ファノプレーン

有限幾何学において、ファノ平面（ジーノ・ファノにちなんで名付けられた）は、点と線の数が可能な限り少ない有限射影平面である。つまり、7 点と 7 本の線で、各線上に 3 点があり、各点を通る線が 3 本ある。これらの点と線は、ユークリッド幾何学のこの入射パターンでは存在できないが、2 つの要素を持つ有限体を使用して座標を与えることができる。射影空間族の一員としてのこの平面の標準的な表記は、 PG(2, 2)である。ここで、PG は「射影幾何学」を表し、最初のパラメータは幾何学的次元（次元 2 の平面である）、2 番目のパラメータは順序（線あたりの点の数から 1 を引いた数）である。

ファノ平面は有限入射構造の一例であるため、その特性の多くは、組合せ論的手法や入射幾何学の研究で使用されるその他のツールを使用して確立できます。また、射影空間であるため、代数的手法もその研究に効果的なツールとなります。

別の用法では、ファノ平面はファノの公理を決して満たさない射影平面である。言い換えれば、完全な四角形の対角点は常に同一線上にある。^[1] 7つの点と線からなる「ファノ平面」は「ファノ平面」である。

ファノ平面は、2 つの要素を持つ有限体上の射影平面として線型代数によって構築できます。同様に、他の任意の有限体上の射影平面を構築することができ、ファノ平面が最小になります。

同次座標による射影空間の標準的な構築を使用すると、ファノ平面の 7 つの点に、001、010、011、100、101、110、および 111 の 7 つの非ゼロの順序付き 3 進数でラベルを付けることができます。これは、2 つの点pとqごとに、直線pq上の 3 番目の点に、 pとqのラベルを 2 を法として桁ごとに追加して形成されたラベルが付くように行うことができます(たとえば、010 と 111 は 101 になります)。言い換えると、ファノ平面の点は、順序 2 の有限体上の次元 3 の 有限ベクトル空間の非ゼロ点に対応します。

この構成のため、ファノ平面は、非退化デザルグ構成（10 点と 10 直線が必要） を含むには小さすぎるにもかかわらず、デザルグ平面であると見なされます。

ファノ平面の線には、やはり 0 でない 3 進数の 2 進数を使用して同次座標を与えることもできます。この座標系では、点の座標と線の座標の両方に 0 でないビットがある位置が偶数個ある場合、その点は線に接します。たとえば、点 101 は線 111 に属します。これは、2 つの共通位置に 0 でないビットがあるためです。基礎となる線形代数では、点と線を表すベクトルの 内積が0 である場合、点は線に属します。

線は3つのタイプに分類できます。

• 3 行の点の 2 進数 3 桁では、0 の位置が一定です。行 100 (点 001、010、011 を含む) では、最初の位置に 0 があり、行 010 と 001 も同様に形成されます。
• 3 行では、各ポイントの 2 進数 3 組の位置のうち 2 つが同じ値を持ちます。つまり、行 110 (ポイント 001、110、および 111 を含む) では、最初の位置と 2 番目の位置は常に互いに等しく、行 101 と 011 は同じように形成されます。
• 残りの行 111 (ポイント 011、101、および 110 を含む) では、各バイナリ トリプルに 2 つの非ゼロ ビットが正確に含まれます。

あるいは、平面の 7 つの点は、群 (Z ₂ ) ³ = Z ₂ × Z ₂ × Z ₂の 7 つの非単位元に対応します。平面の直線は、Z ₂ × Z ₂に同型な位数 4 のサブグループに対応します。群 (Z ₂ ) ^3の自己同型群GL(3, 2)はファノ平面の自己同型群であり、位数は 168 です。

あらゆる接続構造と同様に、ファノ平面のレヴィグラフは二部グラフであり、一方の部分の頂点は点を表し、もう一方の部分の頂点は線を表し、対応する点と線が接続している場合は2つの頂点が結合されます。この特定のグラフは連結された立方グラフ（次数3の正則）で、内周は6で、各部分には7つの頂点が含まれます。これは、唯一の6ケージであるヒーウッドグラフです。^[2]

