyle s=1}$次の形式をとります: ^{[ 34 ]}

${\displaystyle \operatorname {Res} _{s=1}\,L(K,s)={\frac {2^{n_{1}}(2\pi )^{n_{2}}}{w{\sqrt {|d_{K}|}}}}\,hR.}$