指数関数

指数関数
実軸の一部に沿った自然指数関数
一般情報
一般的な定義	${\displaystyle \exp z=e^{z}}$
ドメイン、コドメイン、イメージ
ドメイン	${\displaystyle \mathbb {C} }$
画像	${\displaystyle {\begin{cases}(0,\infty )&{\text{for }}z\in \mathbb {R} \\\mathbb {C} \setminus \{0\}&{\text{for }}z\in \mathbb {C} \end{cases}}}$
具体的な値
ゼロで	1
1での値	e
具体的な特徴
固定小数点	− W n (−1)の場合${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$
関連機能
相互	${\displaystyle \exp(-z)}$
逆	自然対数、複素対数
派生語	${\displaystyle \exp '\!z=\exp z}$
反微分	${\displaystyle \int \exp z\,dz=\exp z+C}$
シリーズの定義
テイラー級数	${\displaystyle \exp z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

指数関数は、または（引数x は指数と表記される）で表される数学関数である。特に指定がない限り、この用語は一般に実変数の正の値の関数を指すが、複素数に拡張したり、行列 やリー代数などの他の数学的対象に一般化したりすることもできる。指数関数は、数の累乗演算（繰り返し乗算）から生まれたが、さまざまな現代の定義により、無理数 を含むすべての実引数 に厳密に拡張できるようになっている。純粋数学と応用数学のいたるところで使用されていることから、数学者ウォルター・ルーディンは指数関数を「数学で最も重要な関数」とみなした。^[1]${\displaystyle f(x)=\exp(x)}$${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle x}$

任意の正の実数（基数と呼ばれる）に対する 関数は、（一般）指数関数としても知られ、指数恒等式 を満たします。これは、（因数とともに）正の整数 に対して が成り立つことを意味します。ここで は、指数関数を指数の基本概念に関連付けています。自然基数は、オイラー数と呼ばれる基本的な数学定数です。これを区別するために、は指数関数または自然指数関数と呼ばれます。これは、導関数がそれ自身であり、0における値が1である、実数値を持つ唯一の関数です。${\displaystyle f(x)=b^{x}}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle b^{x+y}=b^{x}b^{y}{\text{ }}x,y\in \mathbb {R} のすべての場合。}$$${\displaystyle b^{n}=b\times \cdots \times b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b=b^{1}}$${\displaystyle e=\exp(1)=2.71828\ldots }$${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$

${\displaystyle \exp '(x)=\exp(x)}$すべての に対して、そして ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \exp(0)=1.}$

と実数または複素数の関係により、一般的な指数関数を自然指数で表現することができます。 ${\displaystyle b^{x}=e^{x\ln b}}$${\displaystyle b>0}$${\displaystyle x}$

より一般的には、特に応用場面では、 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle f(x)=a\,e^{kx}=a\,b^{cx},{\text{ ただし }}k=c\ln b,\ k\neq 0,\ a,b>0}$$

は指数関数としても知られています。これは初期値問題 を解決します。つまり、各点での変化率は、その点の関数の値に比例します。この動作は、生物学、物理学、社会科学におけるさまざまな現象、たとえば自己複製する個体群の制約のない成長、放射性元素の崩壊、金融ファンドに発生する複利、コンピューター設計の自立的な改善などをモデル化します。 ${\displaystyle f'=kf,\ f(0)=a}$

指数関数は、実数、複素数、さらには行列の引数に簡単に適用できるべき級数 として定義することもできます。複素指数関数は、 0 を除くすべての複素数値を取り、オイラーの公式によって三角関数と密接に関連しています。${\displaystyle \exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}\cos(y)\,+\,i\,e^{x}\sin(y).}$

より抽象的な性質と特徴付けに動機づけられて、指数関数は正方行列やリー群などのはるかに大きなコンテキストに一般化できます。さらに、定義はリーマン多様体に一般化できます。

実数の指数関数は、区間 から への一対一関数です。^[2]その逆関数は自然対数であり、^{[nb 1]}、^{[nb 2]、}またはと表記されます。古いテキスト^[3]の中には、指数関数を逆対数と呼んでいるものもあります。 ${\displaystyle \mathbb {R} =(-\infty ,\infty )}$${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle \ln}$ ${\displaystyle \log}$${\displaystyle \log_{e}}$