ファノ平面の共線化、自己同型、または対称性は、共線性を保存する 7 点の順列です。つまり、共線上の点 (同じ直線上) を共線上の点に移します。 射影幾何学の基本定理により、完全な共線化群(または自己同型群、または対称群) は射影線型群 PGL(3, 2)です。^[a] Hirschfeld 1979、p. 131 ^[3]

これは、位数 168 = 2 ^{3 ·3·7 の}よく知られた群であり、位数 60 のA ₅の次の非可換単純群です(大きさの順に並べた場合)。

平面上の7つの点に作用する順列群 として、共線群は二重推移的であり、任意の順序付けられた点のペアは、少なくとも1つの共線によって他の任意の順序付けられた点のペアにマッピングできることを意味します。[ 4 ^]（下記参照）。

共線写像は、Heawood グラフの色保存自己同型として見ることもできます(図を参照)。

F _8はF ₂の3 次体拡大なので、ファノ平面の点はF ₈ ∖ {0}と同一視できます。対称群はPGL(3, 2) = Aut( P ² F ₂ )と書きます。同様に、PSL(2, 7) = Aut( P ¹ F ₇ )です。基礎となるオブジェクトP ² F ₂とP ¹ F ₇の間には、猫のゆりかごマップと呼ばれる関係があります。ファノ平面 ROYGBIV の 7 本の線に色を付け、周囲 3 次元空間の 2 次元射影空間に指を置いて、子供のゲーム「猫のゆりかご」のように指を伸ばします。7 つの頂点に 7 本の色の三角形 (射影線) がある完全なグラフが得られます。F ₈の欠けている原点は、内部の七角形の中心になります。この点に ∞ というラベルを付けて、原点に向かって引き戻します。F ₇ ∪ {∞}からF ₈への一対一関係を記述することができます。x ^∞ = 0に設定し、傾きk ↦ x ^∞ + x ^k ∈ F ₈ ≅ F ₂ [ x ] / ( x ³ + x + 1)を送ります。ここで、x ^{k は}K ₇の頂点に辺の色付けラベルを付けます。F^×
₈は位数 7 の巡回群である。P ¹ F ₇の対称性はメビウス変換であり、基本的な変換は反射 (位数 2、k ↦ −1/ k )、並進 (位数 7、k ↦ k + 1 )、および倍増 ( 2 ³ = 1なので位数 3 、k ↦ 2 k ) である。 ファノ平面上の対応する対称性は、それぞれ頂点の交換、グラフの回転、および三角形の回転である。

点集合と直線集合の間の入射を保存する全単射は双対性と呼ばれ、2次の双対性は極性と呼ばれる。^[5]

双対性は、Heawood グラフの文脈では、色が反転する自己同型として見ることができます。極性の例は、右側に示した Heawood グラフ表現を二等分する垂直線を通した反射によって与えられます。^[6]この極性の存在は、ファノ平面が自己双対であることを示しています。これは、前のセクションで詳述したように、同次座標による接続関係の定義における点と線の対称性の直接的な結果でもあります。

7 点の順列群には6 つの共役類があります。

これら 4 つのサイクル構造はそれぞれ単一の共役クラスを定義します。

• 恒等順列
• 2つの2サイクルを含む21の順列
• 4サイクルと2サイクルを含む42の順列
• 2つの3サイクルを含む56通りの順列

完全な 7 サイクルを持つ 48 個の順列は、24 個の要素を持つ 2 つの異なる共役類を形成します。

• A はBに、B はCに、CはDにマップされます。すると、D はAおよびBと同じ行にあります。
• A はBに、B はCに、CはDにマップされます。すると、D はAおよびCと同じ行にあります。

(完全なリストについては、こちらをご覧ください。)

