二次無理数

数学において、二次無理数（または二次無理数、あるいは二次無理数とも呼ばれる）は、有理数係数を持つ二次方程式の解で、有理数上では既約な無理数である。^[1] 二次方程式の係数の分数は両辺に最小公分母を掛けることで消去できるため、二次無理数は整数係数を持つ二次方程式の無理根である。複素数の部分集合である二次無理数は、次数 2の代数的数であるため、次のように表すことができる。

${\displaystyle {a+b{\sqrt {c}} \over d},}$

整数a、b、c、dに対して、 b、c、dはゼロ以外で、c は 平方根なしです。cが正のときは実数の二次無理数になり、負のc は実数ではない複素二次無理数になります。これは、二次無理数から整数の四重奏への射影を定義するので、その濃度は最大で可算です。一方、素数のすべての平方根は個別の二次無理数であり、素数は可算数個あるので、それらは少なくとも可算です。したがって、二次無理数は可算集合です。

二次無理数は、体論において有理数体Qの体拡大を構成するために使用されます。平方のない整数c が与えられた場合、 √ c を使用してQに二次無理数を加えると、二次体Q ( √ c )が生成されます。たとえば、Q ( √ c )の元の逆数は、上記の代数的数と同じ形式になります。

${\displaystyle {d \over a+b{\sqrt {c}}}={ad-bd{\sqrt {c}} \over a^{2}-b^{2}c}.}$

二次無理数は、特に連分数との関係で有用な性質を持ち、すべての実二次無理数、そして実二次無理数のみが周期的な連分数形式を持つという結果が得られる。例えば

${\displaystyle {\sqrt {3}}=1.732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]}$

周期的な連分数は、有理数と 1 対 1 で対応させることができます。この対応は、ミンコフスキーの疑問符関数によって明示的に提供され、その記事では明示的な構成が示されています。これは、有理数と、最終的に繰り返される末尾を持つ 2 進数の文字列との間の対応と完全に類似しており、これも疑問符関数によって提供されます。このような繰り返しシーケンスは、2 進数変換(2 進数の場合)の周期軌道と、連分数の ガウス マップに対応します。 ${\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor }$

二次無理数は次のように書き直すことができます。

${\displaystyle {\frac {a+b{\sqrt {c}}}{d}}={\frac {a+{\sqrt {b^{2}c}}}{d}}.}$

したがって、あらゆる2次無理数は次のように表すことができる。

${\displaystyle {\frac {a+{\sqrt {c}}}{d}}.}$

この表現はユニークではありません。

またはを法として合同な非平方の正の整数を固定し、集合を次のように 定義する。${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle S_{c}}$

${\displaystyle S_{c}=\left\{{\frac {a+{\sqrt {c}}}{d}}\colon a,d{\text{ 整数、}}\,d{\text{ 偶数}},\,a^{2}\equiv c{\pmod {2d}}\right\}.}$

合同条件は分子と分母を適切な係数でスケーリングすることによって満たすことができるため、 すべての二次無理数は何らかの集合に含まれます。${\displaystyle S_{c}}$

マトリックス​

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

整数要素を持ち、の数値を変換するために使用できます。変換された数値は ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =1}$${\displaystyle y}$${\displaystyle S_{c}}$

${\displaystyle z={\frac {\alpha y+\beta }{\gamma y+\delta }}}$

が 内にある場合、も にあります。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle S_{c}}$${\displaystyle z}$

上記のとの関係は同値関係です。(これは、たとえば、上記の変換により、集合 に対する行列式1を持つ整数行列の群の群作用が得られることから成ります。) したがって、は同値類に分割されます。各同値類は、各ペアが何らかの行列の作用を通じて同値である二次無理数の集合で構成されます。セレットの定理によれば、同値な二次無理数の正規連分数展開は最終的には同じになります。つまり、部分商のシーケンスは同じ裾を持ちます。したがって、同値類のすべての数は、最終的には同じ裾を持つ周期的な連分数展開を持ちます。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle S_{c}}$${\displaystyle S_{c}}$