のグラフは右上がりで、x が増加するにつれて増加速度が速くなります。^[4]グラフは常にx軸より上にあります。しかし、 x が大きな負の値になると、グラフは x 軸に近づきます。つまり、x軸は水平漸近線です。この式は、各点におけるグラフの接線の傾きが、その点におけるグラフの高さ（y座標） に等しいことを意味しています。${\displaystyle y=e^{x}}$${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

指数関数は、他の指数関数と区別するために自然指数関数と呼ばれることもあります。 指数関数の研究は、自然指数関数の研究に簡単に還元できます。なぜなら、定義により、正のbに対して、 となるからです。 実変数の関数として、指数関数は、そのような関数の導関数が関数の値に正比例するという点で一意に特徴付けられます。 この関係の比例定数は、底 b の自然対数です。 を正の係数とします。 の場合、関数は増加します ( b = eおよびb = 2の場合に表されるように)。 により導関数が常に正になり、指数関数的増加を表します。 の場合、関数は減少します ( b = ⁠に表されるように)。${\displaystyle f(x)=e^{x}}$$${\displaystyle a\,b^{x}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} a\,e^{x\ln b}}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a\,b^{x}={\frac {d}{dx}}a\,e^{x\ln(b)}=a\,e^{x\ln(b)}\ln(b)=a\,b^{x}\ln(b).}$$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle b>1}$${\displaystyle a\,b^{x}}$${\displaystyle \ln b>0}$${\displaystyle 0<b<1}$1/2⁠）、指数関数的減少を表します。b = 1の場合、関数は定数です。

オイラー数 e = 2.71828... ^[5]は比例定数が1となる唯一の基数であり、関数はそれ自身の導関数となる。 ${\displaystyle \ln(e)=1}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\ln(e)=e^{x}.}$$

この関数は とも表記され、「自然指数関数」^{[6] [7]}あるいは単に「指数関数」と呼ばれ、 と表記されます。前者の表記法はより単純な指数によく使用され、後者の表記法は指数が複雑で小さなフォントでは読みにくい場合に好まれます。任意の指数関数は自然指数で表記できるため、指数関数の研究をこの特定のものに限定すると計算上および概念的に便利です。 ${\displaystyle \exp(x)}$$${\displaystyle x\mapsto e^{x}\quad {\text{または}}\quad x\mapsto \exp(x).}$$${\displaystyle f(x)=a\,b^{x}}$

実数の場合、次の形式の関数も指数関数です。 ${\displaystyle c,d}$${\displaystyle f(x)=ab^{cx+d}}$$${\displaystyle ab^{cx+d}=\left(ab^{d}\right)\left(b^{c}\right)^{x}=\left(ab^{d}\right)e^{xc\ln b}.}$$

指数関数は様々な方法で特徴付けることができるが、一般的には以下のべき級数で定義される: ^{[1] [8]}${\displaystyle \exp }$ $${\displaystyle \exp x:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$$

このべき級数の収束半径は無限大なので、この定義はすべての複素数に適用できます。§ 複素平面を参照してください。

このべき級数を各項ごとに微分すると、すべてのxに対して が成り立つことが明らかになり、 は初期条件を満たす 常微分方程式の唯一の解であるという別の一般的な特徴付けにつながる。${\textstyle {\frac {d}{dx}}\exp x=\exp x}$${\displaystyle \exp x}$ $${\displaystyle y'(x)=y(x)}$$ ${\displaystyle y(0)=1.}$

同じ微分方程式はオイラー法を使って解くこともでき、これは別の一般的な特徴付けである積極限公式を与える: ^{[9] [8]}${\displaystyle y'(x)=y(x)}$${\displaystyle y'(0)=1}$ $${\displaystyle \exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

これらの同等の定義のいずれでも、オイラー数 が定義されます。すると、 は指数関数 に等しいことが示され、両方とも次のように記述できます。${\textstyle e=\exp 1}$${\textstyle (\exp 1)^{x}}$${\textstyle \exp x}$${\textstyle e^{x}.}$