ファノ平面の色付き非同値な彩色の数は、サイクル構造の数をポリアの列挙定理に代入することで計算できます。この彩色の数は （OEISのシーケンスA241929）です。 ${\displaystyle n}$${\textstyle {{n^{7}+21n^{5}+98n^{3}+48n} \over 168}}$

任意の射影平面において、どの 3 点も同一直線上にない 4 点の集合と、これらの点のペアを結ぶ 6 本の線分は、完全四角形と呼ばれる構成です。これらの線分は辺と呼ばれ、4 点のいずれかで交わらない 2 辺のペアは対辺と呼ばれます。対辺が交わる点は対角点と呼ばれ、3 つあります。^[7]

この構成が射影平面上にあり、3 つの対角点が同一線上にある場合、拡張された構成の 7 つの点と 7 つの直線は、ファノ平面と同型である射影平面の部分平面を形成し、ファノ部分平面と呼ばれます。

アンドリュー・M・グリーソンによる有名な結果では、有限射影平面内の完全四角形がすべてファノ部分平面に延長されている場合（つまり、対角点が同一線上にある場合）、その平面はデザルグ平面であると述べています。^[8]グリーソンは、この条件を満たす射影平面をファノ平面と呼びましたが、これが現代の用語との混乱を招きました。混乱をさらに複雑にしているのは、ファノの公理では、完全四角形の対角点が同一線上にあることは決してないと述べていますが、これはユークリッド射影平面と実射影平面で成立する条件です。したがって、グリーソンがファノ平面と呼んだものは、ファノの公理を満たしていません。^[9]

ファノ平面には、異なるタイプの点と線の構成が次の数だけ存在します。構成の各タイプについて、構成のコピーの数と、構成を変更しない平面の対称性の数を掛け合わせた値は、各コピーを他のコピーにマッピングできる場合の共線群全体の大きさである 168 に等しくなります (軌道安定定理を参照)。ファノ平面は自己双対であるため、これらの構成は双対のペアで表され、構成を固定する共線数の数は、その双対構成を固定する共線数の数に等しいことが示されます。

• 任意の点を固定する 24 個の対称性を持つ 7 つの点があり、双対的に、任意の直線を固定する 24 個の対称性を持つ 7 つの直線があります。対称性の数は、共線群の 2 推移性から得られ、これは、群が点に対して推移的に作用することを意味します。
• 42 個の順序付き点のペアがあり、それぞれは対称性によって他の任意の順序付きペアにマッピングできます。任意の順序付きペアには、それを固定する 4 つの対称性があります。同様に、21 個の順序なし点のペアがあり、それぞれは対称性によって他の任意の順序なしペアにマッピングできます。任意の順序なしペアには、それを固定する 8 つの対称性があります。
• 直線とその直線上の点から構成される旗は21 個あります。各旗は、同じ直線上にある他の 2 つの点の順序なしのペアに対応します。各旗は、8 つの異なる対称性によって固定されています。
• 4 つの点 (順序なし) から成り、そのうち 3 つが同一直線上にない四角形を選択する方法は 7 つあります。これらの 4 つの点は、四角形の対角線である直線の補線を形成し、共線化によって四角形が固定されるのは、対角線が固定される場合のみです。したがって、このような四角形を固定する対称性は 24 個あります。双対構成は、4 つの直線のうち 3 つが 1 点で交わらない直線とその 6 つの交点から構成される四辺形であり、ファノ平面の 1 点の補線です。
• = 35 個の点の 3 つ組があり、そのうち 7 つは共線上の 3 つ組で、共線上ではない 28 個の 3 つ組または三角形が残ります。三角形の 3 つの点と、これらの点のペアを結ぶ 3 本の線で構成される構成は、Heawood グラフの 6 閉路によって表されます。6 閉路の各頂点を固定する、Heawood グラフの色を保存する自己同型は、恒等自己同型でなければなりません。^[2]これは、恒等共線化によってのみ固定されるラベル付き三角形が 168 個あり、ラベルなし三角形を安定化する共線化は、点の各順列に対して 1 つずつ、6 個しかないことを意味します。これらの 28 個の三角形は、4 次方程式の 28 個の従接線に対応すると見なすことができます。^[10]三角形を指定する方法は 84 通りあり、その三角形上の 1 つの特定の点と、この構成を固定する 2 つの対称性を組み合わせて指定します。三角形構成の双対も三角形です。${\displaystyle {\tbinom {7}{3}}}$
• 互いに交差しない点と直線 (反旗)を選択する方法は 28 通りあり、反旗を固定したままファノ平面を並べ替える方法は 6 通りあります。交差しない点と直線のペア( p、l )ごとに、 pと等しくなくlに属さない3 つの点が三角形を形成し、すべての三角形について、残りの 4 つの点を反旗にグループ化する一意の方法が存在します。
• 連続する 3 つの頂点が 1 本の線上にない六角形を指定する方法は 28 通りあり、そのような六角形を固定する対称性は 6 通りあります。
• 連続する 3 つの頂点が 1 本の線上にない五角形を指定する方法は 84 通りあり、任意の五角形を固定する対称性は 2 つあります。