には有限個の2次無理数の同値類が存在する。この標準的な証明は、判別式の2次形式から への写像を考えることで得られる。 ${\displaystyle S_{c}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle c}$${\displaystyle S_{c}}$

${\displaystyle \phi (tx^{2}+uxy+vy^{2})={\frac {-u+{\sqrt {c}}}{2t}}}$

計算により、は各集合に対する行列作用を尊重する一対一であることが示されます。二次無理数の同値類は、2 次二次形式の同値類と一対一であり、ラグランジュは、与えられた判別式の 2 次二次形式の同値類が有限個存在することを示しました。 ${\displaystyle \phi }$

全単射 を通し​​て、数を連分数で展開することは、二次形式を簡約することに相当します。連分数の最終的に周期的な性質は、簡約された二次形式の軌道の最終的に周期的な性質に反映され、簡約された二次無理数（純粋に周期的な連分数を持つもの）は簡約された二次形式に対応します。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle S_{c}}$

二次無理数の定義では、2つの条件を満たす必要があります。二次方程式を満たし、無理数でなければなりません。二次方程式ax ²  +  bx  +  c  = 0 の解は、

${\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

したがって、 2次無理数とは、まさにこの形式の有理数ではない実数です。bと 2 aはどちらも整数なので、上記の量が無理数になるのはいつかを尋ねることは、整数の平方根が無理数になるのはいつかを尋ねることと同じです。この答えは、平方数ではない自然数の平方根は無理数であるということです。

2 の平方根は、無理数であることが証明された最初の数である。キュレネのテオドロスは、17 までの非平方自然数の平方根の無理数を証明したが、おそらく彼が使用した代数は 17 より大きい数の平方根には適用できなかったため、そこで止まった。ユークリッドの『原論』第 10 巻は、無理数の分類に特化している。非平方自然数の無理数の元々の証明は、ユークリッドの補題に依存している。

非平方の自然数の平方根の無理数性の証明の多くは、暗黙のうちに算術の基本定理を前提としており、これはカール・フリードリヒ・ガウスが著書『算術論』で初めて証明したものです。これは、すべての整数には一意に素因数分解できると主張しています。最小項で表した有理数非整数には、必ず分母に分子を割り切れない素数が存在します。分子を二乗しても、その素数は一意に因数分解できるため、やはり分子を割り切れません。したがって、有理数非整数の二乗は常に非整数です。また、逆説により、整数の平方根は常に別の整数か無理数になります。

ユークリッドは、基本定理の限定版と慎重な議論を用いて定理を証明した。彼の証明はユークリッドの『原論』第10巻命題9に記載されている。 ^[2]

しかし、算術の基本定理は、実際には結果を証明するのに必要ではない。リチャード・デデキント[ ^3]などによる自己完結的な証明がある。以下の証明は、 1975年にテオドール・エステルマンが発見した2の平方根の無理数の証明をコリン・リチャード・ヒューズが改変したものである。 ^{[4] [5]}

D が非平方の自然数である場合、次のような自然数nが存在します。

n ² < D < ( n  + 1) ²、

特に

0 < √ D − n < 1 です。

Dの平方根が有理数である場合、それは既約分数p / qとして表すことができ、q は最小の分母となり、したがってq √ D が整数となる最小の数となります。すると、次のようになります。

( √D − n ) q√D = qD − nq√D​​​​​

したがって、これも整数です。しかし、0 < ( √ D  −  n ) < 1 なので、 ( √ D  −  n ) q  <  qです。したがって、 ( √ D  −  n ) q は、 √ Dを掛けると整数になるqよりも小さい整数です。qはそのような最小の数として定義されているため、これは矛盾です。したがって、 √ D は有理数ではありません。

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• 二次整数

• Weisstein、Eric W.「二次無理数」。MathWorld。
• 2次無理数の連分数計算機
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