実数の指数関数を特徴付ける別の方法もあります。それは、すべての実数 に対して恒等式を満たし、値 を取り、次の正則性条件のいずれかを満たす唯一の関数です。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle f(1)=e}$

• ${\displaystyle f}$どこでも連続している。
• ${\displaystyle f}$任意の間隔で増加している;
• ${\displaystyle f}$任意の区間で制限されます。

より大きな領域、つまり複素数では、上記の条件はすべての に対して を一意に特徴付けるのに十分ではありません。複素微分などのより強い条件を使用することもできます。 ${\displaystyle f(x)\equiv e^{x}}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f'(0)=1}$

指数関数は、量がその現在の値に比例する割合で増加または減少するときに発生します。そのような状況の1つは、継続的な複利であり、実際にこの観察により、ヤコブ・ベルヌーイは1683年に^[10] 現在eとして知られる数値に たどり着きました。その後、1697年にヨハン・ベルヌーイは指数関数の微積分を研究しました。^[10]$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$$

元金1に対して年利xの利息が毎月複利で発生する場合、毎月の利息は⁠x/12⁠ を現在の値に掛けて計算されるため、毎月の合計値は（1 + ⁠x/12⁠ )となり、年末の値は(1 + ⁠x/12⁠ ) ¹²。代わりに利息が毎日複利計算される場合、これは(1 + ⁠x/365⁠）³⁶⁵。1年あたりの時間間隔の数を無制限に増やすと、指数関数の 極限定義に至ります。これは、レオンハルト・オイラー によって最初に示されました。 ^{[9]これは、}指数関数の数ある特徴付け のうちの1つであり、他の特徴付けには級数方程式や微分方程式が関係します。 $${\displaystyle \exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$$

これらの定義のいずれからも、 e ^{− x は}e ^xの逆数であることが示されます。たとえば、微分方程式の定義から、x = 0のときe ^x e ^{− x} = 1となり、積分則を使用したその導関数はすべてのxに対してe ^x e ^{− x} − e ^x e ^{− x} = 0 となるため、すべてのxに対してe ^x e ^{− x} = 1 となります。

これらの定義のいずれからも、指数関数が基本的な指数恒等式に従うことが示されます。たとえば、二項定理によって拡張されたべき級数の定義から、 exp xの 指数表記e ^xが正当化されます。 $${\displaystyle \exp(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x+y)^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}{\frac {x^{k}y^{n-k}}{n!}}=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {x^{k}y^{\ell }}{k!\ell !}}=\exp x\cdot \exp y\,.}$$

指数関数の導関数（変化率）は、指数関数そのものです。より一般的には、関数自体に比例する変化率を持つ関数は、指数関数で表現できます。この導関数の特性により、指数関数的増加または指数関数的減少が生じます。

指数関数は、複素平面上の完全な関数に拡張されます。オイラーの公式は、純虚数の引数におけるその値を三角関数に関連付けます。指数関数には、引数が行列、またはバナッハ代数やリー代数の要素である類似関数もあります。

指数関数が数学や科学において重要な理由は、主に、その導関数に等しく、x = 0のときに 1 に等しい唯一の関数であるという性質にあります。つまり、 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\quad {\text{and}}\quad e^{0}=1.}$$

定数aに対してae ^xの形式の関数は、その導関数に等しい唯一の関数です (ピカール・リンデレーフの定理による)。同じことを別の言い方で言うと次のようになります。

• 任意の点におけるグラフの傾きは、その点における関数の高さです。
• xにおける関数の増加率は、xにおける関数の値に等しくなります。
• この関数は微分方程式 y ′ = yを解きます。
• exp は関数空間上の線形演算子としての微分の不動点です。

変数の増加率または減少率がその大きさに比例する場合（無制限の人口増加（マルサスの大惨事を参照）、連続複利、放射性崩壊などの場合）、変数は定数と時間の指数関数の積として表すことができます。

より一般的には、任意の実定数kに対して、関数f : R → R が、ある定数aに対して を満たす場合のみを満たす。定数k は、崩壊定数、崩壊定数、^[11]速度定数、^[12]あるいは変換定数と呼ばれる。^[13]${\displaystyle f'=kf}$${\displaystyle f(x)=ae^{kx}}$