ファノ平面は、 ( n3 )配置、すなわち、n個の点とn本_の直線の集合で、各直線上に3点があり、各点を通る直線が3本ある配置の一例である。ファノ平面は、( ₇₃ )配置であり、唯一無二であり、そのような配置としては最小である。^[11]シュタイニッツの定理^[12]によれば、このタイプの配置は、最大で1本の曲線（他のすべての直線はユークリッド直線上にある）を持つユークリッド平面で実現できる。^[13]

ファノ平面は、小さな対称ブロックデザイン、具体的には2-(7, 3, 1)デザインです。デザインの点は平面の点であり、デザインのブロックは平面の線です。^[14] そのため、これは（ブロック）デザイン理論の貴重な例です。

0、1、2、...、6 とラベル付けされた点を持つ線（点集合として）は、群Z / 7 Z内の{0、1、3}によって与えられた(7、3、1)平面差分集合の平行移動です。^[14] ℓ ₀、...、ℓ ₆とラベル付けされた線を持つ接続行列（表）は次のように与えられます。

ファノ平面は、ブロック設計として、シュタイナー三重システムである。^[15] そのため、準群の構造を与えることができる。この準群は、八元数積の符号を無視すると、単位八元数 e ₁、e ₂、 ...、e ₇（ 1 を省略）によって定義される乗法構造と一致する（Baez 2002）。

ファノマトロイドF _{7 は}、ファノ平面の点を基底集合として、3 要素の非共線部分集合を基底として形成されます。

ファノ平面はマトロイドの構造理論における重要な例の 1 つです。マトロイドマイナーとしてファノ平面を除外することは、正則、グラフィック、コグラフィック などのいくつかの重要なマトロイドのクラスを特徴付けるために必要です。

1 本の直線を 3 本の 2 点直線に分割すると、「非ファノ構成」が得られ、これを実平面に埋め込むことができます。これはマトロイド理論におけるもう 1 つの重要な例であり、多くの定理が成り立つためにはこれを除外する必要があります。

ファノ平面は3次元に拡張して3次元射影空間を形成することができ、PG(3, 2)で示される。これは15個の点、35個の直線、15個の平面を持ち、最小の3次元射影空間である。^[16] また、以下の性質も持つ。^[17]

• 各点は 7 本の線と 7 本の平面に含まれます。
• 各線は 3 つの平面に含まれ、3 つの点を含みます。
• 各平面には 7 つの点と 7 つの線が含まれます。
• 各平面はファノ平面と同型です。
• 異なる平面のすべてのペアは直線で交差します。
• 直線と、その直線を含まない平面は、正確に 1 点で交差します。

ウィキメディア・コモンズには、ファノ飛行機に関連するメディアがあります。

• 射影構成
• パッシュ構成
• トランシルヴァニア宝くじ

• ワイスシュタイン、エリック W.、「ファノ平面」、MathWorld