さらに、任意の微分可能関数fに対して、連鎖律により次の式が得られます。 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{f(x)}=f'(x)\,e^{f(x)}.}$$

e ^xの連分数はオイラーの恒等式によって得られる。 $${\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}}$$

e ^zの次の一般化連分数はより速く収束する: ^[14] $${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}}$$

または、置換z = ⁠を適用してx/ええ⁠ : z = 2 の特別なケース: $${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}}$$$${\displaystyle e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots \,}}}}}}}}}$$

この式は、 z > 2の場合にも収束しますが、収束速度は遅くなります。例: $${\displaystyle e^{3}=1+{\cfrac {6}{-1+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{10+{\cfrac {3^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=13+{\cfrac {54}{7+{\cfrac {9}{14+{\cfrac {9}{18+{\cfrac {9}{22+\ddots \,}}}}}}}}}$$

実際の場合と同様に、指数関数は複素平面上でいくつかの同等の形式で定義できます。

複素指数関数の最も一般的な定義は、実引数のべき級数定義に似ており、実変数が複素変数に置き換えられています。 $${\displaystyle \exp z:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}}$$

あるいは、実引数の極限定義をモデル化して、実変数を複素変数に置き換えて複素指数関数を定義することもできます。 $${\displaystyle \exp z:=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}$$

冪級数の定義については、メルテンスの定理によって許されるコーシーの意味でこの冪級数の2つのコピーの項ごとの乗算は、指数関数の定義的な乗法特性がすべての複素引数に対して引き続き成立することを示しています。 $${\displaystyle \exp(w+z)=\exp w\exp z{\text{ for all }}w,z\in \mathbb {C} }$$

複素指数関数の定義は、三角関数を複素引数に拡張する適切な定義につながります。

特に、z = it ( t real )のとき、級数定義は展開式となる。 $${\displaystyle \exp(it)=\left(1-{\frac {t^{2}}{2!}}+{\frac {t^{4}}{4!}}-{\frac {t^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(t-{\frac {t^{3}}{3!}}+{\frac {t^{5}}{5!}}-{\frac {t^{7}}{7!}}+\cdots \right).}$$

この展開では、項を実数部と虚数部に並べ替えることは、級数の絶対収束によって正当化されます。上記の式の実数部と虚数部は、実際にはそれぞれcos tとsin tの級数展開に対応します。

この対応は、すべての複素引数に対してコサインとサインをと同等の冪級数で定義する動機となる: ^[15]${\displaystyle \exp(\pm iz)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos z:={\frac {\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}},\\[5pt]{\text{and }}\quad &\sin z:={\frac {\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\end{aligned}}}$$

全ての${\textstyle z\in \mathbb {C} .}$

このように定義された関数exp、cos、sin は、比テストにより無限の収束半径を持ち、したがって整関数（つまり、上で正則）です。指数関数の値域は ですが、複素正弦関数と複素余弦関数の値域は両方ともその全体で であり、ピカールの定理と一致しています。ピカールの定理では、非定数整関数の値域は のすべてであるか、1 つの欠落値を除外するかのいずれかであると主張しています。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

指数関数と三角関数のこれらの定義から、オイラーの公式が自明に導かれます。 $${\displaystyle \exp(iz)=\cos z+i\sin z{\text{ for all }}z\in \mathbb {C} .}$$

この関係に基づいて複素指数関数を定義することもできます。z = x + iy （ xとyは両方とも実数）の場合、その指数関数を次のように定義できます。ここで、 定義記号の右側にあるexp 、 cos 、 sinは、以前に他の方法で定義された実変数の関数として解釈されます。 ^[16]$${\displaystyle \exp z=\exp(x+iy):=(\exp x)(\cos y+i\sin y)}$$

に対して、関係式が成り立つので、実数および に対して、実数直線 (mod 2 π )を複素平面の単位円に写像します。さらに、からに行くと、 によって定義される曲線は、複素平面のz = 1 から反時計回りに長さ の単位円の線分をトレースします 。これらの観察と、ラジアンでの角度の測定は、角度によって囲まれる単位円上の弧の長さであるという事実に基づくと、実引数に制限すると、上で定義した正弦関数と余弦関数は、幾何学的概念を介して初等数学で導入された正弦関数と余弦関数と一致することが簡単にわかります。 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle {\overline {\exp(it)}}=\exp(-it)}$${\displaystyle \left|\exp(it)\right|=1}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t\mapsto \exp(it)}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t=t_{0}}$${\displaystyle \gamma (t)=\exp(it)}$$${\displaystyle \int _{0}^{t_{0}}|\gamma '(t)|\,dt=\int _{0}^{t_{0}}|i\exp(it)|\,dt=t_{0},}$$

複素指数関数は周期2 πiで周期的であり、すべての場合に当てはまります。 ${\displaystyle \exp(z+2\pi ik)=\exp z}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} ,k\in \mathbb {Z} }$

指数関数の定義域が実数平面から複素平面に拡張された場合、指数関数は次の特性を保持します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,\\[5pt]&e^{0}=1\,\\[5pt]&e^{z}\neq 0\\[5pt]&{\frac {d}{dz}}e^{z}=e^{z}\\[5pt]&\left(e^{z}\right)^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}$$

全ての${\textstyle w,z\in \mathbb {C} .}$

自然対数を複素引数に拡張すると、多値関数である複素対数 log zが得られます。

次に、より一般的な累乗を定義できます。 すべての複素数zとwに対して定義します。これは、zが実数であっても多値関数です。この区別は問題があります。多値関数log zとz ^{w は}、 zを実数に置き換えると、単値の関数と簡単に混同されるためです。正の実数の場合の指数の乗算に関する規則は、多値のコンテキストでは変更する必要があります。 $${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z}}$$

累乗の結合に関する問題の詳細については、 累乗の失敗と対数恒等式を参照してください。

指数関数は、複素平面上の任意の直線を、原点を中心とする複素平面上の対数螺旋に写像します。2 つの特殊なケースがあります。元の直線が実軸に平行な場合、結果として得られる螺旋は決して閉じません。元の直線が虚軸に平行な場合、結果として得られる螺旋はある半径の円になります。

• 指数関数の実部、虚部、係数の3Dプロット
• 
  z = Re( e ^{x + iy} )
• 
  z = Im( e ^{x + iy} )
• 
  z = | e ^{x + iy} |

複素指数関数を 4 つの実変数を含む関数として考えると、 指数関数のグラフは 4 つの次元にわたって曲がる 2 次元面になります。 $${\displaystyle v+iw=\exp(x+iy)}$$

ドメインの色分けされた部分から始めて、2 次元または 3 次元にさまざまな方法で投影されたグラフを次に示します。 ${\displaystyle xy}$

• 複素指数関数のグラフ
• 
  チェッカーボードキー:
  ${\displaystyle x>0:\;{\text{green}}}$
  ${\displaystyle x<0:\;{\text{red}}}$
  ${\displaystyle y>0:\;{\text{yellow}}}$
  ${\displaystyle y<0:\;{\text{blue}}}$
• 
  範囲複素平面 (V/W) への投影。次の透視図と比較してください。
• 
  、、次元に投影し、広がった角または漏斗の形状を生成します（2次元透視画像として想定されます）${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$
• 
  、、次元に投影し、螺旋形状を生成します（範囲は ±2 πまで拡張され、これも 2 次元透視画像として表示されます）。${\displaystyle y}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle y}$

2 番目の画像は、ドメイン複素平面が範囲複素平面にどのようにマッピングされるかを示しています。

• ゼロは1にマッピングされます
• 実軸は正の実軸にマッピングされる${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$
• 虚軸は一定の角速度で単位円の周りを回っている${\displaystyle y}$
• 負の実部を持つ値は単位円内にマッピングされる
• 正の実部を持つ値は単位円の外側にマッピングされる
• 実部が一定である値は、ゼロを中心とした円にマッピングされます。
• 虚数部が一定の値は、ゼロから伸びる光線にマッピングされる。

3 番目と 4 番目の画像は、2 番目の画像のグラフが、2 番目の画像には表示されていない他の 2 つの次元のいずれかにどのように拡張されるかを示しています。

3 番目の画像は、実軸に沿って拡張されたグラフを示しています。グラフが実指数関数のグラフの軸を中心とした回転面であり、角または漏斗の形状を生成していることがわかります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

4 番目の画像は、虚軸に沿って拡張されたグラフを示しています。グラフの正の値と負の値の表面は、負の実軸に沿って実際には交わっておらず、軸を中心に螺旋状の表面を形成していることがわかります。値が±2 πまで拡張されているため、この画像は虚数値の 2π 周期性もより適切に表しています。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle v}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$

複素指数a ^bは、 aを極座標に変換し、恒等式（e ^{ln a}）を使用して定義できます。^b
= a ^b : $${\displaystyle a^{b}=\left(re^{\theta i}\right)^{b}=\left(e^{(\ln r)+\theta i}\right)^{b}=e^{\left((\ln r)+\theta i\right)b}}$$

しかし、bが整数でない場合、θ は一意ではないため、この関数は多値関数になります（指数関数 § べき乗と対数の恒等式の不一致を参照）。

指数関数のべき級数定義は、正方行列（この関数は指数行列と呼ばれる）およびより一般的には任意の単位バナッハ代数 Bに対して意味を持ちます。この設定では、e ⁰ = 1 であり、e ^{x は}Bの任意のxに対して逆関数e ^{− x}で可逆です。xy = yxの場合、e ^{x + y} = e ^x e ^yですが、この恒等式はxとy が非可換な場合は成立しません。

いくつかの別の定義でも同じ関数が得られます。たとえば、e ^{x は}次のように定義できます。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

あるいは、e ^{x は}f _x (1)と定義することができ、ここでf _x  : R → B は微分方程式の解である⁠dfx_​/dt⁠ ( t ) = x  f _x ( t )、初期条件f _x (0) = 1です。したがって、 Rのすべてのtに対してf _x ( t ) = e ^{tx が}成立します。

リー群 Gとそれに関連するリー代数 が与えられた場合、指数写像は同様の性質を満たす写像↦ Gです。実際、 R は乗算の下でのすべての正の実数のリー群のリー代数であるため、実引数に対する通常の指数関数はリー代数状況の特殊なケースです。同様に、可逆なn × n行列のリー群GL( n , R )はすべてのn × n行列の空間であるリー代数M( n , R )を持つため、正方行列の指数関数はリー代数指数写像の特殊なケースです。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

交換しないリー代数要素xとyでは、この恒等式は成立しない可能性があります。ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式は、必要な補正項を提供します。 ${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$

関数e ^{z は}有理関数環内にありません。つまり、複素係数を持つ 2 つの多項式の商ではありません。 ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$

a ₁、...、a _{n が}異なる複素数である場合、 e ^{a ₁ z}、...、e ^{a _n z は}上で線型独立であるため、e ^{z は}上で超越的です。 ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$

上記のテイラー級数の定義は、 （の近似値）を計算するのに一般的に効率的です。ただし、引数 付近で計算する場合、結果は 1 に近くなり、浮動小数点演算で差の値を計算すると、（場合によってはすべての）有効数字が失われ、相対誤差が大きく、結果が意味をなさなくなる可能性があります。 ${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle e^{x}-1}$

ウィリアム・カーハンの提案に従って、 e ^xの計算をバイパスしてe ^x − 1expm1を直接計算する 、と呼ばれる専用のルーチンがあると便利です。たとえば、テイラー級数を使用できます。 $${\displaystyle e^{x}-1=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots .}$$

これは1979年にヒューレット・パッカード HP-41C電卓で初めて実装され、その後いくつかの電卓、^{[17] [18]} オペレーティングシステム（例えばBerkeley UNIX 4.3BSD ^[19]）、数式処理システム、プログラミング言語（例えばC99）で提供されました。^[20]

IEEE 754-2008標準では、底eに加えて、底 2 および 10 に対して 0 付近の同様の指数関数を定義しています 。${\displaystyle 2^{x}-1}$${\displaystyle 10^{x}-1}$

同様のアプローチが対数にも使用されている（lnp1を参照）。^{[nb 3]}

双曲正接に関する恒等式は、 expm1( x )を実装していないシステム上で、x の小さな値に対して高精度の値を与えます。 $${\displaystyle \operatorname {expm1} (x)=e^{x}-1={\frac {2\tanh(x/2)}{1-\tanh(x/2)}},}$$